1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)
1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.
(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？
1．空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标原点
点O
坐标向量
i，j，k
坐标平面
Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面
右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
2.空间向量的坐标表示
空间直角坐标系中A点坐标
在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.( )
(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.
( )
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．
( )
[提示] (1)× (2)× (3)√
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O?xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1)
B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1)
D．不确定
D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，若以{，，}为基底，则＝________，的坐标是________．
＋＋
(1,1,1) [若以{，，}为基底，∵＝＋＝＋＋＝＋＋
∴的坐标为(1,1,1)．]
求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标．
[解] (1)显然D(0,0,0)，
因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，
所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．
因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．
(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，
则C1C的中点N为，
即N.
坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
x轴上
(x,0,0)
xOy平面上
(x，y,0)
y轴上
(0，y,0)
yOz平面上
(0，y，z)
z轴上
(0,0，z)
xOz平面上
(x,0，z)
坐标原点
(0,0,0)
[跟进训练]
1．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．
[答案] E，F
求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[思路探究] 求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”
在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：
对称轴或对称中心
对称点坐标
P(a，b，c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面
(a，－b，c)
坐标原点
(－a，－b，－c)
2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为.
[跟进训练]
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
则解得
故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]
空间向量的坐标表示
[探究问题]
1．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？
[提示] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
2．若＝(a，b，c)，则的坐标是多少？
[提示] ＝(－a，－b，－c)．【例3】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
[思路探究] 以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．
[解] 法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C?xyz，如图所示．
∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)，
而＝－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,2)．
又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．
法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，
∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．
[变条件]本例中，若把条件“AA1＝2”改为“AA1＝1”，结果怎样？
[解] 建系方式与例题相同，建系，＝－＋，因为{，，}为单位正交基底，
∴＝.
又＝－＋，∴＝(1，－1,1)．
所以＝－＝(－1,1，－1)．
用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
3.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
[解] (1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，
由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．
所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．
1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
1．设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是( )
A．(1,1，－1)
B．(－1，－1，－1)
C．(－1，－1,1)
D．(1，－1,1)
B [由条件知，P1(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点为(－1，－1，－1)．]
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(1,1,1)
B．
C．(3,2,5)
D．(3,2，－5)
C [＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．]
3．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，则AB的中点M的坐标为________．
[AB的中点坐标为，即.]
4.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，分别以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．
[解] 设＝e1，＝e2，＝e3，则＝＝e2，
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝(0,1,0)．课时分层作业(四)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于z轴对称
D．关于原点对称
B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]
2．已知A(1,2，－1)，B(5,6,7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是( )
A．(0,1,1)
B．(0,1，－3)
C．(－1,0,3)
D．(－1,0，－5)
D [设直线AB与平面xoz交点坐标是M(x，y，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)，＝(4,4,8)，
又与共线，
∴＝λ，即
解得x＝－1，z＝－5，∴点M(－1,0，－5)．故选D.]
3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝( )
A．
B．
C．
D．
C [M
，|CM|＝eq
\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋9)＝.]
4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A．
B．
C．
D．
C [{，，}为单位正交向量，＝＋＝－＋，∴＝.]
5．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,12,10)
D．(4,3,2)
A [依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．
(0，，) [过P的垂线PQ⊥面yOz，则Q点横坐标为0，其余不变，故Q(0，，)．]
7．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．]
8.如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为________．
(－4,3,2) [由＝＋＋，且＝(4,3,2)，∴||＝4，||＝3，||＝2，又＝－＋＋，∴＝(－4,3,2)．]
三、解答题
9．已知三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[解] 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1与C1在yOz平面内，
∴A1，C1.
∵点B1在xOy平面内的射影为B，且BB1＝1，
∴B1，即各点的坐标为A，B，C，A1，B1，C1.
10．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为正交基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
[解] 在正交基底{，，}下，
(1)＝＋＋，
＝＋，
＝＋，
∴＝，＝，＝.
(2)＝－＝＋，∴＝；
＝－＝－－，∴＝；＝－＝－，
∴＝.
11．(多选题)下列各命题正确的是( )
A．点(1，－2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)
B．点关于y轴的对称点为
C．点(2，－1,3)到平面yOz的距离为1
D．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2,4)．
ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A正确，B正确，C中(2，－1,3)到面yOz的距离为2，∴C错误．根据空间向量的坐标定义，D正确．]
12．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
A．1
B．
C．
D．
D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD?A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1?BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1,0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A?A1C1D1，其体积是××1×1×1＝.]
13．三棱锥P?ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为________．
[＝－
＝(＋)－(＋)
＝－，
故＝.]
14．已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1，7)．
(1)若点P满足＝＋＋，则点P的坐标为________；
(2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________．
(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中＝＋＋＝(2i－2k)＋(3i＋j＋2k)＋(2i－j＋7k)＝7i＋0j＋7k，
∴P(7,0,7)．(2)中，＝2－得－＝2－2－＋，∴＝2－
＝2(3i＋j＋2k)－(2i－j＋7k)
＝4i＋3j－3k，∴P(4,3，－3)．]
15.如图，在正四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1)用向量a，b，c表示.
(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标．
[解] (1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，
∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．
∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.(共50张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
情
景
导
学
探
新
知
i，j，k的方向
x
y
z
O
i
j
k
Oxy
Oyz
Oxz
x轴
y轴
z轴
xi＋yj＋zk
(x，y，z)
A(x，y，z)
x
y
z
xi＋yj＋zk
(x，y，z)
a＝
(x，y，z)
合
作
探
究
释
疑
难
求空间点的坐标
求对称点的坐标
空间向量的坐标表示
课
堂
小
结
提
素
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时
分
层
作
业
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C1
A1
B1↑N
●●●●。●
规律方法··
e
类型2
类型3
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