22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）
自主预习
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是
，对称轴是
，
（1）当a
时，开口向上，此时二次函数有最
值，当x
时，y随x的增大而增大，当x
时，y随x的增大而减小；
（2）当a
时，开口向下，此时二次函数有最
值，当x
时，y随x的增大而增大，当x
时，y随x的增大而减小．
2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝
.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
，顶点坐标是
.
3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：
如果a>0，当x<－，y随x的增大而
，当x>－，y随x的增大而
；如果a<0，当x<－，y随x的增而
，当x>－，y随x的增大而
.
4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为
，对称轴是直线
，顶点是
.
互动训练
知识点一：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
1．用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
2．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－4)2－2
3.
将下列二次函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．
(1)
y＝x2－3x＋21；
(2)
y＝－3x2－18x－22.
知识点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．
4．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为 ( )
A．(1,
1)
B．(－1,
1)
C．(1,
3)
D．(－1,
3)
5．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
6．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝－1
B．m＝3
C．m≤－1
D．m≥－1
7．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，P(8，y3)都在抛物线y＝－x2＋2x上，则下列结论正确的是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
8．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是( )
9．已知二次函数y＝－x2－2x＋6.
(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？
10.
用总长为60
m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
(1)S与l有何函数关系？
(2)怎样求S的最大值呢？
课时达标
1．抛物线y＝－3x2＋6x＋5的对称轴是( )
A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
2．将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为( )
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
3．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图象的对称轴是( )
A．直线x＝－3
B．直线x＝－2
C．直线x＝－1
D．直线x＝0
4．二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．
5．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2
，y3的大小关系是____________(用“<”连接)．
6．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并判断函数有最大值还是最小值．
(1)y＝x2－4x＋5；
(2)y＝－x2－x＋4；
(3)y＝－3x2－2x＋1；
(4)y＝－x2＋2x＋1.
7．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
拓展探究
1．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1
B．2
C．0或2
D．－1或2
2.
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）答案
自主预习
1.
(h，k)，x＝h，（1）
>0，
小，
＞h，
<0，大，2.
a2＋，x＝－，
3.
减小，增大；增大，减小.
4.
y＝－(x－2)2＋9，
x=2，（2，
9）.
互动训练
1.
B.
2.
D.
3.
解：(1)y＝x2－3x＋21＝(x2－12x)＋21＝(x2－12x＋36－36)＋21＝(x－6)2＋12
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.
(2)y＝－3x2－18x－22＝－3(x2＋6x)－22＝－3(x2＋6x＋9－9)－22＝－3(x＋3)2＋5
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.
4.
A.
5.
D.
6.
D.
7.
C.
8.
D.
9.
解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8，
∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.
(2)令y＝0得到－x2－2x＋6＝0，解得x＝－6或2，
∴观察图象可知，－6＜x＜2时，y＞0，
当x＞－2时，y随x的增大而减小．
10.
解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225
画出此函数的图象，
如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．
课时达标
1．C 2.D 3.B
4．7
5.y26．解：(1)∵y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.
∴开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,1)，y有最小值．
(2)∵y＝－x2－x＋4＝－(x＋3)2＋，
∴开口向下，对称轴为直线x＝－3，顶点坐标为，y有最大值．
(3)∵y＝－3x2－2x＋1＝－32＋，
∴开口向下，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为，y有最大值．
(4)∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－2)2＋3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,3)，y有最大值．
7.
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)，
∴当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．
(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴当点A在点B左侧时，A(1,0)，B(3,0)；
当点A在点B右侧时，A(3,0)，B(1,0)．∴AB＝＝2，
∴S△ABC＝AB·|yC|＝×2×1＝1.
拓展探究
1.
D.
解析：y＝x2－2x＋1＝
(x－1)2，该函数在实数范围内的最小值为0，但当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，因此，当x＝a或x＝a＋1时，函数值为1.令y＝1，
可得x1＝0，x2＝2，再由该函数的增减性可知a＋1＝0或a＝2，即a＝－1或2.故选D.
2.解：设该直角三角形的一条直角边为x，面积是S，则另一直角边为8－x.
根据题意，得S＝x(8－x)(0＜x＜8)，配方，得S＝－(x－4)2＋8.
∴当x＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）
自主预习
1.
