人教版九年级上册 数学 课件 22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质（24张PPT）

22.1二次函数y=ax?的图象和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
④
③
②
学习目标
1.认识形如y=aX 的二次函数函数。
2.利用描点法画出y=ax 其图像。
一次函数的图象是一条_____
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
直线
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
列表、描点、连线
结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2　
3
…
y=x2
…
…
9
4
1
1
0
4
9
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点,连线
y=x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
议一议
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
观察图象,回答问题：
x
y
O
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的
右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
做一做
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
　
　
　
　
　
　
　
y=-x2
　
　
　
　
　
　
　
　
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
　
　
　
　
　
　
　
　
x
　
　
　
　
　
　
　

…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
在学中做—在做中学
做一做
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
当x<0 (在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0 (在对称轴
的右侧)时, y随着
x的增大而减小.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
当x=1时,y= -1
当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
画一画
在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,
在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小
值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,
当x 0时,y<0.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
－2
2
2
4
6
4
－4
8
函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开口越小．
你画出的图象与图中相同吗？
探究
画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物
线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．
下
高
大
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
1、二次函数y=ax2的图象是什么？
2、二次函数y=ax2的图象有何性质？
3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
小结
达标测试
1.已知，二次函数 图像经过点A(-2,4).求出这个函数关系式。
2.二次函数
3.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线 上，则线段PQ的长是（ ）
结束寄语
人生就像一个等式。它的左边是不思进取，它的右边就是一事无成。
?
它的左边是付出的艰辛，它的右边就是收获的快乐。
?
它的左边是少壮不努力，它的右边就是老大徒伤悲。
?
它的左边是锐意进取，它的右边就是学有所成。
?
数学是思维的体操，只有认真学习数学，并努力学好数学的人，才会使自己的
思维更敏锐，更科学，更完美，才能使自己的思维品质更优秀。