人教版九年级上册 22.1.3 二次函数-y=a(x-h)2 +k的图象和性质 课件（第2课时）(共32张PPT)

(共32张PPT)
22.1.3
二次函数
y=a(x-h)2+k
的图像和性质（第2课时）
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
复习二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
O
O
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
复习二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴
（x=o）对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
k>0
k<0
k<0
k>0
(0,k)
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
复习二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
顶点是最低点
顶点是最高点
h>0
h<0
h<0
h>0
(ｈ,0)
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
抛物线
开口方向
对称轴
顶点
最值
增减情况
y=ax?
a>0,向上
X=0
(0,0)
当x=0时,y有最小值0
x<0时,
y随x的增大而减小;
x>0时,y随x的增大而增大
a<0,向下
X=0
(0,0)
当x=0时,y有最大值0
x<0时,
y随x的增大而增大;
x>0时,
y随x的增大而减小.
y=ax?+c
a>0,向上
X=0
(0,c)
当x=0时,y有最小值c
x<0时,
y随x的增大而减小;
x>0时,y随x的增大而增大
a<0,向下
X=0
(0,c)
当x=0时,y有最大值c
x<0时,
y随x的增大而增大;
x>0时,
y随x的增大而减小.
y=a(x-h)?
a>0,向上
X=h
(h,0)
当x=h时,y有最小值0
x<0时,
y随x的增大而减小;
x>0时,y随x的增大而增大
a<0,向下
X=h
(h,0)
当x=h时,y有最大值0
xy随x的增大而增大;
x>h时,
y随x的增大而减小.
1.填表
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
(0,
0)
(1,
0)
(-
1,
0)
(0,
0)
(0,
1)
(0,
-
1)
向下
向下
向下
向上
向上
向上
x=0
x=0
x=0
x=0
x=1
x=
-
1
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
（0,3）
（0,-3）
如何由
的图象得到
的图象。
2.上下
平移
、
3
3
1
2
-
-
=
x
y
3
3
1
2
+
-
=
x
y
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
x=
-
2
(-2,0)
(2,0)
x=
2
如何由
的图象得到
的图象。
、
3.左右
平移
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
上正下负
左加右减
例3.画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解:
先列表
再描点
后连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1,
－1).
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
向上
向下
x=h
（h，k）
归纳小结
观察二次函数
在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线有什么关系？
形状相同，
开口方向相同.
顶点不同，
对称轴不同.
抛物线
怎样移动就可以得到抛物线
？
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线
　　　　　　　　　　　　　　
　　
有什么关系?
的图像可以由
向上平移一个单位
向右平移一个单位
向右平移一个单位
向上平移
一个单位
先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.
相同
不同
h、k
归纳小结
(如何平移，主要看平移前后两条抛物线的顶点就可确定。）
：一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.(如何平移，主要看平移前后两条抛物线的顶点就可确定。）
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
结论:
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(
1
,
－2
)
向下
向下
(
3
,
7)
(
2
,
－6
)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,
5
)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y
=
4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
3.抛物线y
=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x
2+1的图像.
考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3
y=x2+3
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1)
2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x
2+1的图像.
y=(x+4)2
y=(x+2)2+1
3．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x
2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3)
2－2的图像.
y=3(x+3)2-2
y=-3(x+6)2
4.抛物线
的顶点坐标是________；
向上平移3个单位后，
顶点的坐标是________；
5.抛物线
的对称轴是_____.
6.抛物线
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
7．把二次函数y=4(x－1)
2的图像,
沿x轴向
_
平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2)
2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
9．把二次函数y=－2x
2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______．
右
2
y=-3x2-1
(-3,-2)
C(3,0)
B(1，3)
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时，
y_____0；
当x在
_____
范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3
0或-2
<
－2
<
x<0
-1
3
小结1：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
小结2：一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.(如何平移，主要看平移前后两条抛物线的顶点就可确定。）
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1)
y=(x-3)2+2
；
(2)y=(x+4)2－5
12.与抛物线y=－4x
2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为
．
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
y=
-
4(x-2)2-3或y=
4(x-2)2-3
13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
(1,-1)
(0,0)
(2,0)
当x
时，y﹤0。
当x
时，y=0;
（2）根据图象回答：
当x
时，y>0;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0=
a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y=
(x-1)2-1
x<0或x>2
0<
x<2
x=0或2
1、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
则a=　　　　。
4、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。
2、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是　　　　　　。
3、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是　　　　。