(共39张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直
课标阐释
思维脉络
1.了解二面角及其平面角的概念.(数学抽象)
2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.(直观想象、数学抽象)
3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关面面垂直的问题.(逻辑推理、直观想象)
激趣诱思
知识点拨
1970年4月24日,我国用自制“长征一号”运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造地球卫星——“东方红一号”,这标志着我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步,跻身于世界航天先进国家之列.同学们,你知道吗?“东方红一号”轨道的倾斜角是68.5°,也就是卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是68.5°.那么二面角是如何刻画的呢?研究二面角又有何重要作用呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、二面角
1.二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为
半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面
图示
记法
棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
激趣诱思
知识点拨
2.二面角的平面角
概念
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
图示
符号
OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角
范围
0°≤∠AOB≤180°
激趣诱思
知识点拨
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)平面几何中,“角”是如何定义的?
提示:从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.
(2)如图,观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
①数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角?
提示:二面角.
②平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?
提示:二面角的平面角.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是
.?
解析:∵AB⊥平面ADD1A1,
∴AB⊥AD,AB⊥AD1,
∴∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角.
易知∠D1AD=45°.
答案:45°
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.( )
②二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( )
答案:①√ ②√
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.
微思考
如何画两个相互垂直的平面?
提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
激趣诱思
知识点拨
知识点三、平面与平面垂直的判定定理
文字
语言
如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥α,l?β?α⊥β
作用
判断两个平面垂直
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.
(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.
(3)此定理有一个推论:a∥α,a⊥β?α⊥β.在做选择、填空题时可直接应用.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在如图所示的长方体中,AA'与平面ABCD有什么位置关系?AA'在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?
提示:AA'与平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B内,也在平面AA'D'D内,这两个平面都与底面垂直.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.?
解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
答案:3
激趣诱思
知识点拨
知识点四、平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号
语言
?a⊥β
图形
语言
作用
证明直线与平面垂直
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则( )
A.ME⊥平面AC B.ME?平面AC
C.ME∥平面AC
D.以上都有可能
解析:由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.( )
②已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.( )
③已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.( )
答案:①× ②√ ③×
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明两个平面垂直
例1如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
分析(方法一)取BC的中点D,证出∠ADS为二面角A-BC-S的平面角,通过计算得到∠ADS=90°.(方法二)先证出从点A向平面SBC引垂线所得垂足D为△SBC的外心,即为斜边BC的中点,再证AD⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
∴△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,
连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,
∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
∴SA=AB=AC,
∴过点A向平面SBC引垂线,设垂足为D,则垂足D为△SBC的外心.
∵△SBC为直角三角形,
∴垂足D为斜边BC的中点,
∴AD⊥平面SBC.
又AD?平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?
解:由例1中方法一(或方法二)可得SD⊥AD.
∵SD⊥BC,AD∩BC=D,
∴SD⊥平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求二面角的平面角的大小
例2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B-PA-D平面角的大小为 ;?
(2)二面角B-PA-C平面角的大小为 .?
分析先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的平面角的大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意∠BAD=90°,
∴二面角B-PA-D平面角的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C平面角的大小为45°.
答案:(1)90° (2)45°
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求二面角的平面角的大小的步骤如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.作二面角的平面角的常用方法:
(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.
解:∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,
由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
又CD∥l,∴l⊥PD.
∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面与平面垂直的性质的应用
例3如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.
分析要证AB⊥BC,可证BC⊥平面VAB,易得VA⊥BC.又平面VAB⊥平面VBC,所以可在平面VAB内过点A作VB的垂线,即与BC垂直,可得证.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.
∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,
∴AD⊥平面VBC.
∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC,
∴VA⊥BC.
∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,
∴BC⊥平面VAB.
∵AB?平面VAB,∴AB⊥BC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
2.平面与平面垂直的其他性质:
(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中的已知换为:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.试证:VA⊥BC.
证明:∵平面VAB⊥平面ABC,
平面VAB∩平面ABC=AB,AC?平面ABC,CA⊥AB,
∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.
又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,
∵BC?平面ABC,∴VA⊥BC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用
典例已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.
分析根据直线和平面垂直的判定定理,可在γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可.
证明:(方法一)在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于点A,PB垂直β与γ的交线于点B,则PA⊥α,PB⊥β.
∵l=α∩β,
∴l⊥PA,l⊥PB.
又PA∩PB=P,且PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,
∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.
又n?β,m?β,∴m∥β.又m?α,α∩β=l,
∴m∥l.∴l⊥γ.
方法点睛线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD?平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析:∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.(多选题)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m⊥α,n⊥β
B.m⊥n,α∩β=m,n?α
C.m∥n,n⊥β,m?α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:A中,α⊥β;B中,α与β相交但不一定垂直;C中,
∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.
又m?α,∴α⊥β;D中,α∥β.
