(共17张PPT)
特殊平行四边形
2．矩形的性质与判定
?
第一章
第1课时
矩形的性质
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
矩形是轴对称图形，它有 条对称轴，即经过对边中点的直线：矩形又是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心。
.
知识回顾
2
1．矩形的定义：有一个角是
的平行四边形是矩形．
矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形不同于一般平行四边形的性质：
①矩形的四个角都是 ；
②矩形的对角线 ．
（一）基础呈现
新知导航
相等
直角(90°)
直角
∵矩形ABCD
∴（边）：________________________________
（角）：__________________________________
（对角线）：______________________________
2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
几何语言：在Rt△ABC中，
∵ ，
∴ ．
AC＝BD
AB＝CD AD＝BC
∠ABC＝90°
AD＝BD
CD＝
AB
1
2
新知导航
知识点1：四个角是直角
【例1】（例1）如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，若AD＝5，BD＝13，则AC＝ ，
AB＝ ，矩形ABCD的周长为 ，面积为
．
（二）例题仿练
新知导航
60
13
12
34
知识点2：对角线相等
【例2】如图，矩形ABCD两对角线交于点O，∠COD＝120°，AC＝8.求：AD、AB的长及矩形ABCD的面积．
解：∵∠COD＝120°，
∴∠DCA＝30°∴在Rt△ADC中
∵AC＝8，∴AD＝4，CD＝4
3
，
∴AB＝CD＝4
3
.
S矩形ABCD＝AD·AB＝4×4
3
＝16
3
新知导航
知识点3：定理
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AC＝5，BC＝12，则CD＝_________.
6.5
新知导航
1.如图，在矩形ABCD中，BC＝16，BD＝20，则CD＝
，OC＝ ．矩形的周长为________，面积为 ．
变式训练
新知导航
192
12
10
56
2.如图，矩形ABCD的一条对角线AC长8
cm，两条对角线的一个交角∠AOD＝120°.求这个矩形的周长．
解：∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°且AO＝BO
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝4
cm，BC＝4
3
cm，
∴矩形的周长为(8＋8
3
)cm.
新知导航
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD是AB边上的中线，则AB的长是 ．
10
新知导航
第一招
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（ ）
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对角线相等
D．对角相等
2．（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
C
C
轻松过招
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
B
轻松过招
第二招
4．如图，在矩形ABCD中，对角线
相交于点O，且∠AOB＝50°，则
∠ADB＝ °.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8，
则CD＝ ．
25
4.8
轻松过招
第三招
6．如图，在矩形ABCD中，点E、F
在BC上，连接AE，DF，BF＝CE.
求证：AE＝DF.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FE＝CE＋FE，
∴BE＝CF
∵AB＝DC，在Rt△ABE和Rt△DCF中
AE＝
，DF＝
，∴AE＝DF.
AB2＋BE2
DC2＋CF2
轻松过招
7．已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC.
求证：DF＝CD.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，又∵AE＝BC，∴AD＝AE
在△AFD和△EBA中，
，
∴△AFD≌△EBA(AAS)，∴DF＝AB
又∵AB＝CD，∴DF＝CD.
∠1＝∠2
∠B＝∠AFD
AD＝EA
轻松过招
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特殊平行四边形
2．矩形的性质与判定
?
第一章
第3课时 矩形的性质与判定
的综合应用
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
1．矩形的性质
（1）矩形的四个角都是 ；
（2）矩形的对角线 ．
2．矩形的判定
（1）一个角是 的平行四边形是矩形；
（2）对角线 的平行四边形形是矩形；
（3）有
是 的四边形形是矩形。
3．直角三角形斜边上的 等于斜边的一半．
知识回顾
中线
直角
相等
直角
相等
三个角
直角
知识点1：矩形性质与判定的综合应用
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD＝BE；
例题仿练
新知导航
(1)证明：∵在矩形ABCD中，
AB∥CD，即AB∥CE，又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE
又∵在矩形ABCD中，∴BD＝AC.∴BD＝BE
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，交DC的延长线于点E.
（2）若∠DBC＝30°，BO＝4，
求四边形ABED的面积．
新知导航
(2)解：∵在矩形ABCD中，BO＝4，
∴BD＝2BO＝2×4＝8，
∵∠DBC＝30°，∴CD＝BO＝4，
∴AB＝CD＝4，DE＝CD＋CE＝CD＋AB＝4＋4＝8，
在Rt△BCD中，BC＝
＝
＝4
3
，
∴四边形ABED的面积为
(4＋8)×4
3
＝24
3
.
BD2－CD2
82－42
1
2
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3.点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE.
（1）求证：四边形ACED为矩形；
变式训练
新知导航
(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，∵CE＝3，∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形；
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3.点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE.
（2）连结OE，求OE的长．
新知导航
(2)解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝
DE＝
AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝
＝
＝
10
.
1
2
1
2
OC2＋CE2
12＋32
第一招
1．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，BD＝13，
求矩形的周长和面积．
轻松过招
解：∵ABCD是矩形，
∴∠BCD
＝90
°，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，
∴
CD＝
BD2
－BC2
＝
169
－144
＝5
∴周长：（12＋5）×2＝34
面积：12×5＝60
第二招
2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，AE＝CF，BD＝EF，连接DE、BF.
