课时分层作业(三) 正弦定理与余弦定理的应用
数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．海上有A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为( )
A．2
n
mile
B．3
n
mile
C．5
n
mile
D．6
n
mile
C [在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.
∵＝，
∴BC＝＝＝5(n
mile)．]
2．某人向正东方向走x
km后向右转150°，然后朝新方向走3
km，结果他离出发点恰好是
km，那么x的值是( )
A.
B．2
C．2或
D．3
C [如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.]
3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是( )
A．5海里/时
B．5海里/时
C．10海里/时
D．10海里/时
D [如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．
]
4．有一条与两岸平行的河流，水速为1
m/s，小船的速度为
m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶( )
A．与水速成45°
B．与水速成135°
C．垂直于对岸
D．不能确定
B [如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝180°－45°＝135°.
则小船的方向应与水速成135°行驶．]
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200
m
B．300
m
C．400
m
D．100
m
B [如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200(m)．
在△BCD中，由余弦定理可得
cos
2θ＝＝，
∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·sin
4θ＝200×＝300(m)，故选B.]
二、填空题
6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为________．
(30＋30)m [由正弦定理得＝，∴PB＝，∴树的高度h＝PBsin
45°＝(30＋30)(m)．]
7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.
50 [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝50(m)．]
8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100
m，汽车从B点到C点历时14
s，则这辆汽车的速度为________m/s.
[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200
m，AC＝100
m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100
000，即BC＝100
m，∴这辆汽车的速度为＝＝(m/s)．]
三、解答题
9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进
km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
[解] 由题意可知CD＝，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理可得，
BC＝＝＝.
在△ADC中，由正弦定理可得，
AC＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋()2－2×3××cos
45°＝25，∴AB＝5.
故这两座建筑物之间的距离为5
km.
10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)
n
mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2
n
mile的C处的缉私船奉命以10
n
mile/h的速度追截走私船．
此时，走私船正以10
n
mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用t
h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2cos
120°＝6，
∴BC＝，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·
＝.
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
11．如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为
km.
则C，D间的距离是( )
A.
km
B．3
km
C.
km
D．5
km
C [在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，
所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°.
由＝，得AD＝＝，
因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝，所以AC＝＝3.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos∠DAC＝5，
即CD＝.
故C，D间的距离为
km.故选C.]
12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6
km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1
km，水的流速为2
km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6
min，则客船在静水中的速度为( )
A．8
km/h
B．6
km/h
C．2
km/h
D．10
km/h
B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v
km/h，由题意知，sin
θ＝＝，从而cos
θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.]
13．(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．
80 20(＋) [由题意，在△ABC中，
∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40.
根据余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝402＋(40)2－2×40×40×
＝3
200＋1
600，
∴AC＝20(＋)．
根据正弦定理得＝，
∴∠CAB＝45°，
∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(＋)海里．]
14.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
100 [在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200(米)．
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos
150°＝390
000，所以AC＝100(米)．
故石竹山这条索道AC长为100米．]
15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．
(1)求该军舰艇的速度；
(2)求sin
α的值．
[解] (1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos
120°＝78
400，解得BC＝280.
所以该军舰艇的速度为＝70海里/时．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
即sin
α＝＝＝.
1/8
