(共17张PPT)
特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定
?
第一章
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
1．菱形的性质
菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形不同于一般平行四边形的性质：
①四条边都 ；
②两条对角线
，并且每条对角线
．
知识回顾
相等
互相垂直
平分对角
1．菱形的性质
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∴（边）：
.
（角）：
.
（对角线）：
.
知识回顾
OA＝OC AC⊥BD
AB＝BC＝CD＝DA
∠A＝∠C
2.菱形的判定
菱形的判定（1）
有一组邻边 的平行四边形是菱形
∵__________________________________________
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定（2）
对角线互相 的平行四边形是菱形
∵___________________________________________
∴四边形ABCD是菱形
知识回顾
相等
垂直
四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC
2.菱形的判定
菱形的判定（3）
四边 的四边形是菱形
∵__________________________________________
∴四边形ABCD是菱形
知识回顾
相等
AB＝BC＝CD＝DA
1．菱形的周长：C＝4·边长；
菱形的面积：S＝底·高或S＝
AC·BD
2．含600角的菱形
（一）基础呈现
新知导航
1
2
知识点1：菱形的综合计算
【例1】如图，菱形ABCD的周长为40
cm，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16
cm.
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形的面积．
（二）例题仿练
(2)S菱形ABCD＝
×16×12＝96(cm2)
1
2
(1)∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD＝40÷4＝10
∴AC⊥BD，AO＝16÷2＝8(cm)
∴DO＝
＝6(cm)．∴BD＝12
cm
102－82
新知导航
知识点2：菱形的综合应用
【例2】如图，四边形ABCD是菱形。过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8.
求四边形ABED的周长．
解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC＋∠E＝∠BDC＋∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，∴DE＝
＝6，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD＋AB＋BE＋DE＝26.
BE2－BD2
新知导航
1.如图，菱形ABCD的边长为4
cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°.
（1）求对角线AC，BD的长；
（2）求菱形的面积．
变式训练
解：(1)BD＝4(cm)，AC＝4
3
(cm)
(2)S＝
×4×4
3
＝8
3
(cm2)
1
2
新知导航
2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.若AB＝
5
，BD＝2.求OE的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，∴OB＝
BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝
5
，OB＝1，
∴OA＝
＝2，∴OE＝OA＝2.
AB2－OB2
1
2
新知导航
第一招
1．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120
cm2，对角线AC＝24
cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．52
cm
B．40
cm
C．39
cm
D．26
cm
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，
则四边形ABCD的周长为（ ）
A．1
B．4
C．2
2
D．2
3
A
B
轻松过招
第二招
3．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2
5
，则它的面积为 ．
4．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，
OA长为半径作弧，两弧交于点C；
连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2
cm，四边形OACB的面积为4
cm2.则OC的长为 cm.
4
4
5
轻松过招
第三招
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8
cm，DB＝6
cm，DH⊥AB于H.求DH的长．
解：AB＝
＝5(cm)
S菱形ABCD＝
×6×8＝24(cm2)
∵
AB·DH＝
S菱形ABCD，∴DH＝
cm
32＋42
1
2
1
2
1
2
25
5
轻松过招
6．菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，
AB＝4
cm.
（1）求BD的长；
解：(1)连接AC，交BD于点O，
∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE，∴AB＝AC，
∵在菱形ABCD，∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝4，∴BO＝2
3
，∴BD＝4
3
(cm)；
轻松过招
6．菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，
AB＝4
cm.
（2）求菱形ABCD的面积．
解：(2)菱形ABCD的面积为：
AC·BD＝
×4×4
3
＝8
3
(cm2).
1
2
1
2
轻松过招
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特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定
?
第一章
第2课时 菱形的判定
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
1．菱形的定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：①四条边都 ；②两条对角线 ，并且每条对角线平分一组对角．
③菱形是轴对称图形，有 条对称轴．
知识回顾
2
相等
相等
互相垂直
菱形的判定（1）
有一组邻边 的平行四边形形是菱形
∵___________________________________
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定（2）
对角线互相 的平行四边形是菱形
∵___________________________________
∴四边形ABCD是菱形
（一）基础呈现
相等
垂直
四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD
四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC
新知导航
菱形的判定（3）
四边
的四边形是菱形
∵________________________________
∴四边形ABCD是菱形
相等
AB＝BC＝CD＝DA
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知识点1：邻边相等
【例1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：四边形ABCD是菱形．
（二）例题仿练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD(ASA)；∴AD＝CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
∠A＝∠C
AE＝CF
∠AED＝∠CFD
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知识点2：对角线互相垂直
【例2】如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.
求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，
∴AE＝CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形
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知识点3：四边相等
【例3】（2019·兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(1)四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形；
新知导航
【例3】（2019·兰州）如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A、B、C、D，
连接BD交AC于点O.
（2）求BD的长．
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB＝
＝3，
∴BD＝2OB＝6.
