2020_2021学年高中数学第二章解三角形质量评估1含解析北师大版必修5（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2020_2021学年高中数学第二章解三角形质量评估1含解析北师大版必修5（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 203.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-15 16:37:13 | ||
图片预览
文档简介
第二章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(
)
A．1
B.
C．2
D．4
2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(
)
A．76
B．2
C．27
D．2
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝
，则＝(
)
A.
B.
C.
D．2
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积S＝220，则BC的长为(
)
A．20
B．75
C．51
D．49
6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(
)
A.
B.
C.
D.
7．若＝＝，则△ABC是(
)
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
8．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是(
)
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
9．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是(
)
A．(0,2)
B．(，2)
C．(，)
D．(，2)
10．在△ABC中，已知BC＝5，外接圆半径为5.若·＝，则△ABC的周长为(
)
A．11
B．9
C．7
D．5
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a＝(
)
A．4
B．3
C．2
D．2
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20
n
mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30
min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(
)
A．20(＋)n
mile/h
B．20(－)n
mile/h
C．20(＋)n
mile/h
D．20(－)n
mile/h
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为(
)
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为(
).
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝(
).
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝，求C.
18．(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
19．(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
20．(本小题12分)在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
21．(本小题12分)如图，有一直径为8
m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝.
(1)若CE＝
m，求AE的长；
(2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积．
22．(本小题12分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，且△ABC的面积为.
(1)求∠BAC的大小及·的值；
(2)若AB＝4，求AD的长．
第二章单元质量评估(一)(答案版）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( C )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：由余弦定理，得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( B )
A．76
B．2
C．27
D．2
解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2.
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝
，则＝( B )
A.
B.
C.
D．2
解析：依题意得S△ABC＝bcsin60°＝，得c＝4，由余弦定理得a＝＝，由正弦定理得＝＝＝.
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积S＝220，则BC的长为( D )
A．20
B．75
C．51
D．49
解析：因为S＝AC·ABsinA＝×16×AB×sin60°＝4AB＝220，所以AB＝55.再用余弦定理求得BC＝49.
6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知及正弦定理得2sinAsinB＝sinB，因为sinB>0，所以sinA＝.又A∈，所以A＝.
7．若＝＝，则△ABC是( C )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
解析：∵＝，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA，
又2RsinA≠0，∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
8．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是( C )
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
解析：∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b2＋c2)－4(a2＋bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，cosA＝.
又∵0°9．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是( C )
A．(0,2)
B．(，2)
C．(，)
D．(，2)
解析：＝＝＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C，∴10．在△ABC中，已知BC＝5，外接圆半径为5.若·＝，则△ABC的周长为( A )
A．11
B．9
C．7
D．5
解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由题意，得＝2×5，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.∵·＝，∴A＝60°，bccos60°＝，∴bc＝11.∵a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝75，∴(b＋c)2＝108，∴a＋b＋c＝5＋6＝11.
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a＝( D )
A．4
B．3
C．2
D．2
解析：∵A＝2B，∴C＝π－(A＋B)＝π－3B，sinC＝sin3B.由正弦定理知＝＝，∴sinB＝3sin3B ①，∵sin3B＝sin(2B＋B)＝sin2BcosB＋cos2BsinB＝2sinBcos2B＋(1－2sin2B)sinB＝2sinB－2sin3B＋sinB－2sin3B＝3sinB－4sin3B ②.把②代入①，得sinB＝3(3sinB－4sin3B)．分析知B∈，∴sinB≠0，∴sinB＝，cosB＝，∴由＝，得a＝6cosB＝2.
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20
n
mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30
min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )
A．20(＋)n
mile/h
B．20(－)n
mile/h
C．20(＋)n
mile/h
D．20(－)n
mile/h
解析：由题意可知∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠MNS＝45°＋(90°－30°)＝105°，
∴∠MSN＝180°－105°－45°＝30°，
设货轮每小时航行x
n
mile，则MN＝x，由正弦定理，得＝，
∵sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，∴x＝20(－)，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为.
解析：由A＝45°，C＝75°，知B＝60°.由正弦定理，得＝，所以BC＝·AC＝×＝.
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为.
解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，∴bccosA＝，
同理accosB＝，abcosC＝，∴原式＝＝.
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝2或2.
解析：由S△ABC＝acsinB得sinB＝，∴B＝60°或120°.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a－c)2＋2ac－2accosB＝22＋2×48－2×48cosB，
∴b2＝52或148，即b＝2或2.
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝60°.
解析：∵∠ADB＝120°，∴∠ADC＝60°，又S△ADC＝×AD×DC×sin∠ADC＝×2×DC×＝DC＝3－，∴DC＝2－2.∵BD＝DC，∴BD＝－1，得BC＝3－3.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos120°＝4＋3－2＋1＋4(－1)×＝6，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos60°＝4＋12－8＋4－8(－1)×＝24－12，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝＝，∴∠BAC＝60°.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝，求C.
