2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷 （Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二下学期期中数学试卷 （Word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 730.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-14 16:15:40 | ||
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文档简介
2019-2020学年上海闵行区七宝中学高二第二学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是 ．
2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝ ．
3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为 ．
5．若，则n＝ ．
6．7172除以100的余数是 ．
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为 ．
8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ．
9．若，则y的取值范围是 ．
10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 种．
12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为 ．
二.选择题
13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．100 B．85 C．65 D．55
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
三.解答题
17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：
（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A到平面PBC的距离．
20．是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
①．
②．
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
参考答案
一.填空题（共12小题）.
1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是 相交、平行、异面 ．
【分析】以正方体为载体，列举出所有可能结果，由此能判断两直线的位置关系．
解：在正方体AC1中，E是AA1的中点，F是BB1的中点，
A1B3∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，
A1B1∩A3D1＝A1，A1D1∥B1C4，A1D1和EF是异面直线，
故答案为：相交、平行、异面．
2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝ ﹣311 ．
【分析】在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a11＝311，再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）
﹣（a1+a3+a5+…+a11）＝﹣1，相乘，即得所求．
解：∵，令x＝1可得a0+a1+a7+a3+…+a11＝311．
再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a5+a5+…+a11）＝﹣1．
故答案为﹣311．
3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
【分析】这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率．
解：某学生在上学的路上要经过三个路口，
假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，
则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为P＝（1﹣）2×＝．
故答案为：．
4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为 ．
【分析】过P分别作两平面和棱的垂线，解三角形即可求出答案．
解：过A作平面α，β的垂线，设垂足分别为A，B，
设α∩β＝l，作PC⊥l，垂足为C，连接AC，BC，
又l⊥PC，PA∩PC＝P，
同理可得：l⊥BC，
设∠ACP＝θ，则∠BCP＝﹣θ，
即＝，化简可得tanθ＝，
故答案为：．
5．若，则n＝ 4 ．
【分析】凑成二项式定理展开式的右边的形式；逆用二项式定理，将多项式写出二项式形式．
解：由，
得：＝255，
故答案为5．
6．7172除以100的余数是 41 ．
【分析】利用二项式定理化简7172＝（70+1）72，求出展开式的后2项，即可得到7172除以100的余数．
解：7172＝（70+1）72＝?7072+?7071+…+?702+?70+?1
＝m?102+72×70+1
即7172除以100的余数为41．
故答案为：41．
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为 ．
【分析】基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，至少有两位同学选择时间相同的对立事件是四个人的时间各不相同，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，由此能求出至少有两位同学选择时间相同的概率．
解：甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，
基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，
四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，
故答案为：．
8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ④ ．
【分析】对于①，b∥α或b?α；对于②，a与β相交、平行或a?β；对于③，a∥α或a?α；对于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
对于①，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α，故A错误；
对于③，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α，故③错误；
故答案为：④．
9．若，则y的取值范围是 ．
【分析】令x＝4+2sin2t，t∈[0，]，再借助于三角函数的性质即可求解结论．
解：因为y＝+；
令x＝4+2sin2t，t∈[8，]；
＝2sin（t+）；
∴当t＝时，y取最小值；
即y∈[，2]．
故答案为：[，2]．
10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 1000 种不同的选法．（用数字作答）
【分析】用间接法，首先由排列组合数公式求出5人服务队的选法AC＝1120种，再求出没有女生的选法AC＝120种，相减即可．
解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员7人，组成5人服务队共有AC＝1120种，若没有女生则有AC＝120种，
则服务队中至少有1名女生的选法有1120﹣120＝1000种．
故答案为：1000．
11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 252 种．
【分析】由5位同学体重增加量的个数为依据分成5类，每一类先定元素再把元素分给5位同学计算出分法，相加即可．
解：根据五位同学的体重增加量中的元素个数分为5类，第一类增加元素一个时有C＝6种；第二类增加元素二个时有CC＝60种；
第三类增加元素三个时有CC＝120种；第四类增加元素四个时有CC＝60种；第五类增加元素五个时有C＝6种；
故答案为：252．
