(共24张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标阐释
思维脉络
1.借助长方体,了解空间两条直线间的位置关系.理解异面直线的定义.(数学抽象、直观想象)
2.了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系.(逻辑推理)
3.会用符号语言和图形语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.(直观想象、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
长方体有8个顶点,12条棱,6个面.12条棱对应12条棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面.如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、空间中直线与直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种:
微练面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是 .?
答案:相交或异面
激趣诱思
知识点拨
知识点二、空间中直线与平面的位置关系
激趣诱思
知识点拨
微思考
观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系?
提示:直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l与平面α有两个公共点,则( )
A.l∈α
B.l∥α
C.l与α相交
D.l?α
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点三、空间中平面与平面的位置关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
空间中两条直线位置关系的判定
例1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列
直线间的位置关系:
①直线A1B与直线D1C ;?
②直线A1B与直线B1C ;?
③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点) ;?
④直线AB与直线B1C .?
(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?请画图说明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)
(2)根据异面直线的定义分析.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
空间中两条直线位置关系的判定方法
(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法:
①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交);
③重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A?α,B∈α,l?α,B?l?AB与l是异面直线.
延伸探究
在本例题的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直线为 .?
答案:CC1,B1C1,DD1,A1D1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与平面的位置关系
例2给出下列四个命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b?α,则a∥α,其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
分析判断直线与平面位置关系,除了定义法外,还可以借助几何体模型(如长方体等)和举反例进行逐项判断.
解析:对于①,直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.故①错.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情形:a∥α,a与α相交,故②错.对于③,由直线a∥b,b?α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,故③错.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上不同的两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线均与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
解析:由于直线a不平行于平面α,则a在α内或a与α相交,故A错;当a?α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面与平面的位置关系
例3给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是( )
①若平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行;
②若平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③若平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;
④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
A.0
B.1
C.3
D.4
分析由平面间的位置关系逐一判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错.
不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
平面与平面的位置关系的判断方法
判断两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据基本事实3知,两个不重合的平面是相交的.
判断两个平面平行,可根据定义判断两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判断两平面平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交;
③若两个平面α∩β=b,a?α,则a与β一定相交.
其中正确的是 .(将你认为正确的序号都填上)?
解析:①错,a与b也可能异面;②对,∵α∥β,∴α与β无公共点.又∵a?α,b?β,∴a与b无公共点,即a与b一定不相交;③错,a与β也可能平行.
答案:②
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面划分空间问题
典例互不重合的三个平面最多可以把空间分成 部分.?
解析:互不重合的三个平面将空间分成五种情形:当三个平面互相平行时,将空间分成四部分;当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分;当三个平面相交于同一条直线时,将空间分成六部分;当三个平面相交于三条直线时,且三条交线交于同一点时,将空间分成八部分;当三个平面相交于三条直线,且三条交线互相平行时,将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成八部分.
答案:八
方法点睛平面划分空间问题,应根据平面的位置关系进行讨论分析,必要时可以借助空间模型来求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上都有可能
解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,AB与A1D1异面.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行、相交或异面
解析:若a∥α,则a与α内的直线平行或异面;
若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱是( )
A.AB
B.BB1
C.DD1
D.B1C1
解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1与B1C1是异面直线.
答案:D
4.过平面外两点,可作 个平面与已知平面平行.?
解析:若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.
