集合的表示
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列集合中表示同一集合的是
( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={4,5},N={5,4}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案:B
2.方程x2=4的解所组成的集合用列举法表示为
( )
A.{(-2,2)}
B.{-2,2}
C.{-2}
D.{2}
答案:B
3.若集合A={-1,1,2},集合B={x|x∈A,且2-x?A},则集合B=
( )
A.{-1}
B.{2}
C.{-1,2}
D.{1,2}
答案:C
4.集合{(x,y)|y=2x-1}表示
( )
A.方程y=2x-1
B.任意一点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案:D
5.若集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中共有6个元素.
B级 能力提升
6.若1,a,={0,a2,a+b},则a2
019+b2
019的值为
( )
A.0
B.1
C.-1
D.1或-1
解析:由题意可知元素0和1属于集合,且a≠0,所以=0,即b=0,则集合{1,a,0}={0,a2,a}.根据集合相等和集合元素的特征,得解得a=-1,所以
a2
019+b2
019=-1.
答案:C
7.已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是2.
解析:由题意,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.综上,m=2.
8.用列举法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){(x,y)|x+y=6,x∈N
,y∈N
}.
解:(1)用列举法表示为{-2,-1,0,1,2}.
(2)能被3整除,且小于10的正数有3,6,9,故用列举法表示为{3,6,9}.
(3)满足条件的实数对有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故用列举法表示为{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
C级 挑战创新
9.多选题方程组的解组成的集合是
( )
A.(5,4)
B.(5,-4)
C.(x,y)
D.{(5,-4)}
解析:由x+y=1,x2-y2=9=(x+y)(x-y),
得x-y=9,
结合x+y=1,解得所以方程组的解组成的集合为或{(5,-4)}.
答案:CD
10.多空题若集合A={x|ax2+ax-1=0}只有一个元素,则a=-4,集合A=.
解析:由题意,得关于x的方程ax2+ax-1=0只有一个实数根,所以即解得a=-4.
所以关于x的方程ax2+ax-1=0为-4x2-4x-1=0,解得x=-.(共25张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一般地,我们把研究对象统称为元素
一些元素组成的总体叫做集合
确定的
互不相同的
大写拉丁字母A,B,C
小写拉丁字母a,b,c,
构成两个集合的元素是一样的
提示:不一定,集合中的元素可以是任何对象,如数、点、三角形、学生、代数式等.
提示:①确定性:判断这些对象是否有明确的判断标准;②互异性:判断这些对象是否都不相同.
解析:“著名的科学家”和“较聪明的人”都没有明确的标准,对于某人是否“著名”或“较聪明”无法客观判断,因此“著名的科学家”和“较聪明的人”都不能构成集合;“很大的数”也没有明确的标准,所以不能构成集合;任意给定一个正整数,能够判定其是否小于10,有明确的标准,且小于10的正整数是确定的,故D项正确.
答案:D
解析:由“book”中的字母构成的集合的元素为b,o,k,共3个.
?
答案:C
a是集合A
a∈A
a不是集合A中
a?A
整数集
提示:只需判断该元素是否具备集合A中元素的特性.
?
解析:对于A项,因为0是一个元素,N是自然数集,所以0∈N,故A项不正确;对于B项,因为Q为有理数集,-是一个有理数,所以-∈Q,故B项正确;对于C项,因为π是无理数,Q是有理数集,所以π?Q,故C项不正确;对于D项,-2是一个负整数,不属于自然数,故D项不正确.
答案:B
?
解析:因为2=>,所以2?P.
∈
解析:因为5=22+1,2∈N
,所以5∈Q.
±3
解析:由题意,得a2=9,解得a=±3.
(3)(4)
解析:(1)中“的近似值”和(2)中“比较大”,这些标准均不明确,即元素不确定,故不能构成集合;对于(3)(4),其中的对象都是确定的,故能构成集合.
解析:因为集合A中元素是由满足x≤2,
x∈R的实数构成的,a=,b=2,由>2,得a?A.由2<2,得b∈A.
答案:B
-3,5,-1,3,0,2
解析:因为∈Z,且a∈Z,
所以只能为±1,±2,±4.
当=1时,a=-3;当=-1时,a=5;
当=2时,a=-1;当=-2时,a=3;
当=4时,a=0;当=-4时,a=2.
故集合M中的元素为-3,5,-1,3,0,2.
2,-2,-1,,,
解析:因为2∈S,所以=-1∈S,=∈S,=2∈S;因为-2∈S,所以=∈S,=∈S,=-2∈S.所以集合S中的元素有2,-2,-1,,,.
5或或-3
解析:因为3∈A,所以3=a-2或3=2a2+5a,所以a=5或a=或a=-3.
当a=5时,a-2=3,2a2+5a=75,满足集合中元素的互异性,符合题意.
当a=或a=-3时,经检验,符合题意.
故a=5或a=或a=-3.
解析:因为5∈A,所以a2+2a-3=5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去.
当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4.