12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为 ．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在集合S的n个元素中任选k个，②集合S中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，分析集合M的子集，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①若|S|＝n，即集合S中有n个元素，在其中任选k个，有种取法，
②集合S中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，集合M有2n﹣k个子集，
则S的“k﹣覆盖”个数为；
故答案为：
二.选择题
13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．100 B．85 C．65 D．55
【分析】因为S2＝＝10.2，其中n＝40，＝82，S2＝10.2，计算排除可以得出结果．
解：因为S2＝＝10.2，
所以＝40×10.2＝408，
则方差必然大于10.2，不符合题意，
故选：D．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的图象，根据图象先找出与AD1成60的直线条数，再找出直线条数，选出正确答案
解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°，
这样就有4条，
故一共有8条，
故选：C．
15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为22事件数，即可得到结论．
解：一天显示的时间总共有24×60＝1440种，
和为22有08：59，09：49，09：58，17：59，18：49，18：58；19：39；19：48；19：57总共有9种，
故选：B．
16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．
解：∵MP＝MC，
∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，
∴PD＝CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，
∴HN⊥PC，
故选：B．
三.解答题
17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
【分析】（1）由题意可得，，解方程可求n
（2）先写出二项展开式的通项，然后令x的次方为0，求出r即可判断
解：（1）由题意可得，
∴
∵n≥3
（6）无常数项，
其中时r＝3.5?Z，故不存在
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
【分析】（1）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG∥EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAD；
（2）过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．
【解答】（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，
因为EF分别为AB、PC的中点，
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，
所以四边形AEFG是平行四边形，
又AG?平面PAD，EF?平面PAD．
（2）解：∵AG∥EF，
过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA
∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，
∴∠GAH＝45°
即EF与平面ABCD所成的角为45°．
19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：
（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A到平面PBC的距离．
【分析】（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD，根据三垂线定理知PE⊥CD．可得∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．利用已知，分别在Rt△AED和Rt△PAE中求出即可．
（2）作AH⊥PB于H．利用线面垂直的判定与性质定理即可得出AH⊥面PBC，因此AH的长为点A到面PBC的距离．在等腰Rt△PAB中求出即可．
解：（1）作AE⊥直线CD于E连PE．
由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD．∴∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．
在Rt△PAE，中tan∠PEA＝＝．∴∠PEA＝arctg
（8）作AH⊥PB于H．
又PB∩AB＝B，∴BC⊥面PAB．
∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离．
∴点A到平面PBC的距离是a．
20．是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
【分析】假设存在等差数列an＝a1+（n﹣1）d，满足题意，通过对整理，找出a1＝0，d＝4，即可说明存在数列，求出数列{an}的通项公式即可．
【解答】证明：假设存在等差数列an＝a1+（n﹣1）d，
满足要求；
＝a1?2n+nd（Cn﹣10+Cn﹣18+…+Cn﹣1n﹣1）＝a1?2n+nd?2n﹣8
2a1+n（d﹣4）＝0对n∈N+恒成立，
所求的等差数列存在，其通项公式为an＝4（n﹣1）．
故存在，且an＝4n﹣3．
21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
①．
②．
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
【分析】（1）由新定义代入计算即可．
（2）由组合数公式转化成关于x的函数，利用二次函数求最值．
（3）利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．
解：（1）C＝＝1365；
（2）因为＝＝[2（）2﹣8（）+1]，则＝，即时，取得最小值，最小值为；
当m＝6时，；
当m≥2时，＝．
一、填空题（共12小题）.
1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是 ．
2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝ ．
3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为 ．
5．若，则n＝ ．
6．7172除以100的余数是 ．
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为 ．
8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ．
9．若，则y的取值范围是 ．
10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 种．
12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为 ．
二.选择题
13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．100 B．85 C．65 D．55
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
三.解答题
17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：
（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A到平面PBC的距离．
20．是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
①．
②．
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
参考答案
一.填空题（共12小题）.
