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第一章
空间向量与立体几何
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
情
境
导
学
探
新
知
两个点连线的线段长
垂线段的长
一个平面
垂线段
垂线段的长
任意一点到平面的距离
到另一个平面的
距离
合
作
探
究
释
疑
难
空间两点间的距离
点到直线的距离
点到平面的距离
线面平行、平行平面间的距离
课
堂
小
结
提
素
养
点击右图进入…
课
时
分
层
作
业
Thank
you
for
watching
!
类型
●●●●。●
律方法
●●●。
类型2
类型3
D
B
A
D1
类型4
W1.2.5 空间中的距离
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握向量长度计算公式．(重点)2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(重点、难点)
通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．
“距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的.义务教育阶段已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又是怎样呢？
1．空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示] 利用向量法转化为求向量的模．
2．点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
3．点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝．
提醒：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？
提示：
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)可以用||＝＝，求空间两点A、B的距离．
( )
(2)设n是平面α的法向量，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝．
( )
(3)若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)√ (2)√
(3)× 直线上任意一点到平面α的垂线段的长度．
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A．
B．
C．
D．
C [∵M点坐标为，∴|MC|＝eq
\r(?2－0?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋?3－0?2)＝．]
3．在四面体P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
A [以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7．]
4．已知平面α的一个法向量n＝(1,0,1)，点A(－1,1,0)在α内，则平面外点P(－1,1,1)到平面α的距离为________．
[＝(0,0,1)，n＝(1,0,1)，d＝＝＝．]
空间两点间的距离
【例1】 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
(1)求MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小？
[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解．
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，F(1,1,0)，
C(0,0,1)．
因为CM＝BN＝a(0所以M，N，
所以＝，
所以||＝(0(2)由(1)知MN＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))＋\f(1,2))，所以，当a＝时，MN＝．
即当a＝时，MN的长最小，最小值为．
计算两点间的距离的两种方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解．
(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
1．如图所示，在120°的二面角α?AB?β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又∵二面角α?AB?β的平面角为120°，
∴〈，〉＝60°，
∴|CD|2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
∴CD＝12．
点到直线的距离
[探究问题]
1．如何理解与认识点到直线的距离？
[提示] 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
(1)点在直线上时，点到直线的距离为0．
(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间的距离．即点到直线的距离可转化为两点间的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示] 设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模．
【例2】 已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[思路探究] 建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解] 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，
所以＝(－4,3,0)．
设E满足＝λ，且BE⊥A1C1，
则＝＋＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，又⊥，
∴(4－4λ，3λ，1)·(－4,3,0)＝0，∴λ＝．
∴＝，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,25)))＋12)＝，
∴B到直线A1C1的距离为．
1．(变问法)条件不变，试求B到AC1的距离．
[解] 建系如本例解法＝(－4,3,1)，设M满足＝λ且·＝0，则＝＋＝(4,0,0)＋λ(－4,3,1)＝(4－4λ，3λ，λ)．
又·＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4,3,1)＝0，
∴λ＝，
∴＝＝，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,13))))＝，
∴B到AC1的距离为．
2．(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC?A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离．
[解] 以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，，2)，＝(2,0,2)
所以A1C1的方向向量＝(－1，，0)，而＝(1，，2)，
设E满足＝λ且BE⊥A1C1，
＝＋＝(2,0,2)＋λ(－1，，0)＝(2－λ，λ，2)，
又⊥∴(2－λ，λ，2)·(－1，，0)＝0，
∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝，∴＝．
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))＋22)＝，
∴B到A1C1的距离为．
求点M到直线AB的距离的方法与步骤
(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：①＝λ，②ME⊥AB．
(2)利用(1)中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E的坐标，求出向量||的模即为M点到AB的距离．
点到平面的距离
【例3】 如图所示，已知正方体ABCD
?A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
[思路探究] 本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解．
[解] 法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则
VB?AA1D＝×a××a×a＝a3，
VA?A1BD＝×h××(a)2＝a2h，
∵VA?A1BD＝VB?AA1D，
∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a．
法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1
xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，
则＝(a，a,0)，＝(0，a，a)，＝(－a,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
即∴
令y＝－1，则x＝z＝1，
∴n＝(1，－1,1)．
∴·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a．
∴点A到平面A1BD的距离d＝＝＝a．
用向量法求点面距的方法与步骤
(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；
(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；
(4)得答案：代入公式d＝求得答案．
提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．
2．如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，
∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．
设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴
∴
∴n＝(2,1,1)，∵＝(0,0,2)．
∴点A到平面SND的距离为＝＝．
线面平行、平行平面间的距离
【例4】 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
(1)求证：BE∥平面DCF；
(2)求点B到平面DCF的距离．
[解] (1)证明：由已知可得?平面ABE∥平面DFC，
∵BE?平面ABE，∴BE∥平面DCF．
(2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．
∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，
则△ADB∽△BCD?＝，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，
∴AD＝2，AB＝5，∴F(0,0,1)，
D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0，，0)，C，＝(0，－，1)，＝，＝．
设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令x＝1，y＝2，z＝0．∴n＝.
