2020_2021学年高中数学第二章函数单元质量评估一含解析北师大版必修1（Word含解析）

第二章单元质量评估(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝x2－2x＋3，x∈A，y∈B，对于集合B中的元素1，下列说法正确的是(　
　)
A．在A中有1个原像
B．在A中有2个原像
C．在A中有3个原像
D．在A中无原像
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　
　)
A.
B．3
C.
D.
3．已知f(x)＝则f(f(2))＝(　
　)
A．－7
B．2
C．－1
D．5
4．要得到函数y＝(x＋1)
eq
\s\up15(
)
的图像，只需将函数y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像(　
　)
A．向上平移1个单位
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位
D．向右平移1个单位
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　
　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．下列表示函数f(x)＝的图像正确的是(　
　)
7．已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N等于(　
　)
A．{(－，1)，(，1)}
B．[－1，]
C．[0，]
D．?
8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　
　)
A.
B．－
C.
D．－
9．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是(　
　)
A．(－∞，0]和(－∞，1]
B．(－∞，0]和[1，＋∞)
C．[0，＋∞)和(－∞，1]
D．[0，＋∞)和[1，＋∞)
10．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减少的，则a的取值范围是(　
　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
11．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　
　)
A．f(2)>f(3)
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　
　)
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值是(　
　)，最小值是(　
　)
14．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝(　
　).
15．集合M＝{x||x2－2x|＋a＝0}有8个子集，则实数a的值为(　
　).
16．定义运算a
b＝则函数f(x)＝(2x＋3)
x2的最小值是(　
　).
三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝16，求相应x的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x2－bx＋c，若f(1－x)＝f(1＋x)，且f(0)＝3.求：
(1)b，c的值；
(2)函数f(x)在[0,3]上的最大值和最小值．
19．(12分)已知函数f(x)＝4x2－kx－8.
(1)若函数y＝f(x)在区间[2,10]上单调，求实数k的取值范围；
(2)若y＝f(x)在区间(－∞，2]上有最小值－12，求实数k的值．
20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域．
21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
第二章单元质量评估(一)(答案版）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝x2－2x＋3，x∈A，y∈B，对于集合B中的元素1，下列说法正确的是(　D　)
A．在A中有1个原像
B．在A中有2个原像
C．在A中有3个原像
D．在A中无原像
解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴集合B中的元素1在A中无原像．
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　D　)
A.
B．3
C.
D.
解析：f(3)＝，f(f(3))＝f＝.
3．已知f(x)＝则f(f(2))＝(　B　)
A．－7
B．2
C．－1
D．5
解析：f(2)＝－2×2＋3＝－1，f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
4．要得到函数y＝(x＋1)
eq
\s\up15(
)
的图像，只需将函数y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像(　C　)
A．向上平移1个单位
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位
D．向右平移1个单位
解析：只需把函数y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像向左平移1个单位，故选C.
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　B　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：∵f(x)在R上是奇函数，∴f(0)＝0.根据f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝0，
把x换成x＋2得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为4.∴f(6)＝f(2)＝0.
6．下列表示函数f(x)＝的图像正确的是(　A　)
解析：当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1,0)，显然D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1,2)，B错，所以选A.
7．已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N等于(　B　)
A．{(－，1)，(，1)}
B．[－1，]
C．[0，]
D．?
解析：∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
∵3－x2≥0，得－≤x≤，∴N＝[－，]．∴M∩N＝[－1，]．故选B.
8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　C　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵f(x)＝＝1＋，∴f(－x)＝1－，∴f(x)＋f(－x)＝2.
∵f(a)＝，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－＝.故选C.
9．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是(　C　)
A．(－∞，0]和(－∞，1]
B．(－∞，0]和[1，＋∞)
C．[0，＋∞)和(－∞，1]
D．[0，＋∞)和[1，＋∞)
解析：函数f(x)＝|x|的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．故选C.