1．若直线a、b均平行于平面α，那么a与b位置关系是 相交、平行、异面 ．
【分析】以正方体为载体，列举出所有可能结果，由此能判断两直线的位置关系．
解：在正方体AC1中，E是AA1的中点，F是BB1的中点，
A1B3∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，
A1B1∩A3D1＝A1，A1D1∥B1C4，A1D1和EF是异面直线，
故答案为：相交、平行、异面．
2．若（2x+1）11＝a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a11）2＝ ﹣311 ．
【分析】在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a11＝311，再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）
﹣（a1+a3+a5+…+a11）＝﹣1，相乘，即得所求．
解：∵，令x＝1可得a0+a1+a7+a3+…+a11＝311．
再令x＝﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a5+a5+…+a11）＝﹣1．
故答案为﹣311．
3．某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
【分析】这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前2次都遇到绿灯，第3次遇到红灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率．
解：某学生在上学的路上要经过三个路口，
假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，
则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为P＝（1﹣）2×＝．
故答案为：．
4．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P到该二面角棱的距离为 ．
【分析】过P分别作两平面和棱的垂线，解三角形即可求出答案．
解：过A作平面α，β的垂线，设垂足分别为A，B，
设α∩β＝l，作PC⊥l，垂足为C，连接AC，BC，
又l⊥PC，PA∩PC＝P，
同理可得：l⊥BC，
设∠ACP＝θ，则∠BCP＝﹣θ，
即＝，化简可得tanθ＝，
故答案为：．
5．若，则n＝ 4 ．
【分析】凑成二项式定理展开式的右边的形式；逆用二项式定理，将多项式写出二项式形式．
解：由，
得：＝255，
故答案为5．
6．7172除以100的余数是 41 ．
【分析】利用二项式定理化简7172＝（70+1）72，求出展开式的后2项，即可得到7172除以100的余数．
解：7172＝（70+1）72＝?7072+?7071+…+?702+?70+?1
＝m?102+72×70+1
即7172除以100的余数为41．
故答案为：41．
7．甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，则至少有两位同学选择时间相同的概率为 ．
【分析】基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，至少有两位同学选择时间相同的对立事件是四个人的时间各不相同，四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，由此能求出至少有两位同学选择时间相同的概率．
解：甲、乙、丙、丁四位同学各自在五一5天小长假里选择连续两天旅游，
基本事件总数n＝4×4×4×4＝256，
四个人的时间各不相同，包含的基本事件个数m＝＝24，
故答案为：．
8．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ④ ．
【分析】对于①，b∥α或b?α；对于②，a与β相交、平行或a?β；对于③，a∥α或a?α；对于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
对于①，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α，故A错误；
对于③，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α，故③错误；
故答案为：④．
9．若，则y的取值范围是 ．
【分析】令x＝4+2sin2t，t∈[0，]，再借助于三角函数的性质即可求解结论．
解：因为y＝+；
令x＝4+2sin2t，t∈[8，]；
＝2sin（t+）；
∴当t＝时，y取最小值；
即y∈[，2]．
故答案为：[，2]．
10．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员3人，组成5人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 1000 种不同的选法．（用数字作答）
【分析】用间接法，首先由排列组合数公式求出5人服务队的选法AC＝1120种，再求出没有女生的选法AC＝120种，相减即可．
解：从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员7人，组成5人服务队共有AC＝1120种，若没有女生则有AC＝120种，
则服务队中至少有1名女生的选法有1120﹣120＝1000种．
故答案为：1000．
11．在5月6日返校体检中，学号为i（i＝1，2，3，4，5）的五位同学的体重增加量f（i）是集合{1kg，1.5kg，2kg，2.5kg，3kg，3.5kg}中的元素，并满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有 252 种．
【分析】由5位同学体重增加量的个数为依据分成5类，每一类先定元素再把元素分给5位同学计算出分法，相加即可．
解：根据五位同学的体重增加量中的元素个数分为5类，第一类增加元素一个时有C＝6种；第二类增加元素二个时有CC＝60种；
第三类增加元素三个时有CC＝120种；第四类增加元素四个时有CC＝60种；第五类增加元素五个时有C＝6种；
故答案为：252．