52－42
新知导航
1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.
求证：四边形ACGF是菱形．
变式训练
证明：∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3，
∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴AC＝AF，
∴四边形ACGF是菱形．
新知导航
2.如图，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．
证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDO＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
∠EDO＝∠FBO
OD＝OB
∠EOD＝∠FOB
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3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接CD，CF，则四边形ADCF是菱形，请给予证明．
证明：∵Rt△ACB沿直角边AC翻折，
∴AB＝AE，∠ACE＝90°.
又∵点D与点F分别是AB，AE的中点，
∴AD＝
AB，AF＝
AE.
∵CD，CF分别是Rt△ACB与Rt△ACE斜边上的中线，
∴CD＝
AB，CF＝
AE，
∴AD＝AF＝CD＝CF，∴四边形ADCF是菱形．
1
2
1
2
1
2
1
2
新知导航
第一招
1．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A.
AC＝AD
B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
B
轻松过招
2．（2019·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABD＝∠CBD
C
轻松过招
第二招
3．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
OA＝OC
轻松过招
4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
C
轻松过招
第三招
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠FAD，
又∵DF∥AE，∴∠EAD＝∠ADF
∴∠FAD＝∠ADF.∴AF＝DF.∴?AEDF是菱形
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.
点F在DE的延长线上，且AF＝CE.
求证：四边形ACEF是菱形．
证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC，
∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE
又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形
∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE
又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60°
∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF.
∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
轻松过招
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特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定
?
第一章
第1课时
菱形的性质
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形．
平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边 且
.
（2）平行四边形的对角
.
（3）平行四边形的对角线
.
互相平分
平行
平行
相等
相等
知识回顾
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形
∴（边）___________________________________；
（角）_____________________________________；
（对角线）_________________________________.
如AB＝CD
∠A＝∠C
OA＝OC，OB＝OD等
知识回顾
菱形的定义：有一组邻边 的
叫做菱形．
菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形不同于一般平行四边形的性质：
①四条边都 ；
②两条对角线
，并且每条对角线
．
③菱形是轴对称图形，有 条对称轴．
（一）基础呈现
相等
平行四边形
相等
垂直平分
平分对角
2
新知导航
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∴（边）：________________________
（角）：__________________________
（对角线）：________________________________
AC⊥BD
如AB＝BC＝CD＝AD
∠BAC＝∠DAC
新知导航
知识点1：四边相等，对角线互相平分且平分对角．【例1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
（1）若AB＝6
cm，则AB＝
＝ ＝
＝
cm，周长为 .
（二）例题仿练
BC
CD
DA
6
24
cm
新知导航
（3）若AC＝16
cm，BD＝12
cm，则AB＝
，菱形的周长为 .
（2）若∠BAD＝60°，则∠BAC＝ °，∠ABD＝ °
30
60
10
cm
40
cm
新知导航
知识点2：对角线互相垂直平分应用
【例2】菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝2.求BD的长．
解：连接AC交BD于点O，
∵AE⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ABO＝30°
∵AD＝2，∴AB＝2，∴BO＝
3
，∴BD＝2
3
新知导航
知识点3：对角线平分对角
【例3】如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD.
【例3】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO
在△ADO和△ABO中，
，
∴△ADO≌△ABO(SAS)，∴OB＝OD.
AD＝AB
∠DAO＝∠BAO
AO＝AO
新知导航
1.如图，已知菱形ABCD.
（1）若CD＝4，则菱形的周长为 ；
（2）若∠B＝80°，则∠BAD＝ °，∠BAC＝ °；
（3）若∠B＝60°，AB＝2，则△ABC是 三角形，AC＝ ，连接BD，则BD＝ ．
变式训练
16
100
50
等边
2
2
3
新知导航
2．如图，菱形ABCD的边长为4
cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°.求对角线AC，BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4
cm
∴BO＝2
cm，∴AO＝2
3
cm，∴AC＝4
3
cm
新知导航
3．（2019·岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2.
AD＝CD
∠D＝∠D
DF＝DE
新知导航
第一招
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．已知，菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，则此菱形的周长为
．
D
52
轻松过招
第二招
3．（2019·赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
A
轻松过招
4．（2019·贵阳）如图，菱形ABCD的周长是4
cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长
（ ）
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
A
轻松过招
第三招
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE.若OE＝3.
求菱形ABCD的周长．
解：∵E是AD的中点，∴
AE＝ED
∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC
∴OE为△ADC中位线，∴CD＝2OE＝6.
∴菱形ABCD的周长＝24
轻松过招
6．菱形ABCD的周长为52
cm，其对角线AC，BD相交于点E，且对角线BD长10
cm.
求对角线AC的长。
解：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，DE＝10÷2＝5(cm)
∵菱形周长为52
cm ∴AD＝52÷4＝13(cm)
∴AE＝
＝12(cm).∴AC
＝24(cm)
132－52
轻松过招
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