(共19张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
并非所有的
并非任意一个
?x∈M,
﹁p(x)
提示:原命题的否定就是对原命题的结论进行否定.原命题的否定与原命题真假性相反.
答案:×
答案:×
答案:√
不存在一个
没有一个
?x∈M,﹁p(x)
提示:不是,不但要否定结论,还要将存在量词改为全称量词.
答案:×
答案:√
答案:×
解析:全称量词命题的否定为存在量词命题,所以?x∈R,x2≠x的否定是?x∈R,x2=x;存在量词命题的否定为全称量词命题,所以?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0.
答案:AC
解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.
a<1
解析:p的否定为:?x∈R,使ax2+2x+3=0.
因此当a≠0时,Δ=4-12a≥0,解得a≤.
当a=0时,ax2+2x+3=2x+3=0,此时方程有解.
综上所述,a的取值范围是.
答案:C
解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B项中,当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命题;C项中,因为+(-)=0,所以C项是假命题;D项中,对于任意一个负数x,都有<0,所以D项是假命题.
答案:B
m>
解析:这一命题可以表述为“对所有的实数m,关于x的方程x2+x+m=0都有实数根”,其否定为“存在实数m,使得关于x的方程x2+x+m=0没有实数根”,为真命题,所以由Δ=1-4m<0,得m>,此时一元二次方程没有实数根,故m的取值范围为m>.(共21张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
所有的
任意一个
全称
?
全称量词命题
?x∈M,p(x)
提示:一切、任意、任给、每一个、所有等.
提示:对M中的每一个x,都具有或满足性质p(x),毫无例外.
答案:√
答案:×
答案:×
存在一个
至少有一个
存在
?
存在量词命题
?x∈M,p(x)
提示:有一个、有些、有的、存在一个、至少有一个、对某些等.
提示:在M中,至少有一个x具有或满足性质p(x),而不是所有的个体都不具有性质p(x).
答案:×
答案:√
答案:×
解析:因为“所有”“任意”为全称量词,所以选项A,C为全称量词命题;“有的”“存在”为存在量词,所以选项B,D为存在量词命题.
答案:AC
解:①可改为“任意一个实数的平方都是非负数”,
所以用“?”可表示为?x∈R,x2≥0.
②为存在量词命题,所以用“?”表示为?x<0,ax2+2x+1=0(a<1).
解析:垂直于同一直线的两条直线是平行的,所以找不到两条相交直线垂直于同一直线.
答案:C
解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B项中,当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命题;C项中,因为+(-)=0,所以C项是假命题;D项中,对于任意一个负数x,都有<0,所以D项是假命题.
答案:B
解析:因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有实根,因为Δ=16-4a<0,所以a>4.
答案:A1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.命题“每一个三角形的三个顶点共圆”的否定是
( )
A.存在一个三角形,它的三个顶点不共圆
B.存在一个三角形,它的三个顶点共圆
C.所有三角形的三个顶点共圆
D.所有三角形的三个顶点都不共圆
答案:A
2.命题“?x∈R,ax+b≤0”的否定是
( )
A.?x∈R,ax+b≤0
B.?x∈R,ax+b>0
C.?x∈R,ax+b≤0
D.?x∈R,ax+b>0
答案:B
3.命题“?x∈R,x2≠2x”的否定是
( )
A.?x∈R,x2=2x
B.?x?R,x2=2x
C.?x∈R,x2≠2x
D.?x∈R,x2=2x
答案:D
4.命题“?x∈R,x2+2x+5=0”的否定是?x∈R,x2+2x+5≠0.
5.写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有自然数的平方是正数;
(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(3)有些质数是奇数.
解:(1)否定:存在自然数的平方不是正数.
(2)否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根.
(3)否定:任意质数都不是奇数.
B级 能力提升
6.若命题“存在x<2
019,使得x>a”是假命题,则实数a的取值范围是a≥2
019.?