12．设S为一个非空有限集合，记|S|为集合S中元素的个数，若集合S的两个子集A、B满足：|A∩B|＝k并且A∪B＝S，则称子集{A，B}为集合S的一个“k﹣覆盖”（其中0≤k≤|S|），若|S|＝n，则S的“k﹣覆盖”个数为 ．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在集合S的n个元素中任选k个，②集合S中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，分析集合M的子集，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①若|S|＝n，即集合S中有n个元素，在其中任选k个，有种取法，
②集合S中还有（n﹣k）个元素，假设这（n﹣k）个元素组成集合M，集合M有2n﹣k个子集，
则S的“k﹣覆盖”个数为；
故答案为：
二.选择题
13．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．100 B．85 C．65 D．55
【分析】因为S2＝＝10.2，其中n＝40，＝82，S2＝10.2，计算排除可以得出结果．
解：因为S2＝＝10.2，
所以＝40×10.2＝408，
则方差必然大于10.2，不符合题意，
故选：D．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的图象，根据图象先找出与AD1成60的直线条数，再找出直线条数，选出正确答案
解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°，
这样就有4条，
故一共有8条，
故选：C．
15．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为22事件数，即可得到结论．
解：一天显示的时间总共有24×60＝1440种，
和为22有08：59，09：49，09：58，17：59，18：49，18：58；19：39；19：48；19：57总共有9种，
故选：B．
16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．
解：∵MP＝MC，
∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，
∴PD＝CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，
∴HN⊥PC，
故选：B．
三.解答题
17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
【分析】（1）由题意可得，，解方程可求n
（2）先写出二项展开式的通项，然后令x的次方为0，求出r即可判断
解：（1）由题意可得，
∴
∵n≥3
（6）无常数项，
其中时r＝3.5?Z，故不存在
18．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
【分析】（1）取PD中点G，连接AG、FG，利用三角形中位线定理，我们易判断四边形AEFG是平行四边形，AG∥EF，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到EF∥平面PAD；
（2）过G作GH⊥AD，垂足为H，则可得∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．
【解答】（1）证明：取PD中点G，连接AG、FG，
因为EF分别为AB、PC的中点，
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，
所以四边形AEFG是平行四边形，
又AG?平面PAD，EF?平面PAD．
（2）解：∵AG∥EF，
过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA
∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，
∴∠GAH＝45°
即EF与平面ABCD所成的角为45°．
19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，∠ADC＝arcsin，PA⊥面ABCD，PA＝a．求：
（1）二面角P﹣CD﹣A的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A到平面PBC的距离．
【分析】（1）作AE⊥直线CD于E连PE．由PA⊥面ABCD，根据三垂线定理知PE⊥CD．可得∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．利用已知，分别在Rt△AED和Rt△PAE中求出即可．
（2）作AH⊥PB于H．利用线面垂直的判定与性质定理即可得出AH⊥面PBC，因此AH的长为点A到面PBC的距离．在等腰Rt△PAB中求出即可．
解：（1）作AE⊥直线CD于E连PE．
由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD．∴∠PEA是二面角P﹣CD﹣A的平面角．
在Rt△PAE，中tan∠PEA＝＝．∴∠PEA＝arctg
（8）作AH⊥PB于H．
又PB∩AB＝B，∴BC⊥面PAB．
∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离．
∴点A到平面PBC的距离是a．
20．是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
【分析】假设存在等差数列an＝a1+（n﹣1）d，满足题意，通过对整理，找出a1＝0，d＝4，即可说明存在数列，求出数列{an}的通项公式即可．
【解答】证明：假设存在等差数列an＝a1+（n﹣1）d，
满足要求；
＝a1?2n+nd（Cn﹣10+Cn﹣18+…+Cn﹣1n﹣1）＝a1?2n+nd?2n﹣8
2a1+n（d﹣4）＝0对n∈N+恒成立，
所求的等差数列存在，其通项公式为an＝4（n﹣1）．
故存在，且an＝4n﹣3．
21．规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质：
①．
②．
是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
【分析】（1）由新定义代入计算即可．
（2）由组合数公式转化成关于x的函数，利用二次函数求最值．
（3）利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．
解：（1）C＝＝1365；
（2）因为＝＝[2（）2﹣8（）+1]，则＝，即时，取得最小值，最小值为；
当m＝6时，；
当m≥2时，＝．
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