(共34张PPT)
8.5.3 平面与平面平行
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.(数学抽象)
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.(数学抽象)
3.会证明平面与平面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
4.能够应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.(直观想象、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
在我们教室里,天花板所在的平面与地面平行,那么在天花板上任意作一条直线,这条直线与地面是平行的吗?再看天花板所在的平面与地面都和黑板所在的墙面相交,这两条交线平行吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
图形语言
符号语言
a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α
作 用
证明两个平面平行
名师点析
定理中,要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字,否则条件不充分,结论不成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列结论正确的是( )
A.平面ABCD∥平面ABB'A'
B.平面ABCD∥平面ADD'A'
C.平面ABCD∥平面CDD'C'
D.平面ABCD∥平面A'B'C'D'
解析:在长方体ABCD-A'B'C'D'中,上底面ABCD与下底面A'B'C'D'平行.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )
②如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行.( )
③直线a∥平面β,直线b∥平面β,a?平面α,b?平面α?平面α∥平面β.( )
答案:①× ②× ③×
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面与平面平行的性质定理
文字
语言
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
图形
语言
符号
语言
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
作用
证明两条直线平行
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)定理成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面都相交.
(2)定理的实质:面面平行?线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若α∥β,a?α,b?β,下列几种说法正确的是( )
①a与β内无数条直线平行;②a与β内的任何一条直线都不垂直;③a∥β.
A.①② B.①③
C.②③
D.①②③
答案:B
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b?直线a∥直线b.( )
②平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β?a∥b.( )
答案:①√ ②×
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两个平面平行的判定
例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:
(1)E,F,B,D四点共面;
(2)平面MAN∥平面EFDB.
分析(1)只需证明BD∥EF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(1)连接B1D1.
∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,
∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.
∴E,F,B,D四点共面.
(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.
又MN?平面EFDB,
∴MN∥平面EFDB,连接MF.
∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MF?AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
∵AM?平面EFDB,DF?平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明:两个平面平行的方法
证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.
证明:连接AB1.
∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,
∴PM∥AB1.
又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.
又PM?平面C1BD,C1D?平面C1BD,
∴PM∥平面C1BD.
同理MN∥平面C1BD.
又PM∩MN=M,
∴平面PMN∥平面C1BD.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
线面平行、面面平行判定定理的综合
例2在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC?并证明你的结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.证明如下,
∵M是PE的中点,∴FM∥CE.
∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,
∴FM∥平面AEC.
由EM=
PE=ED,
得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,
设BD∩AC=O,则O为BD的中点.
连接OE,则BM∥OE.
∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BM∥平面AEC.
∵FM?平面BFM,BM?平面BFM,FM∩BM=M,
∴平面BFM∥平面AEC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
探索型问题的类型及解法
探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,当点M在
时,有MN∥平面B1BDD1.?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:点M在F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1∥平面BDD1B1,连接NH,则NH∥平面BDD1B1.
∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.
∵MN?平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即点M在点F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.
答案:点F,H的连线上
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
面面平行性质定理的应用
角度1 证明线线平行
例3如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的
一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相
交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
分析(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成比例,再求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明线线平行的方法
(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.
(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.
解:如图,∵PB∩PC=P,
∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.
又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 证明线面平行
例4如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.
分析先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D,E与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
证明如下,
如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1.因为AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,EF?平面EFD,FD?平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE?平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明线面平行的方法
证明直线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若在△ABC内找一点E呢?点E只有一个吗?若只有一个,确定点E的位置;若不是,试写出点E的集合.
解:能找到.点E有无数个,点E的集合是线段PQ.如图,取棱AB的中点P,棱AC的中点Q.连接PD,PQ,QD.在△ABC中,P,Q分别是AB,AC的中点,所以PQ∥BC.
在?CBB1C1中,因为D,F分别为CC1,BB1的中点,
所以DF∥B1C1,
所以PQ∥DF,故四边形PQDF是一个梯形.
又DF∥B1C1,DF?平面AB1C1,B1C1?平面AB1C1,
所以DF∥平面AB1C1.同理,PF∥平面AB1C1.
又PF∩DF=F,PF?平面PQDF,DF?平面PQDF,
所以平面PQDF∥平面AB1C1.