解析:因为命题“存在x<2
019,使得x>a”是假命题,所以该命题的否定“对任意x<2
019,都有x≤a”是真命题,所以a≥2
019.
7.若命题“?x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,则实数a的取值范围是a>4.
解析:因为命题“?x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,所以该命题的否定“?x∈R,x2-4x+a≠0”为真命题,则(-4)2-4a<0,解得a>4.
8.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)不论m取何实数,关于x的方程x2+mx-1=0都有实根;
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
(3)某些梯形的对角线互相平分;
(4)能被8整除的数也能被4整除.
解:(1)原命题的否定是?m∈R,关于x的方程x2+mx-1=0无实根.因为判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以方程x2+mx-1=0恒有实根,是假命题.
(2)原命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,是假命题.
(3)原命题的否定是“任意一个梯形的对角线都不互相平分”,是真命题.
(4)原命题的否定是“存在一个数能被8整除,但不能被4整除”,是假命题.
C级 挑战创新
9.多选题下列说法正确的是
( )
A.命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1>0
B.命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≥0
C.命题p:?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0
D.命题“?x∈R,x2≥2x-1”的否定是?x∈R,x2<2x-1
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1>0,A项正确,B项错误;存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p:?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0,C项正确;全称量词命题“?x∈R,x2≥2x-1”的否定为存在量词命题“?x∈R,x2<2x-1”,D项正确.
答案:ACD
10.多空题命题“?x∈N,x2>1”的否定为?x∈N,x2≤1,它是真命题(填“真”或“假”).
解析:因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“?x∈N,x2>1”的否定为“?x∈N,x2≤1”.因为当x=0或x=1时命题成立,故为真命题.1.5.1全称量词与存在量词
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若a,b∈R,且a2+b2≠0,则①a,b全为0;②a,b不全为0;③a,b全不为0;④a,b至少有一个不为0.其中真命题的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
2.下列语句不是全称量词命题的是
( )
A.任何一个实数乘零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(1)班绝大多数同学是团员
D.每一个三角形的内角和都等于180°
答案:C
3.下列存在量词命题中:①有的实数是无限不循环小数,②有些三角形不是等腰三角形,③有的菱形是正方形,假命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A
4.若命题“?x∈R,2x2+(2a-1)x+a2>0”是真命题,则实数a的取值范围是a>.
5.用量词符号“?”“?”表达下列命题:
(1)所有的有理数x都使得x2+x+1是有理数;
(2)一定有实数α,β,使得α+β=αβ;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10;
(4)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
解:(1)?x∈Q,x2+x+1是有理数.
(2)?α,β∈R,α+β=αβ.
(3)?x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
B级 能力提升
6.下列全称量词命题中真命题的个数为
( )
①负数没有平方根;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2+ax-2的图象与x轴恒有交点;
④?x,y∈R,x2+|y|>0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①②③为真命题;当x=y=0时,x2+|y|=0,故④为假命题.
答案:C
7.下列四个命题:
①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.
其中是真命题的为
( )
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
解析:①所有无理数都是实数,为真命题;
②显然为真命题;③显然不成立,为假命题;
④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题.
答案:C
8.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的字母不能表示一个未知数;
(3)有一个函数是一次函数,且其图象过原点;
(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.
(3)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.
(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
C级 挑战创新
9.多选题有下列四个命题,其中为真命题的是
( )
A.?x∈R,2x2-3x+4>0
B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0
C.?x∈N,x2≤x
D.?x∈N
,使x为29的因数
解析:对于A项,这是全称量词命题,因为(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A项为真命题;对于B项,这是全称量词命题,当x=-1时,2x+1>0不成立,故B项为假命题;对于C项,这是存在量词命题,当x=0或x=1时,有x2≤x成立,故C项为真命题;对于D项,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的因数成立,所以D项为真命题.
答案:ACD
10.多空题下列命题中,是全称量词命题的为①②③,是存在量词命题的为④.(填序号)
①正方形的四条边都相等;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”,是全称量词命题;④是存在量词命题.
