课时分层作业(二) 余弦定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cos
C＝，则△ABC中角B的余弦值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
C [由余弦定理，得cos
C＝＝，得c＝3，所以cos
B＝＝－.故选C．]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得
cos
C＝＝＝，
∴C＝.]
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A．
B．
C．
D．
B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos
B＝＝＝.]
4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b为( )
A．5
B．8
C．5或－8
D．－5或8
B [由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.]
5．△ABC中，若sin2A＋sin2B
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
A [由正弦定理得a2＋b2C<0，又0°∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．]
二、填空题
6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝
.
30° [由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos
C＝22＋42－2×2×4×＝12，
∴c＝2.
由正弦定理＝得，
sin
A＝＝＝.
∵a＜c，∴A＜60°.
∴A＝30°.]
7．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为
．
[由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos
120°，
整理得：AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得＝＝.]
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝
.
[由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin
C的值．
[解] (1)因为b2＝a2＋c2－2accos
B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.
(2)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
由正弦定理＝，得＝，
所以sin
C＝.
10．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos
A·sin
B＝sin
C，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：(利用边的关系判断)
由正弦定理，得＝.
∵2cos
Asin
B＝sin
C，∴cos
A＝＝.
∵cos
A＝，∴＝，
∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，
∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．
法二：(利用角的关系判断)
∵A＋B＋C＝180°，∴sin
C＝sin(A＋B)．
∵2cos
Asin
B＝sin
C，
∴2cos
Asin
B＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°∴－180°∴A－B＝0°，即A＝B．
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴cos
C＝＝，∴C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A．
B．5
C．6
D．7
B [连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos
C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos
120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5.]
12．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的大小为( )
A．
B．
C．
D．π
BC [因为(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，所以2accos
B·tan
B＝ac，又ac≠0，所以sin
B＝，所以B＝或B＝，故选BC．]
13．(一题两空)在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，cos
B＝－，AB＝BC＝2，则sin∠BAC＝
，DC＝
.
3 [在△ABC中，由AB＝BC＝2，cos
B＝－，得AC＝＝，所以cos∠BAC＝＝，sin∠BAC＝＝.因为B＋D＋∠BAD＋∠BCD＝360°，所以D＋B＝180°，所以cos
D＝，sin
D＝.在△ADC中，sin∠DAC＝sin(120°－∠BAC)＝sin
120°cos∠BAC－cos
120°sin∠BAC＝，由正弦定理＝，得DC＝3.]
14．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为
．
7 [由已知条件，得cos
A＝＝＝.设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得x2＝＋AB2－2··ABcos
A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.]
15．如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB＝，S△ABC＝.
(1)求∠ACB的大小；
(2)若BC⊥CD，∠ADC＝，求AD的长．
[解] (1)在△ABC中，
S△ABC＝×AB×BCsin∠ABC，
∴××BCsin＝，
∴BC＝，AB＝BC．
又∵∠ABC＝，∴∠ACB＝.
(2)∵BC⊥CD，∴∠ACD＝.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos＝()2＋()2－2××＝9，
∴AC＝3.
在△ACD中，由正弦定理得，
＝，
∴AD＝＝＝.
1/6