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.
18．(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)证明：由已知得sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，∴sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，
则sin2B＝sinAsinC，再由正弦定理，可得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
(2)若a＝1，c＝2，则b2＝ac＝2，∴cosB＝＝，∴sinB＝＝，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
19．(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.
于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，＝.故BC＝＝＝3.
20．(本小题12分)在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
解：(1)由cosC＝，得sinC＝，sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理，得BC＝·sinA＝×＝3.
(2)由正弦定理，得AB＝·sinC＝×＝2.BD＝AB＝1.
由余弦定理，得CD＝＝
＝.
21．(本小题12分)如图，有一直径为8
m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝.
(1)若CE＝
m，求AE的长；
(2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积．
解：(1)由已知，点C在以AB为直径的半圆周上，所以△ACB为直角三角形，
因为AB＝8，∠ABC＝，所以∠A＝，AC＝4，
在△ACE中，CE2＝AC2＋AE2－2AC×AEcos∠A，且CE＝，所以13＝16＋AE2－4AE，
解得AE＝1或AE＝3.
(2)因为∠ACB＝，∠ECF＝，所以∠ACE＝α∈，
所以∠AFC＝π－∠A－∠ACF＝π－－＝－α，
在△ACF中，＝＝＝.
所以CF＝.
在△ACE中，＝＝，
所以CE＝.
若要产生最大经济价值，则△ECF的面积最大．
S△ECF＝CE×CFsin∠ECF＝＝，
因为α∈，所以0≤sin≤1，
所以当α＝时，S△ECF取得最大值，为4
m2，即种植甲种果树的面积为4
m2时，该空地产生的经济价值最大．
22．(本小题12分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，且△ABC的面积为.
(1)求∠BAC的大小及·的值；
(2)若AB＝4，求AD的长．
解：(1)在△ABC中，由AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，可得＝－＝cos∠BAC，故∠BAC＝120°.
因为S△ABC＝AB×AC×sin∠BAC＝×AB×AC×sin120°＝，
即×AB×AC×＝，所以AB×AC＝4.
所以·＝||×||×cos120°＝||×||×＝4×＝－2.
(2)由AB＝4，AB×AC＝4，得AC＝1.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝16＋1－2×4×1×＝21，
即BC＝，
所以cos∠ABC＝＝＝，
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD＝16＋－2×4××＝，得AD＝.
PAGE
7
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(
)
A．1
B.
C．2
D．4
2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(
)
A．76
B．2
C．27
D．2
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝
，则＝(
)
A.
B.
C.
D．2
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积S＝220，则BC的长为(
)
A．20
B．75
C．51
D．49
6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(
)
A.
B.
C.
D.
7．若＝＝，则△ABC是(
)
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
8．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是(
)
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
9．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是(
)
A．(0,2)
B．(，2)
C．(，)
D．(，2)
10．在△ABC中，已知BC＝5，外接圆半径为5.若·＝，则△ABC的周长为(
)
A．11
B．9
C．7
D．5
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a＝(
)
A．4
B．3
C．2
D．2
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20
n
mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30
min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(
)
A．20(＋)n
mile/h
B．20(－)n
mile/h
C．20(＋)n
mile/h
D．20(－)n
mile/h
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为(
)
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为(
).
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝(
).
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝，求C.
18．(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
19．(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
20．(本小题12分)在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
21．(本小题12分)如图，有一直径为8
m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝.
(1)若CE＝
m，求AE的长；
(2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积．
22．(本小题12分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，且△ABC的面积为.
(1)求∠BAC的大小及·的值；
(2)若AB＝4，求AD的长．
第二章单元质量评估(一)(答案版）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于( C )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：由余弦定理，得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( B )
A．76
B．2
C．27
D．2
解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2.
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝
，则＝( B )
A.
B.
C.
D．2
解析：依题意得S△ABC＝bcsin60°＝，得c＝4，由余弦定理得a＝＝，由正弦定理得＝＝＝.
4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积S＝220，则BC的长为( D )
A．20
B．75
C．51
D．49
解析：因为S＝AC·ABsinA＝×16×AB×sin60°＝4AB＝220，所以AB＝55.再用余弦定理求得BC＝49.
6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知及正弦定理得2sinAsinB＝sinB，因为sinB>0，所以sinA＝.又A∈，所以A＝.
7．若＝＝，则△ABC是( C )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
解析：∵＝，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA，
又2RsinA≠0，∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
8．设a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则A的度数是( C )
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
解析：∵由题意可知题中方程的判别式Δ＝4(b2＋c2)－4(a2＋bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，cosA＝.