求证：四边形EBFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝OC，BO＝DO
又∵AE＝CF，∴AO－AE＝OC－CF，即OE＝OF
四边形EBFD是平行四边形
又BD＝EF，∴?EBFD是矩形．
轻松过招
3．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF.
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∵AF＝CE，∴FB＝ED.
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°.∴四边形DFBE是矩形；
轻松过招
3．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF.
（2）当CF平分∠DCB时，
若CE＝3，BE＝4，求CD的长．
(2)解：在Rt△BEC中，BE＝4，CE＝3，∴CB＝5，
∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，
∴CB＝BF＝5，∴ED＝CB＝5，∴CD＝ED＋CE＝8.
轻松过招
第三招
4．（2019·新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE；
证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE(ASA)；
∠ODE＝∠FCE
DE＝CE
∠DEO＝∠CEF
轻松过招
第三招
4．（2019·新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（2）四边形OCFD是矩形．
(2)∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，
∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行
四边形，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形
轻松过招
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特殊平行四边形
2．矩形的性质与判定
?
第一章
第2课时 矩形的判定
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质；
（2）距形不同于一般平行四边形的性质
①矩形的四个角都是
；
②矩形的对角线
．.
几何语言
∵矩形ABCD
∴（边）：
.
（角）：
.
（对角线）：
.
知识回顾
AC＝BD
直角(90°)
相等
AB＝CD AD＝BC
∠ABC＝90°
矩形的判定
（1）有一个角是
的平行四边形是矩形．
（2）对角线 的平行四边形形是矩形
（3）有 是 的四边形是矩形
（一）基础呈现
新知导航
直角
直角(90°)
相等
三个角
几何语言
（1）∵_____________________________________
∴四边形ABCD是矩形
（2）∵
.
∴四边形ABCD是矩形
（3）∵
.
∴四边形ABCD是矩形
四边形ABCD中，
∠A＝∠B＝∠C＝90°
四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°
四边形ABCD是平行四边形，
AC＝BD
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知识点1：矩形定义
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，
点D，E，F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形CEDF是矩形．
（二）例题仿练
新知导航
证明：∵D，E，F分别是△ABC边上中点
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形．
又∵∠C＝90°，∴?CEDF是矩形．
知识点2：对角线相等
【例2】（2019·江西）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交
于点O，且OA＝OD.求证：四边形
ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
新知导航
知识点3：有三个角是直角
【例3】（2019·怀化）已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
∠B＝∠D
∠AEB＝∠CFD
AB＝CD
新知导航
知识点3：有三个角是直角
【例3】（2019·怀化）已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（2）求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
新知导航
1.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）若AD＝BC，求证四边形ABCD
为矩形．
变式训练
新知导航
(1)证明：在△DCA和△EAC中，
，
∴△DCA≌△EAC(SSS)；
DC＝EA
AD＝CE
AC＝CA
1.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）若AD＝BC，求证四边形ABCD
为矩形．
新知导航
(2)证明：∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，由(1)得：△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形；
2.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形．
求证：四边形ABCD
是矩形．
证明：∵△AOB是等边三角形，∴AO＝OB.
又∵在?ABCD中，OA＝
AC，OB＝
BD
∴AC＝BD.∴?ABCD是矩形．
1
2
1
2
新知导航
3.已知：如图，?ABCD的四个内角的
平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵BG，CG是角平分线
∴∠GBC＝
∠ABC，∠BCG＝
∠DCB
又∵∠ABC＋∠DCB＝180°∴∠GBC＋∠BCG＝90°，
∴∠G＝90°，同理得∠E＝90°，∠DHC＝90°
∴∠GHE＝90°.∴四边形EFGH是矩形．
1
2
1
2
新知导航
第一招
1．如图，在?ABCD中，E为CD中点，AE＝BE.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵E为CD的中点，∴DE＝CE，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE(SSS)．∴∠D＝∠C，
又∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠D＝90°.∴?ABCD是矩形
AD＝BC
DE＝CE
AE＝BE
轻松过招
第二招
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，EG∥CB，FG∥CA.
求证：四边形EGFC是矩形．
证明：∵EG∥CB，FG∥CA，
∴四边形EGFC是平行四边形，
又∵∠C＝90°，∴?EGFC是矩形
轻松过招
第三招
3．如图，直线MN与AC交于点A，AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线，CB⊥AQ于点B，
CD⊥AP于点D.
求证：四边形ADCB是矩形．
证明：∵AQ，AP平分∠MAC和∠NAC
∴∠BAC＝
∠MAC，∠PAC＝
∠NAC
又∵∠MAC＋∠NAC＝180°，∴∠BAC＋∠DAC＝90°
∴∠BAD＝90°，又∵CB⊥AQ，CD⊥AP，
∴∠CBA＝90°，∠CDA＝90°，∴四边形ADCB是矩形．
1
2
1
2
轻松过招
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