1.4.2 用空量研究距离、夹角问题
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
(1)已知a，b为非零向量，它们的夹角为θ，那么cos
θ＝cos〈a，b〉＝.
(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角和两个平面的夹角．
(3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢？
1．空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos|＝
思考：直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] 设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
2．空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|
点线距
设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P?l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距
已知平面α的法向量为n，A∈α，P?α，则点P到平面α的距离为d＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．
( )
(2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．
( )
(3)平面α和β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．
( )
[提示] (1)× (2)× (3)×
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°，应选B.]
3．两平行平面α，β分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________．
[两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝.]
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为________．
45° [cos
θ＝＝＝，由于θ∈，∴θ＝45°.]
距离问题
【例1】 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．
[思路探究]
→→
利用点到平面的距离公式求解
[解] 取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示．
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.
求点到平面的距离的四步骤
[跟进训练]
1．在长方体OABC?O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．
[解] 法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，＝(x－2，y，0)，＝(x，y，－2)，
∵＝(－2,3,0)，⊥，
∥，∴
解得∴D，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))＋?－2?2)＝.
即O1到直线AC的距离为.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
∴＝(－2,0,2)，
＝(－2,3,0)，
∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，
∴在方向上的投影为
＝，∴O1到直线AC的距离
d＝eq
\r(\o(|\o(AO1,\s\up8(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AO1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))))＝.
求两条异面直线所成的角
【例2】 如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
[思路探究] 建立空间直角坐标系→用坐标表示向量和→运用向量法求A1B与AO1的夹角
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
[跟进训练]
2.如图，在三棱锥V?ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
[解] 因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
直线与平面所成的角
【例3】 如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
[思路探究] 连接A1E，先证明A1E⊥面ABC，再以E为原点建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，利用向量的坐标运算证明EF⊥BC，再利用向量法求直线与平面所成角的余弦值．
[证明] (1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E?xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，
取n＝(1，，1)，故sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
求直线与平面的夹角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝.
[跟进训练]
3.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
[解] 如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O?xyz.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1，2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
(1)因为P为A1B1的中点，
所以P，
从而＝，＝(0,2,2)，
故|cos〈，〉|＝＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，
因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取n＝(，－1,1)．
设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
平面与平面的夹角
[探究问题]
1．二面角与平面的夹角范围一样吗？
[提示] 不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
2．两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] 两平面的法向量分别为u，v，若〈u，v〉为锐角时，两平面的夹角等于〈u，v〉，若〈u，v〉为钝角时，两平面的夹角等于π－〈u，v〉．
【例4】 如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．
[思路探究] 建立空间直角坐标系，根据∠CBA＝60°，建立棱长之间的关系，写出相关点的坐标和向量的坐标，再求两平面的夹角．
[解] (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为.
1．[变设问]本例条件不变，求面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1,2)，
B(，0,0)，C(0,1,0)，
D(－，0,0)．
所以＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(－，－1,0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3,3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝z2＝－3，
故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－.
所以面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值为－.
2．[变条件、变设问]本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值．
[解] 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E，D1(0,1,1)，F，＝，＝(1,0,1)，＝，＝(0,1,1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1,2,1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
即
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.
所以n2＝(2，－1,1)．
所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为＝＝.
利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．
1．向量法求空间角的一般步骤
(1)向量表示
法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量运算
①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；
②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；
③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．
(3)解释结论
①由于直线a、b所成角θ∈，故cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin
θ＝|cos〈a，b〉|.
③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos
θ＝|cos〈m，n〉|.
2．向量法求空间中的距离
(1)点A，B间的距离．
d＝||
(2)点A到直线a的距离
d＝eq
\r(|\o(AB,\s\up8(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→))·a,|a|))))，其中B∈a，a是直线a的方向向量．
(3)点A到平面α的距离．
d＝，其中B∈α，n是平面α的法向量．
1．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
D [选项A，B，C的命题显然是正确的．只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．故答案为D.]
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
B [由于＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·＝||＝1.
所以cos〈，〉＝＝?〈，〉＝60°.]
3．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，1,0)
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令x＝1，∴n＝(1,1,1)，
又∵＝(0,0,1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为＝.]
4．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[如图所示，取AB的中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D.
∵C1A＝C1B，M为AB中点，
∴C1M⊥AB.
∵CA＝CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB.
又∵C1M∩CM＝M，∴AB⊥平面C1CM
又∵AB?平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM＝C1M，CD⊥C1M，∴CD⊥平面C1AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，C1C＝1，CM＝，C1M＝，∴CD＝，即点B1到平面ABC1的距离为.]
