课时分层作业(一) 正弦定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin
A∶sin
B的值是( )
A.
B．
C.
D．
A [在△ABC中，由正弦定理知＝，又a＝5，b＝3，所以＝＝.]
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos
B等于( )
A．－
B．
C．－
D．
D [由正弦定理得＝，
∴sin
B＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cos
B＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))))＝.]
3．在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝( )
A．105°
B．15°
C．105°或15°
D．45°或135°
C [由a＜c，得A＜C，又由sin
C＝＝，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°.]
4．在△ABC中，a＝bsin
A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B [由题意有＝b＝，则sin
B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．]
5．在△ABC中，已知(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．3∶5∶7
B．7∶5∶3
C．6∶5∶4
D．4∶5∶6
A [因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，不妨设且k≠0，
则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝3∶5∶7，即sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7.]
二、填空题
6．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝_____.
3－ [利用正弦定理＝，
而C＝180°－(A＋B)＝75°，
故BC＝＝＝3－.]
7．在△ABC中，若(sin
A＋sin
B)(sin
A－sin
B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
直角三角形 [由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
所以－＝，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．]
8．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为，则a＝________.
3 [∵S△ABC＝bcsin
A＝×20×sin
A＝5，∴sin
A＝.∵△ABC外接圆的半径R为，由正弦定理的推广可得＝2R，∴a＝2sin
A＝2×＝3.]
三、解答题
9．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵acos
＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理，得a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin
A＝sin
B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a＜b，
A＝80°＜90°，由＝得，
sin
B＝＝2sin
80°＞2sin
30°＝1，∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°，
∵bsin
A＝6sin
30°＝3，a＞bsin
A，
∴bsin
A＜a＜b，∴本题有两解．
由正弦定理得
sin
B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，
c＝＝＝2.
∴当B＝60°时，C＝90°，c＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2.
11．(多选题)已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是( )
A．a＝7，b＝8，A＝105°
B．b＝40，c＝20，C＝60°
C．b＝10，c＝5，C＝60°
D．a＝2，b＝6，A＝30°
AB [A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理＝，得sin
B＝＝＝＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理＝，得sin
B＝＝＝，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理＝，得sin
B＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°，故三角形有两解．故选AB.]
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos
A，sin
A)，若m⊥n，且acos
B＋bcos
A＝csin
C，则角A，B的大小分别为( )
A．.，
B．，
C.，
D．，
C [因为m⊥n，所以cos
A－sin
A＝0，所以tan
A＝，则A＝.由正弦定理及已知条件，得sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝sin2C，所以sin(A＋B)＝sin2C，所以sin
C＝sin2C.因为0＜C＜π，所以sin
C≠0，所以sin
C＝1，所以C＝，B＝.]
13．(一题两空)已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin
C＝cos
C，则sin
A＝________，△ABC的面积为________．
[由sin
C＝cos
C，得tan
C＝，所以C＝.
根据正弦定理可得＝，解得sin
A＝.
因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝.
所以B＝，所以△ABC为直角三角形．
所以S△ABC＝××1＝.]
14．我国著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S＝eq
\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))))).若a2sin
C＝24sin
A，a(sin
C－sin
B)(c＋b)＝(27－a2)sin
A，则用“三斜求积公式”求得的S等于________．
[由a2sin
C＝24sin
A可得a2c＝24a，
∴ac＝24.
由a(sin
C－sin
B)(c＋b)＝(27－a2)sin
A可得a(c－b)·(c＋b)＝(27－a2)a，整理得a2＋c2－b2＝27，
结合“三斜求积公式”可得S＝eq
\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2))))))＝eq
\r(\f(1,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(242－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,2))))))＝.]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan
C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
[解] (1)由b2－a2＝c2，A＝及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，∴－cos
2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝，得2B＝π－2C，
∴－cos
2B＝sin
2C＝2sin
Ccos
C＝sin2C.
又∵sin
C≠0，∴tan
C＝2.
(2)由tan
C＝2，C∈(0，π)，得sin
C＝，cos
C＝.
∵sin
B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin
B＝.
由正弦定理，得c＝.
又A＝，bcsin
A＝3，
∴bc＝6，∴b＝3.
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