又∵0°
A．(0,2)
B．(，2)
C．(，)
D．(，2)
解析：＝＝＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C，∴
A．11
B．9
C．7
D．5
解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由题意，得＝2×5，∴sinA＝，∴A＝60°或120°.∵·＝，∴A＝60°，bccos60°＝，∴bc＝11.∵a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝75，∴(b＋c)2＝108，∴a＋b＋c＝5＋6＝11.
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则a＝( D )
A．4
B．3
C．2
D．2
解析：∵A＝2B，∴C＝π－(A＋B)＝π－3B，sinC＝sin3B.由正弦定理知＝＝，∴sinB＝3sin3B ①，∵sin3B＝sin(2B＋B)＝sin2BcosB＋cos2BsinB＝2sinBcos2B＋(1－2sin2B)sinB＝2sinB－2sin3B＋sinB－2sin3B＝3sinB－4sin3B ②.把②代入①，得sinB＝3(3sinB－4sin3B)．分析知B∈，∴sinB≠0，∴sinB＝，cosB＝，∴由＝，得a＝6cosB＝2.
12．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20
n
mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30
min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )
A．20(＋)n
mile/h
B．20(－)n
mile/h
C．20(＋)n
mile/h
D．20(－)n
mile/h
解析：由题意可知∠SMN＝15°＋30°＝45°，MS＝20，∠MNS＝45°＋(90°－30°)＝105°，
∴∠MSN＝180°－105°－45°＝30°，
设货轮每小时航行x
n
mile，则MN＝x，由正弦定理，得＝，
∵sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，∴x＝20(－)，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为.
解析：由A＝45°，C＝75°，知B＝60°.由正弦定理，得＝，所以BC＝·AC＝×＝.
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为.
解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，∴bccosA＝，
同理accosB＝，abcosC＝，∴原式＝＝.
15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝2或2.
解析：由S△ABC＝acsinB得sinB＝，∴B＝60°或120°.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a－c)2＋2ac－2accosB＝22＋2×48－2×48cosB，
∴b2＝52或148，即b＝2或2.
16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝60°.
解析：∵∠ADB＝120°，∴∠ADC＝60°，又S△ADC＝×AD×DC×sin∠ADC＝×2×DC×＝DC＝3－，∴DC＝2－2.∵BD＝DC，∴BD＝－1，得BC＝3－3.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos120°＝4＋3－2＋1＋4(－1)×＝6，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos60°＝4＋12－8＋4－8(－1)×＝24－12，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝＝，∴∠BAC＝60°.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sinAsinC＝，求C.
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.
18．(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)证明：由已知得sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC，∴sinBsin(A＋C)＝sinAsinC，
则sin2B＝sinAsinC，再由正弦定理，可得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
(2)若a＝1，c＝2，则b2＝ac＝2，∴cosB＝＝，∴sinB＝＝，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
19．(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.
故由题设知，cos∠CAD＝＝.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.
于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，＝.故BC＝＝＝3.
20．(本小题12分)在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝.
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
解：(1)由cosC＝，得sinC＝，sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝(cosC＋sinC)＝.
由正弦定理，得BC＝·sinA＝×＝3.
(2)由正弦定理，得AB＝·sinC＝×＝2.BD＝AB＝1.
由余弦定理，得CD＝＝
＝.
21．(本小题12分)如图，有一直径为8
m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝.
(1)若CE＝
m，求AE的长；
(2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积．
解：(1)由已知，点C在以AB为直径的半圆周上，所以△ACB为直角三角形，
因为AB＝8，∠ABC＝，所以∠A＝，AC＝4，
在△ACE中，CE2＝AC2＋AE2－2AC×AEcos∠A，且CE＝，所以13＝16＋AE2－4AE，
解得AE＝1或AE＝3.
(2)因为∠ACB＝，∠ECF＝，所以∠ACE＝α∈，
所以∠AFC＝π－∠A－∠ACF＝π－－＝－α，
在△ACF中，＝＝＝.
所以CF＝.
在△ACE中，＝＝，
所以CE＝.
若要产生最大经济价值，则△ECF的面积最大．
S△ECF＝CE×CFsin∠ECF＝＝，
因为α∈，所以0≤sin≤1，
所以当α＝时，S△ECF取得最大值，为4
m2，即种植甲种果树的面积为4
m2时，该空地产生的经济价值最大．
22．(本小题12分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，且△ABC的面积为.
(1)求∠BAC的大小及·的值；
(2)若AB＝4，求AD的长．
解：(1)在△ABC中，由AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，可得＝－＝cos∠BAC，故∠BAC＝120°.
因为S△ABC＝AB×AC×sin∠BAC＝×AB×AC×sin120°＝，
即×AB×AC×＝，所以AB×AC＝4.
所以·＝||×||×cos120°＝||×||×＝4×＝－2.
(2)由AB＝4，AB×AC＝4，得AC＝1.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝16＋1－2×4×1×＝21，
即BC＝，
所以cos∠ABC＝＝＝，
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD＝16＋－2×4××＝，得AD＝.
PAGE
7