10．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减少的，则a的取值范围是(　D　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f(x)在区间[1,2]上是减少的；g(x)＝，当a>0时，g(x)在区间[1,2]上是减少的，故a的取值范围是011．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　D　)
A．f(2)>f(3)
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
解析：∵y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)．
令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，同理，f(3)＝f(5)．
又∵f(x)在(4，＋∞)上为减函数，5<6，∴f(5)>f(6)．
∴f(2)f(6)．故选D.
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　C　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由f(－4)＝f(0)得16－4b＋c＝c，解得b＝4.
由f(－2)＝－2得4－2b＋c＝－2，∴4－8＋c＝－2，即c＝2.则f(x)＝在同一坐标系中画f(x)及y＝x的图像如图所示，两图像有且仅有3个交点，故选C.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值是2，最小值是.
解析：∵f(x)＝＝＝1＋，
∴f(x)＝在区间[2,5]上是减少的，∴f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(5)＝.
14．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝.
解析：∵f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，f(1)＝，且f(x)为奇函数，
∴f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．∴f(2)＝2f(1)＝2×＝1.
∴f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＋f(2)＝f(1＋2)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝.
15．集合M＝{x||x2－2x|＋a＝0}有8个子集，则实数a的值为－1.
解析：
设集合M中元素的个数为n，则2n＝8，解得n＝3，
∴集合M中有3个元素，即|x2－2x|＋a＝0有3个根，
∴函数y＝|x2－2x|与y＝－a的图像有三个交点．
作出y＝|x2－2x|与y＝－a的图像，如图所示，由图易知a＝－1.
16．定义运算a
b＝则函数f(x)＝(2x＋3)
x2的最小值是1.
解析：由x2>2x＋3，得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1.
∵a
b＝∴f(x)＝(2x＋3)
x2＝
当x>3时，函数f(x)＝x2是增加的，∴f(x)>9；
当x<－1时，函数f(x)＝x2是减少的，∴f(x)>1；
当－1≤x≤3时，函数f(x)＝2x＋3是增加的，∴函数的最小值是f(－1)＝1.
综上所述，所求函数的最小值是1.
三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝16，求相应x的值．
解：(1)函数f(x)在区间(－2,0)，[2，＋∞)上是增加的；在区间(－∞，－2]，(0,2)上是减少的．
(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；
当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6.
所以f(x)＝16时，相应x的值为6或－6.
18．(12分)已知函数f(x)＝x2－bx＋c，若f(1－x)＝f(1＋x)，且f(0)＝3.求：
(1)b，c的值；
(2)函数f(x)在[0,3]上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(0)＝3，所以c＝3.
因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以x＝1为函数f(x)的图像的对称轴，所以b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.故当x＝3时，f(x)max＝6，
当x＝1时，f(x)min＝2，所以函数的最大值和最小值分别是6和2.
19．(12分)已知函数f(x)＝4x2－kx－8.
(1)若函数y＝f(x)在区间[2,10]上单调，求实数k的取值范围；
(2)若y＝f(x)在区间(－∞，2]上有最小值－12，求实数k的值．
解：易得函数f(x)＝4x2－kx－8的图像的对称轴为x＝.
(1)若y＝f(x)在区间[2,10]上单调递增，则≤2，解得k≤16；
若y＝f(x)在区间[2,10]上单调递减，则≥10，解得k≥80.所以实数k的取值范围为(－∞，16]∪[80，＋∞)．
(2)当≤2，即k≤16时，f(x)min＝f＝－12，解得k＝8或k＝－8，符合题意；
当>2，即k>16时，f(x)min＝f(2)＝－12，解得k＝10，不符合题意．所以实数k的值为8或－8.
20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域．
解：(1)∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－＝1，又方程f(x)＝x有等根?ax2＋(b－1)x＝0有等根，
∴Δ＝(b－1)2＝0?b＝1?a＝－，∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋.显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，ymax＝，x＝2时，ymin＝0，∴x∈[1,2]
时，函数的值域是.
21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
(2)任取x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，即f(x2)∴f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，∴f(12)最小，f(－12)最大．
又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)
＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
解：(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减，所以减区间为；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，所以增区间为；
由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴∴a＝.
PAGE
1