人教A版高中数学选修1-2 2.2.2 反证法(共36张PPT)

(共36张PPT)
人教A版选修1-2第二章推理与证明
2.2.2间接证明
---反证法
综合法
条件
结论
数学推理
条件
定理
公理
定义
P
Q1
Q1
Q2
Q2
Q3
Qn
Q
…
由因导果
复习
分析法
要证：??
只要证：??
只需证：??
??显然成立
上述各步均可逆
所以
结论成立
格
式
复习
Q
P1
P1
P2
P2
P3
得到一个明显
成立的条件
…
执果索因
1.直接证明的方法:
(1)比较法:
作差比较法;
作商比较法;
(2)综合法:
(3)分析法:
2.没有特别要求的证明题:
用分析法寻找证明思路,用综合法写出证明过程!
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；
2.识别反证法所适用的数学问题；
3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）；4.会用反证法解决数学问题.
2.2.2
反证法
学习目标：
思考：
将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？
1.间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.
新课讲解
2.
假设原命题
(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过
正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________
，
从而证明了
，这样的证明方法叫做反证法.
3.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与
矛盾，或与假设矛盾，或与
矛盾等.
不成
立
假设错误
原命题成立
已知条件
定义、公理、定理、事实
4.反证法解题的实质：
否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.
5.反证法的思维方法：正难则反
反证法定义:
一、提出假设
二、推理论证
三、得出矛盾
四、结论成立
6.反证法的一般步骤
类型一　用反证法证明否定性命题
例1：设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，
证明：数列{an＋1}不是等比数列.
7.反证法所适用的证明问题
用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
4.已知
，
求证：方程
没有负数根
2.
求证:
不可能是同一个等差
数列中的三项.
3.已知0(1-c)a,
不能都大于1/4
类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题
1.已知a，b，c是互不相等的实数，求证：
由y1＝ax2＋2bx＋c，
y2＝bx2＋2cx＋a和
y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线
至少有一条与x轴有两个不同的交点.
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，
求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个
实根.
3.用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a
＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－
2a＝0，当a≤－
或a≥－1时，
至少有一个方程有实数根.
类型三　用反证法证明唯一性命题
例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根.
用反证法证明唯一性命题的类型：以“有且只有”，“只有一个”，“唯一存在”等形式出现的命题。
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题.
（2）某些定理的逆命题.
（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈
述的命题.
（4）关于“唯一性”结论的命题.
（8）涉及各种“无限”结论的命题等.
（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.
（6）一些不等量命题的证明.
（5）解决整除性问题.
原词语
否定词
原词语
否定词
等于
任意的
是
至少有一个
都是
至多有一个
大于
至少有n个
小于
至多有n个
对所有x,成立
对任何x，
不成立
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
?
不是
不都是
不大于
大于或等于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某x，
不成立
存在某x,
成立
不等于
某个
原词语
否定词
p或q
p且q
￢p且￢q
￢p或￢q
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a不平行b
练习
2.
用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”
时，应假设
____________
.
三角形中有两个或三个角是直角
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正
确的反设为（
）
A.a，b，c都是奇数
B.
a，b，c都是偶数
C.
a，b，c中至少有两个偶数
D.
a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
D
4.用反证法证明（填空）：
在三角形的内角中，至少有一个角不小于60°
已知：如图，
∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证：
∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于600.
证明：
假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿60°，
∠Ｂ＿＿60°，
∠Ｃ＿＿60°
则　∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ　＜　1800
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设＿＿＿＿＿＿，
所以，所求证的结论成立．
＜
＜
＜
三角形三个内角的和等于180°
不成立
Ａ
Ｂ
Ｃ
5.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
l1
l2
l3
P
l3与l2
不相交.
l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
这与“____________________________
_____________”矛盾.
证明:
假设____________,那么_________.
因为已知_________,
所以_________,即求证的命题正确.
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
假设
推理
矛盾
假设不成立
命题成立
例1、已知a≠0，证明：关于x的方程
ax=b有且只有一个根.
分析：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=
。从正面较难说清为什么只有这个根，我们采用反证法，即证明如果不只一个根则会导致矛盾。
典例剖析
例1：已知a≠0，
证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
练习：课本43页练习
用反证法证题时,应注意的事项
:
??（1）周密考察原命题结论的否定事项，
防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说
明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条
件，否则推不出矛盾，或者不能断
定推出的结果是错误的。
全课总结
1、知识小结：
反证法证明的思路：假设命题的结论不成立→正确的推理,得出矛盾→否定假设，肯定待证明的命题
2、重、难点提示:
反设是反证法的基础；归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式。
例2:
已知直线
和平面
,如果
且
,求证:
.
b
例3.已知：
求证：
（2）
中至少有一个不小于
.
（1）
作业：
课本44页
习题2.2A组第3题
再见