d＝＝2．∴B到平面DCF的距离为2．
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
3．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
1．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解．
2．要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会单位法向量的求法．
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10
B．3
C．
D．
D [＝(－1，－2,4)，d＝＝．]
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x＝( )
A．－1
B．－11
C．－1或－11
D．－21
C [＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11．]
3．若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A． B．1
C． D．
D [如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1．∴BB1＝．即点A1到平面ABCD的距离为．]
4．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．
[作DH⊥AC于点H，连接EH(图略)．因为DE⊥平面ABC，所以DE⊥AC，因为DE∩DH＝D，所以AC⊥平面DEH，所以EH⊥AC，所以EH即为所求距离．由∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝2，得BC＝．因为D是BC边上的中点，所以DH＝CD＝BC＝．又DE＝1，所以EH＝＝．]
5．三棱柱A1B1C1?ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
[解] 如图所示，以B为原点，过点B与BC垂直的直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，A1，B1(0，0，a)，D，C(0，a,0)．
(1)证明：取AB1中点M，则M．
∴＝，
＝(0,0，a)，＝．
∴·＝0，·＝0．
∴DM⊥AA1，DM⊥AB1，
又AA1∩AB1＝A，∴DM⊥平面ABB1A，
又DM?平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．
(2)由(1)知A1B⊥DM．
∵·＝·
＝a2＋－a2＝0，
∴A1B⊥AB1，∴A1B⊥平面AB1D．
∴是平面AB1D的一个法向量，
故点C到平面AB1D的距离为d＝
＝＝a．1.2.5 空间中的距离
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为( )
A.1
B.
C.
D.
解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,),F2,1,,所以|EF|=,故选C.
答案C
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为( )
A.10
B.3
C.
D.
解析由已知得=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=.
答案D
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),
则=(0,2,0),=(0,1,2),
设∠ABE=θ,则cosθ=,
sinθ=.
故A到直线BE的距离d=||sinθ=2×.
答案B
4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5
B.8
C.
D.
解析方法一 以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),=(-x,0,0),=(0,-12,5),=(0,0,-5).
设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,
所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).
又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为.
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
方法二 因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.
如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.
因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,
所以BC⊥B1E.
又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.
在Rt△A1B1B中,B1E=,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
答案C
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析以为正交基底建立空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),C1(0,1,1),=,-,0,平面ABC1D1的一个法向量=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离
d=.故选B.
答案B
6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为 .?
解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',
则||=3,||=2,||=5,
又,
∴||2=32+52+22+2×3×2×=44,
∴||=2.
答案2
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .?
解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有=(1,-1,-1),=(0,-2,1),
所以,||=,所以点D1到直线GF的距离为.
答案
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为 .?
解析建立如图所示的空间直角坐标系,
则A,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
则=,-1,=(0,1,0),=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),
则有
解得n=,1,1,则所求距离为.
答案
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.
(1)求点M到直线AC1的距离;
(2)求点N到平面MA1C1的距离.
解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,,=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=.
(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),=(0,2,0),=(2,0,-1),则n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=.
能力提升练
1.(多选)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,则下列结论不正确的是
( )
A.AE=
B.∠EAD为AE与平面ABD所成的角
C.DE为点D到平面ABC的距离
D.∠AED为二面角A-BC-D的平面角
解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,则△ABC为边长是的等边三角形.
又E为BC中点,
则AE=,故A错;
由于DE与平面ABD不垂直,故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;若DE为点D到平面ABC的距离,则DE⊥平面ABC,故∠AED为直角,而在三角形ADE中,∠ADE为直角,矛盾,故C错;
由于E为BC中点,则AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角,故D正确.
答案ABC
2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0).
设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为,故选A.
答案A
3.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为 .?
解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由已知可知AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),
则=(2,0,-2),=(0,2,0).
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则
取a=1,得n=(1,0,1).又=(2,0,0),所以d=.
答案
4.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为 .?
解析以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设F(t1,0,0)(0D(0,t2,0)(0∴.
∵GD⊥EF,∴t1+2t2=1,由此推出0∴当t2=时,||min=.
答案
5.直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在底面ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离.
解如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标为A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),则=(-1,1,0),=(0,-1,0),=(-1,0,-).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
即-x-z=0,-y=0.令x=-,则y=0,z=1,
所以平面A1BC的一个法向量为n=(-,0,1),
所以点B1到平面A1BC的距离d=.
6.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=,求直线AB到平面EFCD的距离.
解如图,以A点为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).
设F(0,0,z0)(z0>0),可得=(2,2,-z0).
由||=3,得=3,
解得z0=1,则F(0,0,1).
因为AB∥DC,CD?平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.
设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),
则=(x1,y1,z1).
所以=0,且=0,
而=(0,-2,1),=(-2,0,0),
所以解得x1=0,③
所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且.又=(-x1,-y1,-z1+1),
故有=-z1+1.④
联立①③④,解得G0,.
所以||为直线AB到平面EFCD的距离.
而=0,,所以||=,
即直线AB到平面EFCD的距离为.
素养培优练
1.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为,点Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为( )
A.
B.2
C.2
D.4
解析作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.
分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,
连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.
在Rt△PME中,||==2,
同理||=4.又,
∴||2=4+||2+16+2+2+2=20+||2+2×2×4cos120°=12+||2.
∴当||2取最小值0时,||2最小,
此时||=2.
答案C
2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图②).
(1)求证:CD⊥AB;
(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离;
(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB?平面ABD,所以CD⊥AB.
(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),
所以=(0,-2,0),=(-1,0,-1),=(-1,1,0).
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
则⊥n,⊥n,所以令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d=.
(3)解假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设=λ,0≤λ≤1,则N(2-2λ,2λ,0),所以=(1-2λ,2λ,-1),又因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60°,所以sin60°=,可得8λ2+2λ-1=0,所以λ=或λ=-(舍去).
综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成角为60°,此时.