答案:AC
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020四川高三二模)已知α,β是空间中两个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是( )
A.若m?α,n?β,且α⊥β,则m⊥n
B.若m?α,n?α,且m∥β,n∥β,则α∥β
C.若m⊥α,n∥β,且α⊥β,则m⊥n
D.若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n
解析:对于A,当m?α,n?β,且α⊥β,则m与n的位置关系不确定,故A错误;
对于B,若m∥n时,不能判定α∥β,故B错误;
对于C,若m⊥α,n∥β,且α⊥β,则m与n的位置关系不确定,故C错误;
对于D,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,又n∥β,则m⊥n,故D正确.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有 对.?
解析:∵AB⊥平面BCD,
∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.
∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.
∴平面ADC⊥平面ABC.
∴共有3对互相垂直的平面.
答案:3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.正四面体的侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值是 .?
解析:如图所示,设正四面体ABCD的棱长为1,过点A作
AO⊥底面BCD,垂足为O,连接DO并延长交BC于点E,
连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,
∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角.(共18张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
课标阐释
思维脉络
1.理解异面直线垂直的定义.(数学抽象)
2.理解异面直线所成角的概念.
(数学抽象)
3.会求给定两条异面直线所成的角.(数学运算)
激趣诱思
知识点拨
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1垂直的棱有几条?你是如何断定它们是相互垂直的?
激趣诱思
知识点拨
知识点、异面直线所成的角(或夹角)
异面直线所成的角定义
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b
范围
空间两条直线所成的角α的取值范围是0°≤α≤90°
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .?
解析:∵B1C1∥BC,∴∠AEB为异面直线AE与B1C1所成的角.∵∠BAE=25°,∴∠AEB=65°.
答案:65°
探究
素养形成
当堂检测
求异面直线所成的角
例题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
分析先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最后在三角形中求角.
探究
素养形成
当堂检测
解:(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
①
探究
素养形成
当堂检测
②
探究
素养形成
当堂检测
(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究
素养形成
当堂检测
反思感悟
异面直线所成角的求解策略
(1)求两条异面直线所成角的一般步骤是:
①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;
②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;
③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;
④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.
探究
素养形成
当堂检测
(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);
②中位线平移法;
③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
探究
素养形成
当堂检测
延伸探究
若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?
解:如图,连接A1C1,A1D.
在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.
在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.
探究
素养形成
当堂检测
异面直线的判断
典例(2019广东佛山第二中学高二月考)如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )
探究
素养形成
当堂检测
解析:A,B中,PQ与RS互相平行;
D中,由于PR平行且等于
SQ,则四边形SRPQ为梯形,故PQ与RS相交;
C中,PQ与RS既不平行,又不相交,故选C.
答案:C
方法点睛利用异面直线的定义和正方体的性质,逐一分析各个图形中的2条直线,即可把满足条件的图形找出来.
探究
素养形成
当堂检测
1.经过空间一点P作与直线a成60°角的直线,这样的直线有( )
A.0条
B.1条
C.有限条
D.无数条
解析:这些直线可以是以P为顶点,以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线,有无数条直线.
答案:D
探究
素养形成
当堂检测
2.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定异面
D.相交或异面
解析:画出图形,得到结论.
如图①,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图②,分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.
答案:D
探究
素养形成
当堂检测
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为( )
解析:连接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,
∴∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成的角.
答案:A
探究
素养形成
当堂检测
4.(2020山东潍坊月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是 .?
解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵C1D1∥CD,
∴∠B1D1C1即为异面直线B1D1与CD所成的角.
∵△B1D1C1为等腰直角三角形,∴∠B1D1C1=45°.
答案:45°(共44张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直
课标阐释
思维脉络
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.(数学抽象)
2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,并能解决有关线面垂直的问题.(逻辑推理、直观想象)
3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.(数学抽象)
4.了解点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离的含
义,并能求解空间距离.(数学运算、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
唐代诗人王维在他的诗《使至塞上》中写下千古绝句:“大漠孤烟直,长河落日圆.”前一句大漠孤烟直中的意境是:荒凉的大漠中,一缕青烟从烽火台上冲天而起,给荒凉的大漠带来了一丝活力.从数学的角度看这一景象,它充分体现了空间中直线与平面垂直的问题.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、直线与平面垂直的定义
定义
一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)定义中的“任意一条”与“任何直线”“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同,即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直.
(2)直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l与平面α内的无数条直线垂直,则( )
A.l和α相互平行
B.l和α相互垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
解析:直线l和α相互平行或直线l和α相互垂直或直线l在平面α内都有可能,如图所示.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二、直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α
作用
判断直线与平面垂直
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)“两条相交直线”是关键词语,是不可忽视的条件.
(2)要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.
(3)定理体现了相互转化的数学思想,即由线线垂直转化为线面垂直.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
答案:C
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.( )
②若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.( )
③若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.( )
答案:①× ②√ ③×
激趣诱思
知识点拨
知识点三、直线与平面所成的角?
一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线
PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
名师点析
(1)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
(2)直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于 ;AB1与平面ADD1A1所成的角等于 ;AB1与平面DCC1D1所成的角等于 .?
解析:∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
答案:45° 45° 0°
激趣诱思
知识点拨
知识点四、空间距离
1.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2.一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.
