(共57张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
情
境
导
学
探
新
知
垂直
非零向量
一条斜线
射影
斜线
一条直线
一条斜线
合
作
探
究
释
疑
难
求平面的法向量
利用法向量证明空间中的位置关系
三垂线定理及逆定理的应用
课
堂
小
结
提
素
养
点击右图进入…
课
时
分
层
作
业
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类型
●●●●。●
律方法
●●●。
类型2
类型3
W1.2.2 空间中的平面与空间向量
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)
1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
如图，在直棱柱ABC?A1B1C1中，
(1)与哪些棱平行的向量与平面ABC平行，这些向量是否两两互相平行？
(2)与哪些棱平行的向量与平面ABC垂直，这些向量是否两两相互平行？
空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？
1．平面的法向量
(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？
[提示] 无数个 平行
思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？
[提示] 垂直
(2)平面的法向量的性质
①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α，或l?α．
(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2?α1⊥α2，n1∥n2?α1∥α2或α1与α2重合．
2．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．
( )
(2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．
( )
(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．
(2)× 不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l．
(3)√
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
B [∵a＝(1,0,2)，u＝－2(1,0,2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．]
3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系为( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]
4．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________．
4 [因为α∥β，∴两平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4．]
求平面的法向量
【例1】 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] ∵在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，
∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(1，，0)，
D(0，，0)，P(0,0,1)，E，
＝，＝(1，，0)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则取y＝－，得n＝(3，－，3)．
∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)．
利用待定系数法求法向量的解题步骤
1．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量．
[解] 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D?xyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0,1)．
∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
即因此可取n＝(，1，)．
∴平面PAB的一个法向量为(，1，)．
利用法向量证明空间中的位置关系
[探究问题]
1．平面的法向量有何特点？
[提示] 设向量n是平面α的一个法向量．则
(1)n是一个非零向量．
(2)向量n与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．
2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则
位置关系
向量关系
向量运算关系
坐标关系
l⊥m
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α
a∥u
a＝λu，λ∈R
a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3
α⊥β
u⊥v
u·v＝0
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
【例2】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：
(1)C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F．
[思路探究] 建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
[证明] (1)以D为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，M，＝(1,0,0)，＝，＝．
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
则?
令c＝2，得m＝(0，－1,2)，
∵m·＝(0，－1,2)·＝0＋1－1＝0，
∴⊥m．
又C1M?平面ADE，∴C1M∥平面ADE．
(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，F，
得＝(1,0,0)，＝，
设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令y＝2，则n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．
1．(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．
[解] 如本例建系定坐标，D1(0,0,1)，
E，M，
所以＝，即直线D1E的一个方向向量．
设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，
因为F，所以＝，＝(0，－1,0)，
由即
所以令x＝1，则z＝－2．
所以平面EFM的一个法向量为(1,0，－2)．
2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC．
[证明] 如本例解析，E，
N，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)．
∴＝，＝(0,1,1)，
＝(－1,1,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC．
又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC．
利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示．
三垂线定理及逆定理的应用
【例3】 如图，已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．
[证明] 连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又DD1⊥平面ABCD，
∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，
∴BD1⊥AC而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，
∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C．
利用三垂线定理证明垂直的步骤
(1)找平面(基准面)及平面的垂线．
(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．
(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．
2．在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB．
[证明] 过P作PH⊥平面ABC，连AH延长交BC于E，
连BH并延长交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，
而PA在面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，
同理可证BF⊥AC．则H为△ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，
于是CG⊥AB，而CH是PC在面ABC的射影，故PC⊥AB．
1．三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系
线射垂直线斜垂直
2．利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．
1．若直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝( )
A．2 B．－10 C．－2 D．10
A [∵直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，
平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，
∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2．]
2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]
3．若两个向量＝(1,2,3)，＝(3,2,1)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(－1,2，－1)
B．(1,2,1)
C．(1,2，－1)
D．(－1,2,1)
A [两个向量＝(1,2,3)，＝(3,2,1)，
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1,2，－1)．]
4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________．
－9 [由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]
5．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M．
[证明] 连接AC1，∵＝＝，＝＝，
∠ACC1＝∠A1C1M，
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，
∠AC1C＝∠MA1C1，
∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1．
由三垂线定理知，AB1⊥A1M．1.2.2 空间中的平面与空间向量
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A.(0,1,2)
B.(3,6,9)
C.(-1,-2,3)
D.(3,6,8)
解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.
答案B
2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为μ,则能使l∥α的是( )
A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1)
D.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)
解析由l∥α,故a⊥μ,即a·μ=0,故选D.
答案D
3.(多选)因为v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列选项中,正确的是
( )
A.n1∥n2?α∥β
B.n1⊥n2?α⊥β
C.v∥n1?l∥α
D.v⊥n1?l∥α
解析v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),
则n1∥n2?α∥β,n1⊥n2?α⊥β,,v∥n1?l⊥α,v⊥n1?l∥α或l?α.
因此AB正确.
答案AB
4.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),
b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为( )
A.10
B.-10
C.
D.-
解析因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,
所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,
解得x=-10.