-4
解析:根据题意,得集合A中的元素为1,2,集合B中的元素为0,2,则集合C中的元素可能为0,2,0,4.又由集合元素的互异性,得集合C中的元素为0,2,4,故集合C中的所有元素之和为6.
?
答案:D(共26张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一一列举
{
}
提示:不能,因为“{
}”表示“所有”“一切”“整体”的含义,所以不能写成{自然数集},而应写成{自然数}.
提示:①集合中元素较少,能够一一列举出来时,适合用列举法;②集合中的元素较多或无限多,但呈现一定的规律性时,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
?
解析:由x-4<2可知x<6.又因为x∈N
,所以x可以为1,2,3,4,5,故选D.
答案:D
解析:集合A中有2个元素:点(1,2),点(3,4).
答案:B
{x∈A|P(x)}
{x∈A:P(x)}
{x∈A;P(x)}
共同特征
一般符号
取值（或变化）范围）
一条
竖线
提示:当集合中的元素具有共同特征并且能够描述出来时,一般可使用描述法表示集合.
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
解析:因为x∈{2,4,5},所以x=2或x=4或x=5.因为x?{2,4,6},所以x≠2,且x≠4,且x≠6,所以x=5.
答案:C
解析:集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,
6-a∈A,
当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2合适;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4合适;
当a=6∈A时,6-a=0?A.
综上所述,a=2或4.
答案:D
解析:解方程组得或故集合为{(-1,1),(0,0)}.
答案:B
解析:因为集合中的第n项的分母为n,分子为2n+1,所以集合用描述法可表示为
.
答案:D
解:集合中的元素为点(x,y),故函数y=x2的图象上的所有点组成的集合为{(x,y)|y=x2}.
?
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=2k,k∈Z,且|x|<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|y=0,且x∈R}.
【解题模型示范】
解:由题意,知集合A中有两个元素,则关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根,把其中一个根x=1代入方程,得a-3+2=0,所以a=1,所以方程ax2-3x+2=0为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.所以集合A={1,2}.
?
解:因为集合{x|ax2+x=0}有两个元素,所以关于x的方程ax2+x=0有两个根,所以所以a<,且a≠0.所以解ax2+x=0,得x=0或x=-.所以集合{x|ax2+x=0}的两个元素为0和-.
解:由A={2},知22+2(a-1)+b=0,且Δ=(a-1)2-4b=0,
解得a=-3,b=4.
所以方程x2-(3-a)x-a+b-2=0即x2-6x+5=0,变形,
得(x-1)(x-5)=0,
解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}.
?集合的含义
分层演练
综合提升
A级 基础巩固
1.下列对象能构成集合的是
( )
A.高一年级全体较胖的学生
B.sin
30°,sin
45°,cos
60°,1
C.所有很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
答案:D
2.若集合A中的元素满足x-1<,且x∈R,则下列各式正确的是
( )
A.3∈A,且-3?A
B.3∈A,且-3∈A
C.3?A,且-3?A
D.3?A,且-3∈A
答案:D
3.下列所给关系正确的个数是
( )
①∈R;②?Q;③0∈N
;④|-4|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
4.已知集合A中元素为关于x的方程x2+2x+a=0的根,若1∈A,则集合A中的元素为-3,1.
5.已知集合A中含有元素1,4,a,且实数a满足a2∈A,求实数a的值.
解:因为实数a满足a2∈A,
所以a2=4或a2=1或a2=a,
解得a=-2或a=2或a=-1或a=1或a=0,
当a=1时,集合A中含有1,4,1,不合题意;当a=-1或a=±2或a=0时,满足题意.所以实数a的值为-1,-2,2,0.
B级 能力提升
6.由实数x,-x,|x|,,-所构成的集合中最多含有2个元素.
解析:因为=|x|,-=-x,|x|=所以由实数x,-x,|x|,,-所构成的集合中最多含有2个元素.
7.已知集合A中含有元素a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1∈A,则2
019a的值为1.
解析:①若a+2=1,则a=-1.
所以(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合元素的互异性.
②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0.
当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合元素的互异性;当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意.
③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①②可知均不满足集合元素的互异性.
综上,知实数a的值为0,则2
019a的值为1.
8.集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-,b=,c=(1-2)2与集合A的关系.
解:因为a=-=0+(-1)×,而0∈Z,-1∈Z,
所以a∈A.
因为b===+,而?Z,?Z,所以b?A.
因为c=(1-2)2=13+(-4)×,而13∈Z,-4∈Z,所以c∈A.
C级 挑战创新
9.多选题若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形不可能是
( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析:根据集合中的元素的互异性可知a,b,c,d互不相等,所以以这四个元素为边长的四边形不可能为平行四边形、菱形、矩形.
答案:BCD
10.多空题若集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为0,1,2;若集合A中的元素满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为2,3,6.
解析:由∈N,x∈N,知x≥0,>0,且x≠3,故0≤x<3.又因为x∈N,故x可能为0,1,2.
当x=0时,=2∈N,当x=1时,=3∈N,当x=2时,=6∈N.
故当集合中的元素为x时,集合A中的元素为0,1,2.
当集合中的元素为时,集合A中的元素为2,3,6.
