课时分层作业(十) 万有引力理论的成就
(建议用时：25分钟)
◎考点一 计算天体的质量与密度
1．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是( )
A．
B．
C．
D．
A [地球表面有G＝mg，得M＝ ①，又由ρ＝＝ ②，由①②得出ρ＝，故A正确。]
2．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A．
B．
C．
D．
A [无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为G＝mr，即M∝，所以＝，选项A正确。]
3．已知太阳光从太阳射到地球需时间t，光速为c，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算：
(1)太阳的质量；
(2)地球的质量。
[解析] (1)设太阳的质量为M，地球的质量为m，因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有G＝mω2r＝mr
解得M＝＝。
(2)地球半径为R，则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力，故有：F′引＝m′g，即
＝m′g，m＝。
[答案] (1) (2)
◎考点二 天体运动的分析与计算
4．科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
A [由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面，A正确。]
5．(多选)美国宇航局2011年11月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可能适合人类居住的行星——“开普勒?22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周。若引力常量已知，根据下列选项中的信息能求出该行星的轨道半径的是( )
A．该行星表面的重力加速度
B．该行星的密度
C．该行星的线速度
D．被该行星环绕的恒星的质量
CD [行星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有＝mr，v＝，其中M为被该行星环绕的恒星的质量，v为该行星的线速度，T为该行星的运行周期，故C、D正确。]
6．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
C [由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G＝mr可得T＝，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D错误。]
7．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600
N的人在这个行星表面的重量将变为960
N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
B [在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，
即G地＝G
同样在行星表面有G行＝G
以上二式相比可得＝×＝×
＝＝2
故该行星的半径与地球的半径之比约为2，故B正确。]
◎考点三 双星问题的分析与
8．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
AD [据题意可知甲、乙两恒星的距离始终保持不变，围绕两星连线上的一点做匀速圆周运动，靠相互间的万有引力提供向心力，角速度一定相同，故A正确，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有m甲r甲ω2＝m乙r乙ω2，得＝＝3∶2，根据v＝rω，知v甲∶v乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故C错误；根据a＝rω2知，向心加速度之比a甲∶a乙＝r甲∶r乙＝3∶2，故D正确。]
9．2019年4月10日9时许，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布了黑洞“真容”。这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体——黑洞，一种体积极小、质量极大的天体，如同一个宇宙“吞噬之口”，连光也无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法错误的是( )
A．黑洞A做圆周运动的向心力大小等于B做圆周运动的向心力大小
B．黑洞A的质量大于B的质量
C．黑洞A的线速度大于B的线速度
D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越大
B [两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力与B对A的作用力大小相等，方向相反，则黑洞A的向心力大小等于B的向心力大小，故A正确；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A的运动半径比较大，根据v＝ωr可知，黑洞A的线速度大于B的线速度，故C正确；A、B在匀速转动时的向心力大小关系为mAω2rA＝mBω2rB，由于A运动的半径比较大，所以A的质量小，故B错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以G＝mA＝mB，又rA＋rB＝L，L为两者之间的距离，T＝，则两黑洞之间的距离越大，A的周期越大，故D正确，B符合题意。]
(建议用时：15分钟)
10．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星，开发利用火星奠定了坚定的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(K为常数)( )
A．ρ＝KT
B．ρ＝
C．ρ＝KT2
D．ρ＝
D [火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mR及密度公式ρ＝＝，得ρ＝＝，故D正确。]
11．(多选)某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文，摘录了以下资料：①根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知，引力常量在极其缓慢地减小；②火星位于地球绕太阳轨道的外侧；③由于火星与地球的自转周期几乎相同，自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同，所以火星上也有四季变化。根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律，可推断( )
A．太阳对地球的引力在缓慢减小
B．太阳对地球的引力在缓慢增加
C．火星上平均每个季节持续的时间等于3个月
D．火星上平均每个季节持续的时间大于3个月
AD [由于引力常量在缓慢减小，根据万有引力公式得知太阳对地球的引力在缓慢减小，A正确；由于火星的轨道半径比地球的轨道半径大，由＝mR，得T＝2π，所以火星绕太阳公转的周期比地球大，地球公转周期是一年，即12个月，则火星的公转周期大于12个月，因而火星上的每个季节持续的时间要大于3个月，D正确。]
12．若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，
月球的质量M＝。
(3)月球的密度ρ＝＝＝。
[答案] (1) (2) (3)
13．“黑洞”是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力。根据爱因斯坦的理论，光子是有质量的(指它的相对论质量)，光子到达黑洞表面时也将被吸入，并恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该黑洞6.0×1012m远的星体正以2.0×106
m/s的速度绕它旋转，请据此估算光子绕黑洞做圆周运动的半径。(结果保留两位有效数字)
[解析] 根据爱因斯坦理论，光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它做圆周运动时的向心力，即
G＝m
①
其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径
银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有
G＝m′
②
其中m′为星体质量，R为星体的轨道半径，由①②式可得光子绕黑洞做圆周运动的半径
r＝R＝×6×1012m＝2.7×108
m。
[答案] 2.7×108
m
1