3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为( )
解析:如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
知识点五、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作 用
证明两条直线平行
激趣诱思
知识点拨
微思考
?
在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB'所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?
提示:棱AA',BB'所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则( )
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面但不垂直
D.B1B与l相交但不垂直
解析:因为B1B⊥平面A1C1,又因为l⊥平面A1C1,
所以l∥B1B.
答案:B
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探究二
探究三
探究四
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素养形成
当堂检测
证明直线与平面垂直
例1如图所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D.求证:SD⊥平面ABC.
分析先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SD⊥AC.再由△SDA≌△SDB,得SD⊥DB.
证明:∵SA=SC,D为AC中点,∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD,
又SA=SB,∴△SDA≌△SDB.
∴∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB.
又AC∩BD=D,AC?平面ABC,BD?平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
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反思感悟
直线与平面垂直的判定方法
判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.
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当堂检测
延伸探究
在本例条件下,若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:∵BA=BC,D为AC中点,
∴BD⊥AC.
∵SD⊥平面ABC,BD?平面ABC,∴BD⊥SD,
∵AC?平面SAC,SD?平面SAC,AC∩SD=D,
∴BD⊥平面SAC.
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当堂检测
证明两直线垂直
例2如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.
分析首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.
证明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵PC?平面PAC,∴BC⊥PC.
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反思感悟
1.直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b?α?a⊥b.
2.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.
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延伸探究
若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.
证明:由【例2】知BC⊥平面PAC,
∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,
PC?平面PBC,BC?平面PBC,
∴AE⊥平面PBC.
∵PB?平面PBC,∴AE⊥PB.
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求直线与平面所成的角
例3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面BCD所成的角的正弦值为 .?
分析作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OD→取OD中点P,连接QP,CP→∠QCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角→求出sin∠QCP
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当堂检测
解析:过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.
取OD中点P,连接QP,CP.
由AO⊥平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.
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反思感悟
1.求斜线与平面所成的角的步骤:
(1)作角.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).
(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.
(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.
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当堂检测
变式训练1如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影为直线AB,垂足为A,线段AB的长为4,∠MBC=60°,则MC与平面CAB所成角的正弦值为 .?
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当堂检测
解析:由题意知,MA⊥平面ABC,
∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
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空间距离的求法
例4如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.
分析因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离,为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线.
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当堂检测
解:连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OK⊥GH于点K.
∵四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,
∴EF∥BD,H为AO的中点.
∵BD∥EF,BD?平面GFE,
∴BD∥平面GFE.
∴点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.
∵BD⊥AC,∴EF⊥AC.
∵GC⊥平面ABCD,∴GC⊥EF.
∵GC∩AC=C,∴EF⊥平面GCH.
∵OK?平面GCH,∴EF⊥OK.
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当堂检测
∵OK⊥GH,GH∩EF=H,
∴OK⊥平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离.
∵正方形ABCD的边长为4,CG=2,
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反思感悟
求点到平面的距离一般有两种方法
(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.
(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.
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延伸探究
本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢?
提示:先证明BD∥平面GEF,将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离,过程和答案与例题一致.
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变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
,平面AB1D1到平面BC1D的距离为( )
答案:C
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当堂检测
直线与平面垂直的性质的应用
例5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
分析连接AB1,B1C,BD,B1D1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.
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当堂检测
证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图.
∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,BD∩DD1=D,
BD?平面BDD1B1,DD1?平面BDD1B1,
∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∵AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,
AC?平面AB1C,B1C?平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
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反思感悟
直线与平面垂直的其他性质
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
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变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD,求证:l∥AE.
证明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD,∴AE⊥DC.
又AE⊥PD,PD∩CD=D,
∴AE⊥平面PCD.∵l⊥平面PCD,∴l∥AE.
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转化与化归思想的应用
典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.
分析要证空间直线AC⊥BD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BD⊥AC转化为证BD⊥EC,BD⊥EA.
证明:取BD的中点E,连接AE,CE.
由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AE⊥BD,CE⊥BD.
∵AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC.
方法点睛要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用线面垂直的重要性质得出线线垂直.
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1.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③
B.①②
C.②④
D.①④
解析:三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.
答案:A
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2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.a,b相交不垂直
D.a,b异面不垂直
解析:由b∥α,过b作平面β,使α∩β=c,则b∥c,且c?α.∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b.
答案:B
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3.点A,B到平面α的距离分别为4
cm和6
cm,则线段AB的中点M到平面α的距离为 .?
解析:当A,B在平面α同侧时,由梯形中位线定理可得点M到平面α的距离为5
cm;当A,B在平面α异侧时,由相似三角形列比例式可得距离为1
cm.
答案:1
cm或5
cm
4.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是 .?
解析:∵α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l,∴n⊥α.
又m⊥α,∴m∥n.
答案:平行
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当堂检测
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=
,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为 .?
解析:如图所示,连接B1D1,
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,
则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.
则∠BD1B1=30°.
答案:30°
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探究四
探究五
素养形成
当堂检测
6.如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.
证明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,∴AE⊥BF.
∵BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,
∴AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,∴AE⊥BE.
