人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2 bx c=0的图象和性质第二课时(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十二章
二次函数
22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质
第二课时
【学习目标】
1.掌握用待定系数法求二次函数的解析式；
2.掌握实际问题中求二次函数解析式。
【课前预习】
1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x?+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（
）
A．Y=-(x-1)?-2
B．Y=-(x+1)?-2
C．Y=-(x-1)?+2
D．Y=-(x+1)?+2
2．在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为(-2,1)，此函数图象与x轴交于P、Q两点，且PQ=6.若此函致图象经过(-3,a),(-1,b),(3,c),(1,d)四点，则实数a、b、c、d中为负数的是（
）
A．a
B．b
C．c
D．d
3．某圆形零件的制作成本y（元）与它的面积成正比例，设半径为r（cm），当r＝2cm时，y＝20元，那么当制作成本为125元时，半径是（　　）
A．5cm
B．
cm
C．10cm
D．25cm
4．已知抛物线经过E(4，5)，F（2，－3），G（－2，5），H（1，－4）四个点，选取其中两点用待定系数法能求出该抛物线解析式的是（
）
A．E，F
B．F，G
C．F，H
D．E，G
5．已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是（
）
A．y=2x?+x+2
B．y=x?+3x+2
C．y=2x?-2x+3
D．y=x?-3x+2
【课前预习】答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．D
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）(4)还原：（写解析式）
例：已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以
k+b=3，
-2k+b=-12.
解得
k=5，b=-2.
所以一次函数的解析式为y=3x-6.
一般式法二次函数的解析式
问题1
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
0
1
0
-3
-8
-15
解：
设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解方程得：
因此：所求二次函数是：
a=2,
b=-3,
c=5
y=2x2-3x+5
例1
已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、
（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
归纳总结
一般式法求二次函数解析式的方法
解：
∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试出这个二次函数的解析式.
交点法二次函数的解析式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
所以设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1)
例2
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
又∵
点M(
0,1
)在抛物线上
∴
a(0+1)(0-1)=1
解得：
a=-1
故所求的抛物线解析式为
y=-
(x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0)
，
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
强调：交点式y=a(x-x1)(x-x2).
x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线
就是抛物线的对称轴.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴.
顶点法求二次函数的解析式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得a=-1.
∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），
所以，设所求的二次函数的解析式为
y=a(x＋1)2-3
例3
已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的
交点为（0，－5），求抛物线的解析式。
因为点（0，-5
）在这个抛物线上，
所以a-3=-5，
解得a=-2
故所求的抛物线解析式为
y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5。
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
强调
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.
2.
特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.
3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.
4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.
课　堂　小　结
求二次函数解析式的一般方法：
　已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
　已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标
通常选择顶点式
　已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标
通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，
【课后练习】
1．已知点(2,3)在抛物线y=ax?+bx+c=0上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（
）
A．(0,3)
B．(0,-3)
C．(3,2)
D．(-2,-3)
2．开口向下的抛物线y=(m?-2)x?+2mx+1的对称轴经过点(-1,3)，则m的值为(　　)
A．-1
B．1
C．-1或2
D．-2
3．已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0)，与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（
）
A．Y=x?-x-2
B．Y=-x?+x+2
C．Y=x?-x-2或Y=-x?+x+2
D．Y=-x?-x-2或Y=x?+x+2
4．若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（
）
A．y=4(x-2)2
-3B．y=-2(x-2)2+3
C．y=-2(x-2)2-3
D．y=
-
(x-2)2+3
6．二次函数y=ax2+bx+c图象经过(0,0)、(?1,?1)、(1,9)三点,下列性质错误的是(
)
A．开口向上
B．对称轴在y轴左侧
C．经过第四象限
D．当x>0，y随x增大而增大
7．若y﹣4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（　　）
A．y=x2+4
B．y=﹣x2+4
C．y=﹣x2+4
D．y=x2+4
8．若当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，则当x＝4时，代数式ax2+bx+5的值是（　　）
A．5
B．﹣5
C．0
D．2
9．顶点坐标(-2，3)，开口方向及抛物线形状与
图象相同的抛物线解析式是(
)
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（　　）
A．S≤﹣3
B．S＜2
C．S≤2
D．S＜﹣3
【课后练习】答案
1．A
2．A
3．C
4．B
5．C
6．C
7．D
8．A
9．C
10．A
11．y=x2﹣3x+2
12．-1＜m＜1或m＞1
13．0，2
14．y＝－x2－2x＋3
15．
或