5.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F?AE?P的余弦值．
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
(2)过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，如图建立空间直角坐标系A?xyz，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，因为E为PD的中点，
所以E(0,1,1)．
所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)．
所以＝＝，＝＋＝.
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则，
即.
令z＝1，则y＝－1，x＝－1.
于是n＝(－1，－1,1)．
又因为平面PAD的法向量为p＝(1,0,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.
因为二面角F?AE?P为锐角，所以其余弦值为.(共83张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空量研究距离、夹角问题
情
景
导
学
探
新
知
合
作
探
究
释
疑
难
距离问题
求两条异面直线所成的角
直线与平面所成的角
平面与平面的夹角
课
堂
小
结
提
素
养
点击右图进入…
课
时
分
层
作
业
Thank
you
for
watching
!
类型
M
B
D
D
●●●●。●
规律方法··
00
类型2
y
A
类型3
C1
E
2
A
A
B
A1
C
82g
2
O1
A
Cy
Q
类型4
2
B
7厂
D
DI
B
D
B
D
B
M
W课时分层作业(八)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D?xyz(图略)，设AB＝1.
则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]
2．在空间直角坐标系中有长方体ABCD?A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为( )
A．
B．
C．
D．1
B [过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．
因为，
所以，
解得，所以＝，
所以点B到直线A1C的距离||＝.]
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
A [以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则C(0,3,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,3,1)，D(0,0,0)，＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)，设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则可得平面D1EC的一个法向量为n＝(2,1,3)，
所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为
sin
θ＝cos〈，n〉＝＝＝.]
4．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( )
A．
B．
C．
D．
C [以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)
∵E为AB的中点，
∴＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)
设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，
则，即，
可得
可取n＝(2,1,2)
∴点E到面ACD1的距离为d＝＝＝.]
5.如图所示，已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C?BF?D的正切值为( )
A．
B．
C．
D．
D [如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O?xyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角C?BF?D的正切值为.]
二、填空题
6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]
7．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．
[作出正四棱锥P?A′B′C′D′，如图，
以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O?xyz，则A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面的距离d＝＝.]
8.如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________．
[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?∴x＝2y＝z.
取y＝1，则n＝(2,1,2)．
又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.]
三、解答题
9.如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值．
[解] (1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，DE为y轴正方向，DD1为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则
所以可取m＝(，1,0)．
设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则
所以可取n＝(2,0，－1)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值为.
10.如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D?PC?A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
[解] (1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，
D，B(0,2,0)，
＝，＝(0,1,0)，
设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则
即
取x1＝h，
∴n1＝.
由(1)知平面PAC的一个法向量为＝，
∴|cos〈n1，〉|＝＝，
解得h＝，
同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)，
所以，点A到平面PBC的距离为
d＝＝＝.
11．(多选题)如图，ABCD?A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
ABC [以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1⊥面CB1D1，
∴可以作为面CB1D1的法向量，∴C正确．∵＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，∴·＝1－1＝0，
∴BD∥面CB1D1即AB正确．又∵＝(－1,0,0)，＝(1,0,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，∴AD与CB1所成的角为45°，
∴D错，故应选ABC.]
12.如图所示，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
C [建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，
|PQ|＝
＝
＝eq
\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))＋\f(4,9))，
当且仅当λ＝，μ＝时，
线段PQ的长度取得最小值，为.]
13．(一题两空)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝________，这时，点D到面PEC的距离为________．
2－ [设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D?xyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.这时，平面PEC的法向量可以取(，1,2)，又因＝(0,0,1)．∴点D到平面PEC的距离为d＝＝＝.]
14．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
[平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
则
即3x＝4y＝az，
取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.]
15.如图，在三棱台DEF?ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．
[解] (1)法一：连接GD，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF?ABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则O为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以OH∥BD，又OH?平面FGH，
BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
法二：在三棱台DEF?ABC中，
由BC＝2EF，H为BC的中点，
可得
BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形BHFE为平行四边形，
可得BE∥HF，
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
所以GH∥AB，
又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED，
因为
BD?平面ABED，
所以
BD∥平面FGH.
(2)设AB＝2，则CF＝1，
在三棱台DEF?ABC中，
G为AC的中点，
由DF＝AC＝GC，
可得
四边形DGCF为平行四边形，
因此DG∥FC，
又FC⊥平面ABC，
所以DG⊥平面ABC，
在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点，
所以AB＝BC，GB⊥GC，
因此GB，GC，GD两两垂直，
以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz，
所以G(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，D(0,0,1)．
可得H，F(0，，1)．
故＝，＝(0，，1)，
设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则
由可得
可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，)，
因为是平面ACFD的一个法向量，＝(，0,0)
所以cos〈，n〉＝＝＝.
所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.