故点E的集合是线段PQ.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用
典例已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点.求证:PQ∥平面CBE.
证明:(方法一)如图①,取AB的中点G,连接PG和GQ.
因为P是AE的中点,
所以PG∥EB.
又PG?平面CBE,EB?平面CBE,
所以PG∥平面CBE.
同理可证GQ∥平面CBE.
又PG∩GQ=G,PG?平面PGQ,GQ?平面PGQ,
所以平面PGQ∥平面CBE.因为PQ?平面PGQ,PQ?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)如图②,连接AC,则Q∈AC,且Q是AC的中点.因为P是AE的中点,所以PQ∥EC.因为PQ?平面CBE,EC?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.
(2)空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列说法正确的是( )
A.若两条直线与同一条直线所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线分别平行于两个相交平面,则一定平行于它们的交线
D.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:A错,由两条直线与同一条直线所成的角相等,
可知两条直线可能平行,可能相交,也可能异面;
B错,若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行或相交;?
C正确,设α∩β=l,m∥α,m∥β,
利用线面平行的性质定理,在平面α中存在直线a∥m,在平面β中存在直线b∥m,所以可知a∥b,
根据线面平行的判定定理,可得b∥α,
然后根据线面平行的性质定理可知b∥l,所以m∥l;
D错,两个平面可能平行,也可能相交.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.重合
D.相交或平行
解析:由三角形中位线的性质知PQ∥AB,PR∥AC,
由线面平行的判定定理,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC∥平面PQR.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2019全国Ⅱ高考)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析:由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 .?
解析:若a?β,则显然满足题目条件.
若a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,
又a?β,c?β,所以a∥β.
答案:a?β或a∥β
5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?
解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
答案:l∥A1C1(共20张PPT)
8.5.1 直线与直线平行
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解等角定理,并会应用其解决有关问题.(逻辑推理、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、直线与直线平行
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c
作用
证明或判断两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A'C'的位置关系是 .?
解析:如图所示,∵M,N分别为CD,AD的中点,MN?
AC,
由正方体的性质可得AC?A'C',
∴MN?
A'C',
即MN与A'C'平行.
答案:平行
激趣诱思
知识点拨
知识点二、等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
名师点析
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等;
(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
提示:∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
平行线传递性的应用
例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形.
分析取B1C1的中点G,证明四边形GEDD1,FB1GD1都是平行四边形,从而得到四边形B1EDF是平行四边形,再证明B1E=B1F即可.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
证明:取B1C1的中点G,连接GD1,GE,
则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,
∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.
∵FD1∥B1G,FD1=B1G,
∴四边形FB1GD1是平行四边形,
∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,
∴四边形B1EDF是平行四边形,
∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
空间两条直线平行的证明
判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的作用.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析:若b∥c,由a∥b,知a∥c,这与a,c异面相矛盾,则b与c不可能平行,故选C.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
等角定理的应用
例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别
是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:∠B1M1C1=∠BMC.
分析(1)通过基本事实4证明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理证得C1M1∥CM,再由等角定理证得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通过证明△BCM≌△B1C1M1证出∠BMC=∠B1M1C1.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,
∴MM1?AA1.
又AA1?BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC=∠B1M1C1.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,
∴∠B1M1C1=∠BMC.
反思感悟
证明角相等的常用方法
证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.
求证:△EFG∽△BCD.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
等角定理的应用
典例若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是( )
A.OB∥O1B1,且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
解析:当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1时,OA与O1A1的方向相同,OB与O1B1不一定平行,如图所示,故选D.
答案:D
方法点睛在讨论空间中两条直线平行的位置关系时,除了运用等角定理外,也可以利用数形结合思想帮助求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1
( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上均不对
解析:由题意,两角对应边平行,如果方向均相同或相反,那么两角相等,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么两角互补.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
解析:∵E,F分别是SN和SP的中点,
∴EF∥PN.
同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,则∠A'O'B'为( )
A.130°
B.50°
C.130°或50°
D.不能确定
解析:根据定理,∠A'O'B'与∠AOB相等或互补,即
∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.
答案:C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM.
