(共62张PPT)
第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
情
境
导
学
探
新
知
合
作
探
究
释
疑
难
公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2的应用
用定义法解决直线与平面的夹角问题
用向量求直线与平面所成的角
课
堂
小
结
提
素
养
点击右图进入…
课
时
分
层
作
业
Thank
you
for
watching
!
直线与平面垂直
直线与平面的夹角
线直线与平面平行或
线与平面的夹角
直线在平面内
面
斜线和它在平面内的
成斜线和平面所成的角所成的锐角,叫做斜线与
角
面所成的角(或斜线和
面的夹角)
如图AB⊥a,则图中θ,01,62之间的
关系是
最线线角、线面
小角的关系式
角定理
最小角平面的斜线和它在平面内的所成的角是
定理斜线和这个平面内所有直线所成角中
类型
●●●●。●
律方法
●●●。
C
D
类型2
P
E
30°
60°
0、90
类型3
W1.2.3 直线与平面的夹角
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点)
通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．
倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？
1．直线和平面所成的角
2．最小角定理
3．用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos
θ＝sin〈v，n〉或sin
θ＝|cos〈v，n〉|．
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．
( )
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．
( )
(3)斜线与平面的夹角为[0,90°]．
( )
(4)直线与平面的夹角为[0,90°]．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度．
(2)√ 根据线面角的定义知正确．
(3)× 斜线与平面的夹角为(0,90°)．
(4)√ 正确．
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
C [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos
120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]
3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为________．
60° [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]
4．在正方形ABCD?A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．
30° [如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，
设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，
sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．
即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．]
公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2的应用
【例1】 ∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
[思路探究] 根据定义或cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2求解．
[解] 法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a．
又∵BC＝a，
∴AB2＋AC2＝BC2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．
取BC中点为H，连接AH，OH，
∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，
AH2＋OH2＝AO2．
∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH．
又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，
∴AH⊥平面α．
∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝＝．
∴∠AOH＝45°．
∴OA与平面α所成的角为45°．
法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，
作∠BOC的角平分线OH交BC于H．
又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°．
故∠BOH＝45°，由公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2，
得cos∠AOH＝＝，
∴OA与平面α所成的角为45°．
求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2求线面角，也是常用的方法．
1．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ．
[解] 由题意得∠CBD＝45°，
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ．
∵cos∠PBC＝cos
θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．
即cos
60°＝cos
θ·cos
45°，∴cos
θ＝，θ＝45°．
用定义法解决直线与平面的夹角问题
[探究问题]
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
【例2】 如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[思路探究] (1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．
(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．
[解] (1)因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC?平面PAC，
PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．
(2)取PC的中点E，连接DE．
因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．
连接AE，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin∠DAE＝＝＝．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为．
1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[解] 由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝×＝，PB＝，BD＝．
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos
45°＝，∴AD＝，所以sin∠DAE＝＝＝．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为．
2．(改问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？
[解] 由例题(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
过A作AE⊥PC．
所以AE⊥平面PBC．
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a．
故AD＝a．
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin
60°＝2a×＝a，
所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin
θ＝AC×
＝a×＝a
＝a，
所以sin∠ADE＝＝＝．
即AD与平面PBC夹角的正弦值为．
用定义法求直线与平面的夹角
找直线在平面内的射影，充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
用向量求直线与平面所成的角
【例3】 如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
(1)求证：B1C∥平面AC1M；
(2)求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B1(0,1,2)，C(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)，M，＝(0，－1，－2)，
＝(－1,0,2)，
＝，
设平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，
∵·n＝0，B1C?平面AC1M，
∴B1C∥平面AC1M．
(2)＝(0,0,2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2,1)，
设AA1与平面AC1M所成角为θ，
则AA1与平面AC1M所成角的正弦值：
sin
θ＝＝＝，
所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为．
用向量法求线面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝．
2．已知棱台ABC?A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，AA1＝AC＝CC1＝，D，E分别是BC和A1C1的中点．
(1)证明：DE⊥B1C1；
(2)求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．
[解] (1)证明：过点A作AO⊥平面A1B1C1，交A1C1于点O，连接B1O，设AA1＝AC＝CC1＝＝2，
