习题课(1)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( B )
A．－1
B．1
C．3
D．7
解析：由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.
2．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( C )
A．a21和a22
B．a22和a23
C．a23和a24
D．a24和a25
解析：因为an＋1＝an－，所以数列{an}是等差数列，且公差为－，所以an＝15＋(n－1)·.因为a23＝，a24＝－，所以a23a24<0.
3．在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N＋，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量、、满足＝a1＋a2
015，且A、B、C三点共线且该直线不过O点，则S2
015等于( A )
A．1
007.5
B．2
015
C．1
006
D．2
014
解析：由an＋1＝an＋a，知数列{an}为等差数列，又A、B、C三点共线，故a1＋a2
015＝1，所以S2
015＝＝1
007.5.
4．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使Sn取得最小值的正整数n的值是( C )
A．4或5
B．5或6
C．6或7
D．7或8
解析：依题意得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．
5．已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( D )
A．11或12
B．12
C．13
D．12或13
解析：因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．
6．在等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为( C )
A．297
B．144
C．99
D．66
解析：∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝39，a3＋a6＋a9＝3a6＝27，即a4＝13，a6＝9.∴d＝－2，a1＝19.∴S9＝19×9＋×(－2)＝99.
7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( A )
A．13项
B．12项
C．11项
D．10项
解析：由a1＋a2＋a3＝34，an＋an－1＋an－2＝146，得a1＋an＝60，又Sn＝，代入得390＝，得n＝13.
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若数列{an}是等差数列，且a3<0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值( C )
A．恒为负数
B．恒为0
C．恒为正数
D．可正可负
解析：由f(x)是R上的奇函数，可知f(0)＝0.
由题意知x≥0时，f(x)<0；x<0时，f(x)>0
又数列{an}是等差数列，所以a1＋a5＝2a3<0，所以f(a3)>0.
由当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减．
又a1<－a5得f(a1)>f(－a5)＝－f(a5)，
即f(a1)＋f(a5)>0，故f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
9．等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝10.
解析：法1：S9＝S4，即＝，
所以9a5＝2(a1＋a4)，即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，所以d＝－，
由1－(k－1)＋1＋3·＝0，得k＝10.
法2：S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，所以k＝10.
10．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为3.
解析：由题意可得an＋an＋1＝5，∴an＋1＋an＋2＝5.∴an＋2－an＝0.∵a1＝2，∴a2＝5－a1＝3.∴当n为偶数时，an＝3；当n为奇数时，an＝2.∴a18＝3.
11．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.
解析：∵an＋1－an＝3为常数，∴{an}是等差数列．
an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.
∴an＝0时，n＝21；an>0时，n>21；an<0时，n<21.
∴S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30
＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30＝－2S21＋S30＝765.
三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)
12．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝112，求n.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵a5＝15，∴a1＋4d＝15. ①
∵a10＝25，∴a1＋9d＝25.
②
由①②得：a1＝7，d＝2.∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.
(2)∵Sn＝112，∴7n＋n(n－1)×2＝112.
即n2＋6n－112＝0，
解得n＝8或n＝－14(舍去)，故n＝8.
13．甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1
min走2
m，以后每分钟比前1
min多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1
min多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解：(1)设n
min后第一次相遇，
依题意，有2n＋＋5n＝70.
整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，或n＝－20(舍去)．
第一次相遇是在开始运动后7
min.
(2)设m
min后第二次相遇，
依题意有2m＋＋5m＝3×70，
整理得m2＋13m－6×70＝0.
解得m＝15，或m＝－28(舍去)．
∴第二次相遇是在开始运动后15
min.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)根据题意，得
整理得解得－∴d的取值范围是.
(2)法1：∵d<0，∴a1>a2>a3>a4>…>a12>a13>…，而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.∴数列{an}的前6项的和S6最大．
法2：∵a1＝12－2d，∴Sn＝n2＋n.
考查二次函数y＝x2＋x.
∵d<0，－＝－，∴当x＝－时，y有最大值．
∵－∵n∈N＋，∴当n＝6时，Sn最大，即数列的前6项和最大．
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3习题课(2)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( C )
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：a2·a6＝a＝16，选C.
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( B )
A.
B.
C.
D．2
解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，故a1＝＝＝.
3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为( D )
A．an－1
B．an
C．(n－1)a
D．na
解析：由题意得数列{an}是非零常数列，∴Sn＝na.
4．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( D )
A．Sn＝2an－1
B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an
D．Sn＝3－2an
解析：因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an，故选D.
5．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于( A )
A．(－2)n－1
B．－(－2)n－1
C．(－2)n
D．－(－2)n
解析：由a5＝－8a2，得公比q＝－2.又a5>a2，知a5>0，∴a1>0，∴a1＝1，∴an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( B )
A．2
B.
C.
D．3
解析：因为S4，S8－S4，S12－S8也成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，又S4＝S8，∴2＝S8(S12－S8)，∴S12＝S8，即＝.故选B.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝15，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为( B )
A.
B.
C．2
D．3
解析：在等差数列{an}中，由得a3＝3，a5＝2.
于是b3＝3，b5＝2，所以b7＝＝.
8．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于( C )
A．n·2n
B．(n－1)·2n－1－1
C．(n－1)·2n＋1
D．2n＋1
解析：∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，∴2n－1lgan＝2n－1lg10n＝n·2n－1，∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②
∴①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
9．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝2.
解析：设{an}的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.
所以a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，
所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.
又{an}为递增数列，则q＝2.
10．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝11.
解析：记b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b5＝a13＋a14＋a15，依题意{bn}构成等比数列，其首项b1＝1，公比为q＝＝－2，则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和S15＝＝11.
11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝11.
解析：由{an}为等比数列可知an≠0，∵an＋2＋an＋1－2an＝0，
∴q2＋q－2＝0，∴q＝1(舍)或q＝－2.∴S5＝＝11.
三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤．)
12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
∵a1≠0，∴2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，
∴Sn＝＝.
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
当n＝1时，符合上式．
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．
(1)求a1和a2的值；
(2)求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
(3)设cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)∵an是Sn与2的等差中项，∴Sn＝2an－2，
∴a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.
a1＋a2＝S2＝2a2－2，解得a2＝4.
(2)∵Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，
又Sn－Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)，∴an＝2an－2an－1，
∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N＋)，即数列{an}是等比数列．
∵a1＝2，∴an＝2n.∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，
∴bn－bn＋1＋2＝0，
∴bn＋1－bn＝2，即数列{bn}是等差数列．
又b1＝1，∴bn＝2n－1.
(3)∵cn＝(2n－1)2n，
∴Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，
∴2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.
因此－Tn＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1，
即－Tn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)·2n＋1，
∴Tn＝(2n－3)2n＋1＋6.
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