答案B
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是( )
A.直线AC
B.直线B1D1
C.直线A1D1
D.直线A1A
解析如图,连接AC,B1D1.
则点E在B1D1上,
∵点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,
∴CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,
∵C1E⊥B1D1,
由三垂线定理可得,CE⊥B1D1;
在四边形AA1C1C中,C1C⊥AC,
易得AC不可能和CE垂直;
∵A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,
∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.
综上,选B.
答案B
6.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z= .?
解析由题知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.
答案-9
7.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是 .?
答案AB∥平面CDE或AB?平面CDE
8.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z= .?
解析由已知得,=1,-3,-,
=-2,-1,-,
∵a是平面α的一个法向量,
∴a·=0,a·=0,
即解得
∴x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
答案2∶3∶(-4)
9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的是 .(填序号)?
解析DD1∥AA1,=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错误.
答案①②③
10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),D,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),
则=,1,0,=-,0,1,
向量=,0,0是平面SBA的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,
则
即
取x=2,得y=-1,z=1,
故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
证法一∵
=)=,
∴,
∴MN∥平面A1BD.
证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是=(1,0,1),=(1,1,0),
设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),
则n·=0,且n·=0,得
取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).
又·n=·(1,-1,-1)=0,
∴⊥n,且MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
证法三∵
=)-)
=
=)
=.
即可以用线性表示,
∴是共面向量,
∴∥平面A1BD,即MN∥平面A1BD.
12.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
求证:(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.
证明(1)∵AB,AD,AP两两垂直,∴建立如图所示的空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形.
∴C,E,A(0,0,0).
设D(0,y,0),=,0,=-,y-,0.
由AC⊥CD,得=0,
即y=,则D,
∴.
又,
∴=-=0,
∴,即AE⊥CD.
(2)证法一:∵=(1,0,0),,
∴设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令y=2,则z=-,∴n=(0,2,-).
∵,显然n.
∴∥n,∴⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.
证法二:∵P(0,0,1),
∴.
又×(-1)=0,
∴,即PD⊥AE.
又∵=(1,0,0),∴=0,
∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,
∴PD⊥平面ABE.
能力提升练
1.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为( )
A.-1,2
B.1,-2
C.1,2
D.-1,-2
解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),
由c为平面α的法向量,得
解得
答案A
2.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面α内,平面α内两共点向量,下列关系中一定能表示l∥α的是( )
A.a=
B.a=k
C.a=p+λ
D.以上均不能
解析A,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能确定一定能表示为l∥α.
答案D
3.如图,AO⊥平面α,垂足为点O,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=45°,∠COB=30°,则∠BAC的余弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析∵AO⊥平面α,BC?平面α,BC⊥OB,
由三垂线定理可得,AB⊥BC,
设OB=2.
∵∠ABO=45°,∠COB=30°,
∴AO=2,AB=2,BC=,
在Rt△ABC中,AB=2,BC=,∠ABC=90°,
∴AC=.
∴cos∠BAC=.
故选B.
答案B
4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则以下结论不正确的有( )
A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,0,,F,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),
∴=(-1,0,-1),=(-1,1,0),
=,-,=(-1,-1,1),
∴=-=0,=0,
从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.
答案ACD
5.
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的比值为( )
A.1∶2
B.1∶1
C.3∶1
D.2∶1
解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
设正方形边长为1,PA=a,
则B(1,0,0),E,1,0,P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则=(-1,y,0),=,1,-a.
因为BF⊥PE,所以=0,
解得y=,即点F的坐标为0,,0,
所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.
答案B
6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是 .?
解析由题意知·n=0,且=(x,y-3,z-1),则(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0.
化简得,x-y+2z+1=0.
答案x-y+2z+1=0
7.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=,则n的坐标为 .?
解析据题意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).
设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,
∴
可得
∵|n|=,∴,
解得y=4或y=-4.
当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.
∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)
8.如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面QMN∥平面PAD.
证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),
因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,
所以M,N,0,0,Q,d,0,
所以=0,-,-.因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),
且·m=0,即⊥m.又MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.
(2)因为=(0,-d,0),
所以·m=0,即⊥m,
又QN不在平面PAD内,所以QN∥平面PAD.
又因为MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD.
9.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
证明:A1C⊥平面BB1D1D.
证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,
∵AB=AA1=,
∴OA=OB=OA1=1,
∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).
∴=(-1,0,-1),=(0,-2,0),
=(-1,0,1),∴=0,=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,
∴A1C⊥平面BB1D1D.
素养培优练
1.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为( )
A.2x-3y+z+5=0
B.2x-3y-z+3=0
C.2x+3y+z-7=0
D.2x+3y-z-9=0
解析通过类比,易得点法式方程为
-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,
整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.
答案B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;
(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE.
(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).
则=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0),
∴.
∴可得AD∥平面FB1C1,AE∥平面FB1C1.
又AD∩AE=A,
∴平面ADE∥平面FB1C1.
(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2),
则=(0,1,-2),=(2,2,1),=(-2,0,0).
∵=0,=0,
∴D1M⊥DE,D1M⊥AD.
∵AD,DE?平面ADE,AD∩DE=D,
∴D1M⊥平面ADE.
