人教版九年级上册 数学 课件： 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（3）（25张）

二次函数的图象和性质（3）
—复习—
c=0
平移
y=ax2(a≠0)
y=ax2+c(a≠0)
如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在BC时，拱顶离水面的距离AD=2m，水面宽BC=2m.
A
B
C
D
2m
2m
问题1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式. （单位：m）
x
y
y1= -2x2
y2= -2x2 +2
y3=-2x2+4x
解析式
图象
x
y
开口方向
顶点坐标
对称轴
曲线趋势
向下
(1,2)
直线 x=1
在对称轴左侧图象从左到右上升;
在对称轴右侧图象从左到右下降.
y3= -2x2+4x
代数特征
解析式
图象
x
y
开口方向
顶点坐标
对称轴
曲线趋势
向下
(1,2)
直线 x=1
在对称轴左侧图象从左到右上升;
在对称轴右侧图象从左到右下降.
最值
增减性
对称性
y3= -2x2+4x
当x=1时 ymax=2
当x>1时y随x的增大而减小.
当x≤1时y随x的增大而增大;
最值
求证：当x=1时 ymax=2.
—探究—
∵x2≥0, a<0
∴ax2≤0
∴y=ax2+c≤c,
且当x=0时函数有最大值c
∴(0,c)是图象的最高点
y=ax2+c(a≠0)
联想
a<0
顶点(0,c)是最高点
y3=-2x2+4x
—探究求解—
y3= -2x2+4x
y=aM2+N
分析
M: 含x的式子
N: 常数
y=ax2+c(a≠0)
y3=-2x2+4x
最值
求证：当x=1时 ymax=2.
—探究求解—
y3 = -2x2+4x
= -2(x2-2x)
= -2(x2-2x+1)+2
= -2(x-1)2+2
∵(x-1)2≥0
∴ y3=-2(x-1)2+2≤2，且当x=1时，函数有最大值2.
( y3= -2x2+4x
y=aM2+N )
y3=-2x2+4x
最值
求证：当x=1时 ymax=2.
证明
—探究求解—
分析
y3 = - 2x2 + 4x = -2(x - 1)2 + 2
当x≤1时，x越大(x-1)2值越小，即y随x的增大而增大；
当x>1时，x越大(x-1)2值越大，即y随x的增大而减小.
y3=-2x2+4x
增减性
说明: 当x≤1时y随x的增大而增大;
当x>1时y随x的增大而减小.
x
y
m
m
yM=yN
xM
xN
x=1
对称性
说明：对任意m>0，
取xM=1-m 和 xN=1+m时，其对应的函数值相等.
—探究求解—
y3=-2x2+4x
M
N
x
y
y=n
x1
x2
x=1
对称性
—探究求解—
作直线y=n，则当n<2时直线与抛物线有两个公共点，说明：
y3=-2x2+4x
M
N
x
y
M(m,n)
N
x=1
对称性
设M(m,n)是抛物线上任意一点，说明：点M关于直线x=1的对称点N也在抛物线上.
—探究求解—
(2-m,n)
y3=-2x2+4x
小结
对称轴
顶点
坐标
最值
函 数 图 象
函 数 解 析 式
问题2：某同学算出桥拱的解析式是
y4= -2x2 + 4x - 2.
你知道他是怎么建立坐标系的吗？
—拓广迁移—
A
B
C
D
2m
2m
y4= -2x2+4x-2
问题2：y4= -2x2 + 4x - 2
解：配方
y4= -2x2+4x-2
= -2(x2-2x+1)
= -2(x-1)2
当x=1时函数有最大值0.
所以y4的顶点坐标为(1,0).
x
y
O
问题2：y4= -2x2 + 4x - 2
分析：
y4= -2x2+4x-2可看做由抛物线y3= -2x2+4x向下平移2个单位得到.
x
y
O
y3=-2x2+4x
y4=-2x2+4x-2
小试身手：试研究二次函数
的性质.
函数性质
图象特征
顶点坐标
对
称
轴
曲线趋势
向上
在对称轴左侧图象从左到右下降;
在对称轴右侧图象从左到右上升.
最值
增
减
性
对
称
性
当 时
开口方向
直线
对任意m>0，当自变量x分别取 和 时，对应的函数值相等.
当 时y随x的增大而减小;
当 时y随x的增大而增大.
—总结提升—
对于函数性质的研究，你有什么心得?
我们还能从哪些方面继续研究二次函数的性质呢？
数缺形时少直觉，
形缺数时难入微.
数形结合百般好，
隔离分家万事非.
——华罗庚
试研究下列二次函数的性质，
并作出图象：
课后作业
试用含a、b、c的式子表示二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标，并确定其开口方向.
课后作业
（选做）
问题3：在拱桥的问题中，
（1）你发现y1、y2、y3、y4
的图象之间有什么联系？
（2）如果以C为原点，直线BC为x轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？和同学交流一下，看看谁的方法又快又好.
（3）在（2）的条件下，桥拱在水中的倒影y′也是抛物线，你能直接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么.
课后作业