证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC,①
又因为M,N分别为A1C1,AC的中点,
所以A1M?NC,所以四边形A1NCM为平行四边形,于是A1N∥MC,②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同,得∠PNA1=∠BCM.(共28张PPT)
8.5.2 直线与平面平行
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.(数学抽象)
2.理解并掌握直线与平面平行的性质定理.(数学抽象)
3.会证明直线与平面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
4.能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.(逻辑推理、直观想象)
激趣诱思
知识点拨
在我们教室里,一般地,日光灯所在的直线与地面是平行的;将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面,则封面的外边缘所在直线与桌面是平行的;我们还注意到门的两边是平行的,当门绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面是平行的.这些生活中的实例都给我们直线与平面平行的印象.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
图形语言
符号语言
a?α,b?α,且a∥b?a∥α
作 用
证明直线与平面平行
名师点析
(1)线面平行的判定定理包含三个条件:
①平面外一条直线;②平面内一条直线;③两条直线平行.这三个条件缺一不可.
(2)定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行?线面平行.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?
提示:不一定,直线a可能在平面α内.
微练习
能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.b?α,a∥b
B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a?α,b?α,a∥b
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二、直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
图形
语言
符号
语言
a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b
作用
证明两条直线平行
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)定理的条件可理解为有三条:
①a∥α;②α∩β=b;③a?β.这三个条件缺一不可.
(2)当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行,但不是任意的.平面α内凡是不与a平行的直线,都与a异面.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,
又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①若直线l∥平面α,直线a?平面α,则l∥a.( )
②若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交.( )
③若直线m∥平面α,n∥平面α,则m∥n.( )
答案:①× ②√ ③×
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与平面平行的判定
例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
分析(方法一)作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,转化为证明MN∥EF.
(方法二)连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,转化为证明MN∥B1P.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,
则EF?平面AA1B1B,
∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,
∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF.
∵MN?平面AA1B1B,EF?平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
①
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP,
∵MN?平面AA1B1B,B1P?平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
②
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明:线面平行的思路及步骤
证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练如图,P是?ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.
证明:设PC的中点为G,连接EG,FG.
∵F为PD的中点,
∴GF∥CD,且GF=
CD.
∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,
∴GF∥AE,GF=AE,
∴四边形AEGF为平行四边形,
∴EG∥AF.
又∵AF?平面PEC,EG?平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与平面平行性质定理的应用
例2如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
分析根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根据线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.
证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.利用线面平行的性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解:由例2知,四边形MNPQ是平行四边形,
∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,
∴四边形MNPQ是矩形.
∵BP∶PD=1∶1,
∴PQ=5,QM=4,
∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
探究一
探究二
探究三
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线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例3求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
分析先写出已知求证,再借助线面平行的性质定理与判定定理求解.
解:已知:a,l是直线,α,β是平面.
a∥α,a∥β,且α∩β=l.
求证:a∥l.
证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A?l.
∵a∥α,∴A?a.
故点A和直线a确定一个平面γ,
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
设γ∩α=m.
同理,在平面β内任取一点B,且使B?l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.
∵a∥α,a?γ,γ∩α=m,
∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.
又m?β,n?β,∴m∥β.
∵m?α,α∩β=l,∴m∥l.
又a∥m,∴a∥l.
反思感悟
利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:
探究一
探究二
探究三
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延伸探究
若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.
解:三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,
∵l∥m,m?γ,l?γ,∴l∥γ.
又l?α,α∩γ=n,∴l∥n.
又l∥m,∴m∥n,
即直线l,m,n相互平行.
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探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在线面平行中的应用
典例已知BC∥平面α,D在线段BC上,A?α,直线AB,AC,AD分别交α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.
解:(1)当BC位于点A与平面α之间时,
①
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
②
③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛本题中点A的位置有三种情况:①BC在点A与平面α之间;②点A在BC与平面α之间;③平面α在点A与BC之间.解题时容易只考虑其中一种情形而漏解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.BC?α
解析:在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,
∴BC∥DE.
∵BC?α,DE?α,∴BC∥α.
答案:A
探究一
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2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析:∵BB1∥CC1,BB1?平面CDD1C1,CC1?平面CDD1C1,
∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1?平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
答案:A
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3.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是 ;与BC1平行的平面是 ;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是 .?
解析:观察题图,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.
答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1 平面ADD1A1 DC
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4.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.
证明:∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥GH.
∵GH?平面ABD,EF?平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,
∴EF∥AB.∵AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