则A1O＝1，A1B1＝2，∴B1O⊥A1C1，B1O＝，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B，C(0,2，)，D，E，B1(，0,0)，C1(0,3,0)，
＝，＝(－，3,0)，
又·＝0，∴DE⊥B1C1．
(2)＝(，－2，－)，＝(0,1，－)，
设平面BCC1B1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取y＝，得n＝(3，，1)，
＝，
设DE与平面BCC1B1所成角为θ，
则sin
θ＝＝．
∴cos
θ＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),13))))＝．
∴DE与平面BCC1B1所成角的余弦值为．
1．知识：掌握线面角的概念以及最小角定理．
2．方法：(转化思想)利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．
1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为．]
2．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
C [连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．
C1O＝×＝2，
BC1＝＝2，
∴sin∠C1BO＝＝＝．]
3．若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与α所成角的正弦值为________．
[设l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝＝＝．]
4．在正三棱锥P?ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．
[如图，
在正三棱锥P?ABC中，PA＝4，AB＝，
设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，
由已知求得AO＝1，又PA＝4，
∴PO＝＝．
∴sin∠PAO＝＝．
即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为．]
5．在正四棱锥S?ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．
[解] 以O为原点建立空间直角坐标系O?xyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a，0,0)，
P，
从而＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝．
所以〈·n〉＝60°．
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．1.2.3 直线与平面的夹角
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若
=,则l与α所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
解析线面角的范围是0,.
∵=,∴l与法向量所在直线所成角为,
∴l与α所成的角为.
答案C
2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析设α与l所成的角为θ,则sinθ=|cos|===,故直线l与α所成角的余弦值为.
答案D
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,
则=(1,1,0),=0,1,,
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴·n=0,·n=0,
可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),
而=(0,-1,1),
∴cos<,n>=,∴<,n>=30°.
∴直线A1B与平面BDE成60°角.
答案B
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
解析如图所示,由棱柱体积为,底面正三角形的边长为,可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为=2.故∠PAO=,即PA与平面ABC所成的角为.
答案B
5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为 .?
解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),=(1,3,),所以cos=,因为∈[0,π],所以sin=.
答案
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为 .?
解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,
则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).又=(0,0,1),
则sin<>=|cos<>|
=.
答案
7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为 .?
解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,
则C1(0,1,1),A,
又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),
设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.
sinθ=|cos|=,
∴cosθ=.
答案
8.
如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值.
解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.
(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),
D(0,a,0),Ea,,0,∴=(a,a,-a),
=a,-,0,
∴cos<>=,
故A1C与DE所成角的余弦值为.
(2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.
又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),
得=(0,-a,0),=(a,-a,a),
∴cos<>=,
又直线与平面所成角的范围是0,,
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为.
9.(2019浙江,19)
如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.
因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=AD,
又因为BC∥AD,BC=AD,
所以EF∥BC且EF=BC,
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.
∵BF?平面PAB,CE?平面PAB,
因此CE∥平面PAB.
(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN.
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,
所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.
设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=.
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
能力提升练
1.
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C.
D.
解析如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),
设BC1与平面BB1D1D所成角的大小为θ,
∴=(-2,0,1).
连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,
∴平面BB1D1D的一个法向量为a==(-2,2,0).
∴所求角的正弦值为sinθ=|cos|=.
答案D
2.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为( )
A.4
B.3
C.4
D.3
解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.
由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=·AB·BC·A1D=×2×2×2=4.
答案C
3.AB∥α,AA'⊥α,
A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=6,则直线BB'与平面α所成角的大小为 .?
答案60°
4.
如图,圆锥的高PO=,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为 .?
解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即S△PAC·d=|PO|·S△OAC,
∴d=,
∴sinα=,则cosα=.
答案
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD所成角的正弦值.
解由向量加法知)+,设||=1,则||=1,||=1,且两两垂直,可得||=,
∴=-,∴cos<>==-,∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.
素养培优练
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.
解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),
所以=(-1,-1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0).
因为=0,=0,
所以为平面BDD1B1的一个法向量.
设AP与平面BDD1B1所成的角为θ,
则sinθ=cos,
所以cosθ=.
因为tanθ==3,
所以m=.
故当时,直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.