已知正比例函数y=kx(k≠0)图象经过点（－2，6），则其函数关系式为
.
2.
已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象经过点（－2，6）,（1，3），则其函数关系式为
.
3．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是
．
4.
抛物线y=2(x－h)2+k的顶点坐标是（3,
5），该抛物线的解析式为
.
5.
抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=－3，与y轴交点为（0,
5），则b=
,
c=
.
互动训练
知识点一：用待定系数法确定二次函数解析式
1．过(－1,0)，(3,0)，(1,2)三点的抛物线的顶点坐标为( )
A．(1,2)
B．
C．(－1,5)
D．
2．已知抛物线的顶点坐标是(2,1)，且抛物线经过点(3,0)，则抛物线的解析式是( )
A．y＝－x2－4x－3
B．y＝－x2－4x＋3
C．y＝x2－4x－3
D．y＝－x2＋4x－3
3．已知A(0,
3)，B(2,
3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两点，则该抛物线的顶点坐标是
．
4.
已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．
5.
已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．
知识点二：多种方法确定二次函数的解析式
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是(
)
A．a<0
B．b>0
C．c>0
D．ac>0
6题图
7题图
8题图
9题图
7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为（
）
A.
0
B.
-1
C.1
D.2
8．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是
．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则此抛物线的解析式为
.
10.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－2,3)，且过点(－1,5)，求抛物线的解析式．
课时达标
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x>－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
2．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)
3．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3,0)，那么它的函数解析式是____________．
4．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
(1)图象经过点A(1,0)，B(0，－3)，对称轴是直线x＝2；
(2)图象的顶点是(－2,3)，且过点(1，－3)．
5．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1,0)，.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为A(－2，－5)，图象经过点(0，－1)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)把二次函数在第三象限内的部分图象记为图象G，若直线y＝n与图象G有且仅有1个交点，求n的取值范围．
拓展探究
1．如图，已知抛物线经过点A(－3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
1题图
22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）答案
自主预习
1.
y
=－3x.
2.
y
=－x+4.
3.
(3，11)
.
4.
y=2(x－3)2+5或y=2x2－12x+23.
5.
6,
5.
解析：由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=－3，得，-=-3，b=6,
由与y轴交点为（0,
5），得，c=5.
互动训练
1.
A.
2.
D.
3.
(1,
4)
4.
解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为其图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，
则有
解得
∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.
5.解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a＝－3，
∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
6.
D.
7.
A.
8.
-1.
解析：由图象知，与y轴交于点（0,0），则a2-1=0,
a
=1或a=-1,
又抛物线开口向下，则a＜0,
所以，a=-1.
9.
y=
-
2x2+4x+6
.解析：抛物线的对称轴为x=1,
与x轴交于点（3,0），还过点（，），列出方程组，解得：a=-2,
b=4,
c=6.
10.
解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3，把点(－1,5)的坐标代入，
得a(－1＋2)2＋3＝5，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3，即y＝2x2＋8x＋11.
课时达标
1．D.
2.
y＝2x2－1(答案不唯一)
3．y＝－x2＋2x＋3
4．解：(1)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意，得解得
∴函数的解析式为y＝－x2＋4x－3.
(2)∵图象的顶点为(－2,
3)，且经过点(1，－3)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.
把(1，－3)代入，得a(1＋2)2＋3＝－3，
解得a＝－，∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)2＋3.
5．解：(1)把(1,0)，代入抛物线的解析式，得
解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋.
(2)∵抛物线的解析式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，
∴可先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，解析式变为y＝－x2.
6．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为A(－2，－5)，∴设y＝a(x＋2)2－5.
又∵图象经过点(0，－1)，∴a(0＋2)2－5＝－1，解得a＝1，
∴
y＝(x＋2)2－5＝x2＋4x－1.
(2)∵y＝x2＋4x－1与y轴的交点为(0，－1)，结合图象，
直线y＝n与图象G有且仅有1个交点时，n＝－5或－1≤n<0.
拓展探究
1．解：(1)设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．根据题意，得
解得
∴此抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
（2）设P点横坐标为m，则其纵坐标为：-m2-2m+3,
所以,
S△PAB＝(－m2－3m)×3
＝－(m2＋3m)＝－2＋.
∴当m＝－时，S△PAB有最大值，此时点P的坐标为.
