青岛版九年级上册 数学 1.3 相似三角形的性质课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
1.3
相似三角形的性质
学习目标
1.在理解相似三角形基本性质的基础上，掌握相似三角形对应中线、对应高线、对应角平
分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题。
1.回忆全等三角形的性质:
两个全等三角形具有哪些性质?
往事新忆
全等三角形的
①对应角相等
②对应边相等
③对应高相等
④对应中线相等
⑤对应角平分线相等
新知猜想
展开想象的翅膀:
相似三角形的对应角、对应边、
对应高、对应中线及对应角平分线
有何关系？
相似三角形的性质
根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质？
对应角相等，对应边成比例。
J我们把相似三角形对应边的比值称为相似比
猜想EQ相似三角形对应高的比是否等于相似比
信不信不由你
已知：如图，△ABC∽
△A′B′C′,
△ABC与
△A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是对应高。
求证：
B’
A’
C’
D’
A
B
C
D
证明：
∵△ABC∽△A
′
B
′
C
′
∴∠B=
∠B
′
∵
AD、A′D′分别是△ABC与
△A′B′C′的高
∴∠ADB=∠A′D′B′=90O
∴
△ABD∽△A
′
B
′
D
′
我也做一做：
相信自己，走向成功
A组，求证：相似三角形对应中线的比等于相似比。
B组，求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
2.如图,△ABC∽
△
A′B′C′,
相似比为K,
AD、A′D′分别为
△ABC和△
A′B′C′的中线，
求证：AD:
A′D′=K
C′
A
B
C
D
A′
B′
D′
3.如图,△ABC∽
△
A′B′C′,
相似比为K,
AD、A′D′分别为
△ABC和△
A′B′C′的角平分线，求证：AD:
A′D′=K
A
B
C
D
B′
A′
C′
D′
相似三角形周长的比等于相似比吗？
已知：
求证：
∽△
△
证明：
∽△
△
∵
∴
∴
(相似三角形对应边成比例)
(等比性质)
A
C
B
B′
A′
C′
做一做
如下图⑴、⑵、⑶分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似。
⑴
⑵
⑶
⑵与⑴的相似比=（
）
⑵与⑴的面积比=（
）
⑶与⑴的相似比=（
）
⑶与⑴的面积比=（
）
由此我们可以得到什么结论？
对等边三角形而言，面积比=相似比的平方。
2:1
4:1
3:1
9:1
动动你聪明的
脑子，想一想
上述结论是否适用于一般的相似三角形？
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
证明：
∽
△
△
分别过A、A′，
作AD⊥BC于D，
∵
∴
∴
∴
结论3
相似三角形的面积比为相似比的平方。
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
等于相似比.
面积的比等于相似比的平方
感悟与反思：相似三角形的性质
如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k，它们面积的比是多少？
相似多边形面积比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
延伸探究:
同样我们可以得出：相似多边形的周长比等于相似比
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？
2．相似三角形对应边的比为2:5，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
3∶5
2:5
2:5
4:25
3、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____
4
:
3
4
:
3
2:5
小试牛刀
1.如图,在△ABC中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若△ABC的面积为9,则S四边形DBCE=（
）
A
B
C
D
E
大显身手：
2.如图，在　
ABCD中，E为AB延长线上一点，AB:AE=2:5,若S△DFC=12cm2，则S△EFB=(
)
D
A
B
C
E
F
3.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
A
B
C
D
E
F
O
小王有一块三角形余料ABC，它的边BC=60cm，高线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。
挑战自我
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
（1）
△
ASR与△
ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1)
△ASR∽△ABC.理由是:
(2)由(1)可知,
△ASR∽△ABC.
四边形PQRS是正方形
RS∥BC
∠ASR=
∠B
∠ARS=
∠C
△ASR∽△ABC.
设正方形PQRS的边长为x
cm,
则AE=(40-x)cm,
解得,x=24.
所以正方形PQRS的面积为576cm2.
(相似三角形对应高的比等于相似比)
例
题
解
析
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
40
60
（1）如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试确定x的取值范围。
P
B
A
C
D
E
F
M
N
如图，△ABC是一
块余料，边AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形
的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上
(2)当DE是DP的1.5倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少?
(3)在问题(2)中，具体操作时，发现在AB线段上离B点34cm处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得BN=70cm）
变式训练：
自我测试
1、两个矩形相似,它们的对角线之比是1:3,那么
它们的相似比是
,周长比是
,面积比是
.
2、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一
个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的
周长为
cm.
3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来
的5倍，那么它的周长扩大为原来的
倍，
而面积扩大为原来的
倍。
4、如图，已知△ABC∽△ADE，
且BC=2DE，则△ADE与四
边形BCDE的面积比为（
）
(A)1：2
(B)1：3
(C)1；4
(D)1：5
A
B
C
D
E
知识象一艘船
让它载着我们
驶向理想的
……
你今天努力了吗？
小结
这节课你有什么收获呢
今天我们学习相似三角形哪些性质？
1、相似三角形对应高的比等于相似比,
相似三角形对应中线的比等于相似比,
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
2、相似三角形周长的比等于相似比，
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
谢
谢