1.4.2充要条件
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
2.给出下列3个结论:
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
其中正确的是
( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案:C
3.若p:x>0,q:|x|>0,则p是q的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:
(1)“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”是“ac<0”的必要条件;
(2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的充分条件.
5.设p,q均为实数,判断“q<0”是“方程
x2+px+q=0
有一个正实根和一个负实根”的什么条件.
解:因为q<0,所以Δ=p2-4q>0.设方程两根为x1,x2,则x1x2=q<0,
所以“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.
因为“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立,所以q<0,
所以“q<0”是“方程
x2+px+q=0
有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
B级 能力提升
6.若a,b是实数,则“a<0,且b<0”是“ab(a-b)>0”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:已知a,b是实数,由a<0,且b<0不一定推出ab·(a-b)>0,比如当a
0,则a-b和ab同号即可,当a>b>0时就满足了ab(a-b)>0,故不能推出a<0,b<0,故选D.
答案:D
7.若a,b是实数,则“a+b>0,且ab>0”的充要条件为a>0,且b>0.
解析:当ab>0时可得a,b符号相同.又因为a+b>0,所以a>0,b>0.
当a>0,且b>0时,a+b>0,且ab>0显然成立.
故“a+b>0,且ab>0”的充要条件为a>0,且b>0.
8.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)×(x-8)≤0},求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5解:因为M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0},由M∩P={x|5C级 挑战创新
9.多空题四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是①④;p是q的充要条件的电路图是②.
①
②
③
④
解析:
图①,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p?q,但q?/p,所以p是q的充分不必要条件.
图②,p?q,所以p是q的充要条件.
图③,开关S,S1与灯泡L串联,所以p?/q,q?p,所以p是q的必要不充分条件.
图④,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p?q,但q?/p,所以p是q的充分不必要条件.
10.探索题若a,b都是正整数,则a+b>ab成立的充要条件是a,b至少有一个为1.
解析:a+b>ab?+>1,
又因为a,b都是正整数,所以a,b至少有一个为1.(共21张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
若q,则p
p?q
q?p
p?q
充分条件
必要条件
充要条件
提示:是,p与q互为充要条件.
提示:“?”表示“等价”的意思.
答案:√
答案:√
答案:√
答案:CD
证明:充分性:将m=1代入方程x2-4x+4m=0,
得x2-4x+4=0,解得x=2,为整数根;
将m=1代入方程x2-4mx+4m2-4m-5=0,
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
解析:由A∩B=?,得
解得0≤a≤2.
答案:A
解:因为关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,所以当a=0时,x=-,满足题意;
当a≠0时,设两根分别为x1,x2,则
或
解得a<0或0综上,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件为a≤1.
解:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的等价条件为即ac<0.
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
解:因为关于x的方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根,且x1+x2=-<0,所以只需
即解得0所以方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是0解析:函数的图象与y轴交于负半轴,则c<0.
c<0
解析:当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的根,则x1+x2=,由x1+x2=2,得=2,解得m=-或1.当m=-或1时,Δ=(m+1)2-8m2<0,即当m=-或1时,方程无实数根.故当m=0时符合题意.
m=0(共17张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
3.能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,提升逻辑推理素养.
一、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1.命题及其相关概念
(1)命题:一般地,把用语言、符号或式子表达的,可以
叫做命题.
(2)真命题:
的语句是真命题.
(3)假命题:
的语句是假命题.
判断真假的陈述句
判断为真
判断为假
2.充分条件与必要条件的概念
若p,则q为真命题
↓
p?q
↓
p是q的
,q是p的
.
充分条件
必要条件
提示:不唯一,如x>1,x>6都是x>0的充分条件;x>0,x>1都是x>6的必要条件.
提示:如果q不成立,那么p一定不成立.如x>1是x>6的必要条件,若x≤1,则x>6一定不会成立.
提示:p?q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p?q”.
[基础测试]
判断.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件.
( )
(2)若x2=36,则x=6.
( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件.
( )
(4)若x≠0,则xy≠0.
( )
答案:×
答案:×
答案:√
答案:×
解析:由“A={0}”可推出“A∩{0,1}={0}”,由“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件
必要不充分
解:(1)由a<1不一定能得到>1(如a=-1);
但当>1时,有0所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
解析:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).设p对应的不等式的解集为A,q对应的不等式的解集为B.因为p是q的充分不必要条件,所以A?B.所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是m≥9.
m≥9
解析:p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.
q:ax+1=0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x=-.由题意,知p?/q,且q?p,故a=0舍去;当a≠0时,应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.
综上可知,a=-或a=.
-或
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2因为q是p的充分不必要条件,所以A?B,
即或解得-1≤a≤6.
-1≤a≤61.4.1充分条件与必要条件
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.若p:11,则p是q成立的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:A
2.若a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:D
3.若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:A
4.若a,b∈R,则“a>b”是“a≥b”的充分不必要条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”)
5.指出下列命题中p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答).
(1)p:x2=2x+1,q:x=;
(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
(3)p:x=2,q:x-1=.
解:(1)因为x2=2x+1?/x=,
而x=?x2=2x+1,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a2+b2=0?a=b=0?a+b=0,而a+b=0?/a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为当x=2时可得x-1=成立;
反过来,当x-1=成立时,可以得到x=1或x=2,所以p是q的充分不必要条件.
B级 能力提升
6.已知p:4x-m<0,q:(x-2)(x+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为
( )
A.m≥8
B.m>8
C.m>-4
D.m≥-4
解析:设p,q对应的不等式的解集为集合A,B,则A=,B={x|-1≤x≤2}.
因为p是q的必要不充分条件,所以B?A,
故>2,即m>8.
答案:B
7.若a,b,c为正数,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
解析:因为a,b,c为正数,所以当a=2,b=2,c=3时,满足a+b>c,但a2+b2>c2不成立,即充分性不成立.若a2+b2>c2,则(a+b)2-2ab>c2,即(a+b)2>c2+2ab>c2,即>,即a+b>c成立,即必要性成立,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的必要不充分条件.
答案:B
8.设命题p:1解:当a=1时,(x-a)(x-1)≤0的解为x=1,与已知不相符;
当a>1时,(x-a)(x-1)≤0的解集为1≤x≤a,因为p是q的充分不必要条件,所以a≥2;
当a<1时,a≤x≤1,与已知不相符.
综上,a的取值范围为a≥2.
9.已知集合A={x|-6≤x<3},B={x|-4≤x≤4},C={x|3x+m<0}.
(1)求A∩B,?R(A∪B);
(2)若x∈C是x∈A的必要条件,求实数m的取值范围.
解:(1)因为B={x|-4≤x≤4},A={x|-6≤x<3},所以A∩B={x|-4≤x<3},A∪B={x|-6≤x≤4},
?R(A∪B)={x|x<-6,或x>4}.
(2)由已知,得C=,
因为x∈C是x∈A的必要条件,所以A?C,
所以-≥3,解得m≤-9.
故实数m的取值范围为m≤-9.
C级 挑战创新
10.多空题设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为1;若p是q的必要条件,则m的最小值为4.
解析:由|x|≤m(m>0),得-m≤x≤m.
p是q的充分条件??0所以m的最大值为1;
p是q的必要条件??m≥4,
所以m的最小值为4.