答案:0或1(共31张PPT)
8.4.1 平面
课标阐释
思维脉络
1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面.(数学抽象)
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.(数学抽象)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实(基本事实也称公理)及其推论.(逻辑推理、直观想象)
4.理解三个基本事实及推论的地位和作用.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
在数学语言的研究中,通常按数学语言所使用的主要词汇,将数学语言分为三种:文字语言、符号语言、图形语言.例如“点A在直线l上”是利用文字来描述,以语言的形式表达出来的,因而称其为该定理的文字语言;“A∈l”是用符号的形式将定理表达出来,因而称其为符号语言;如果我们以图例或实物来表示定理的条件和结论,则称其为该定理的图形语言.通过文字语言以优美通畅的文字描述数学问题,言简意赅,寓意深刻;通过符号语言表达数学问题,简明扼要,国际通行;通过图形语言表达数学问题,形象生动,记忆深刻.几种语言各有特点,在学习立体几何时,应充分发挥不同语言的教育功能.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面
平面的描述性概念
几何里所说的“平面”,就是从生活中一些物体中抽象出来的.平面是向四周无限延展的
画法
水平
放置
常把平行四边形的一边画成横向
竖直
放置
常把平行四边形的一边画成竖向
激趣诱思
知识点拨
记法
(1)
用希腊字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内
(2)
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如平面ABCD
(3)
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如平面AC,平面BD
名师点析
平面的概念可从以下三个方面理解
(1)“平面”是平的;(2)“平面”无厚度;(3)“平面”可以向四周无限延展.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线段应画成虚线或不画;
(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面.
解:(1)不正确.平面常用平行四边形表示,但不是平行四边形,平面是无限延展的.
(2)不正确.平面图形与平面是两个不同的概念,平面图形具有大小、面积等属性,而平面则没有,平面是无限延展的,不可度量的.
(3)正确.符合直观图画法的规则.
(4)正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、点、直线、平面之间的位置关系
激趣诱思
知识点拨
知识点三、平面的基本性质
1.平面的基本性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
2.三个推论
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明点、线共面
例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:方法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.
同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α.
∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明点、线共面问题常用方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.
注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?
(2)如果把本例中“三条直线”改为“四条直线”,那么这四条直线是否共面?试证明你的结论.
解:(1)不一定共面.
①若三条直线两两相交,且过同一个点.
这三条直线在同一个平面内相交,如图.
这三条直线不共面.如图.
②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)共面.
已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.
求证:a,b,c,d四线共面.
证明:①无三线共点情况,如图.
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ?α,即b?α.同理,c?α,所以a,b,c,d共面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
②有三线共点的情况,如图.
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K?a,因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为β.
因为N∈a,a?β,所以N∈β.所以NK?β,即b?β.
同理,c?β,d?β.
所以a,b,c,d共面.
由①②知,a,b,c,d共面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明点共线
例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,
∴P,Q,R三点共线.
(方法二)∵AP∩AR=A,
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,
∴平面APR∩平面α=PR.
∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.
∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,
∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为 .(填“共线”或“不共线”)?
解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.
∵A1C∩平面ABC1D1=E,
∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1,
∴E∈平面A1BCD1.
∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,
∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
答案:共线
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明线共点
例3如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
分析由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,
∴a?γ,b?γ.
∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,
则P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,
∴P∈β,P∈α.
又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.
∴a,b,c三条直线必过同一点.
反思感悟
证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,
∴四边形EFGH为梯形,
∴EH,FG共面,且EH与FG不平行.
∵O∈EH,EH?平面ABD,∴O∈平面ABD,
∵O∈FG,FG?平面BCD,∴O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,
∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用
典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.
①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
(2)用文字语言和符号语言表示下图.
分析(1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)①符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图①所示.
②符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示如图②所示.
① ②
(2)文字语言:平面α内的直线m和n相交于点A.符号语言:m?α,n?α,且m∩n=A.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )
解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.经过空间任意三点作平面( )
A.只有一个
B.可作两个
C.可作无数多个
D.只有一个或有无数多个
解析:当三点在一条直线上时,过这三点能作无数个平面;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.下列图形中,不一定是平面图形的是( )
A.三角形
B.平行四边形
C.梯形
D.四边相等的四边形
解析:利用基本事实1可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.下列说法正确的是( )
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10
m,宽5
m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
解析:镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.
答案:D
4.已知平面α∩平面β=l,点P∈α,P∈β,则点P与直线l的关系是 .?
答案:P∈l
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 个平面.?
解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面.
答案:3
