人教版数学九年级上册：22.2　二次函数与一元二次方程 同步练习 （Word版 含答案）

22.2　二次函数与一元二次方程
1．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－1所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是________，________；
(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，
∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的公共点坐标是________和________．
图22－2－1
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－2所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　)
图22－2－2
A．x1＝－3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝1
C．x＝－3
D．x＝－2
3．若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为(　　)
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝
D．x1＝－4，x2＝0
4．已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m________时，抛物线与x轴有两个公共点；当m________时，抛物线与x轴有唯一公共点；当m________时，抛物线与x轴没有公共点．
5．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的公共点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
6．若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝________．
7．如图22－2－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是(　　)
图22－2－3
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
8．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的4组x，y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的取值范围是(　　)
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3.00＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
9．如图22－2－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(　　)
图22－2－4
A．－15 C．x<－1 D．x<－1或x>5
10．如图22－2－5，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____________．
图22－2－5
11．已知抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的一个公共点为(m，0)，则代数式m2－2m＋2021的值为(　　)
A．2018 B．2019
C．2020 D．2021
12．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象如图22－2－6所示，则下列结论正确的是(　　)
图22－2－6
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．－＝1
C．a＋b＋c＜0
D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
13．[2019·烟台] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
y
5
0
－4
－3
0
有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个公共点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2.其中正确结论的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
14．2018·河北对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则(　　)
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
15．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的公共点坐标为__________________________________．
16．2018·云南已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－)两点．
(1)求b，c的值．
(2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
17．如图22－2－7，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求直线AC的解析式；
(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB＝6，求点M的坐标；
(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B向A运动(不与点B，A重合)，同时点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A开始运动．设运动时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t之间的函数解析式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少．
图22－2－7
答案
1．(1)x1＝－3　x2＝1
(2)x1＝－2　x2＝－1　(－2，0)　(－1，0)
2．A　[解析] ∵抛物线与x轴的一个公共点是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，
∴抛物线与x轴的另一个公共点是(－3，0)．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.
3．A　[解析] 因为函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，其对称轴为y轴，所以它与x轴的另一公共点为(2，0)．根据二次函数与对应的一元二次方程的关系可得x－2＝－2或x－2＝2，解得x1＝0，x2＝4.
4．＜10　＝10　＞10
[解析] Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4(m－1)＝－4m＋40.
当Δ＞0，即－4m＋40＞0，m＜10时，
抛物线与x轴有两个公共点；
当Δ＝0，即－4m＋40＝0，m＝10时，
抛物线与x轴有唯一公共点；
当Δ<0，即－4m＋40<0，m＞10时，
抛物线与x轴没有公共点．
5．A
6．4　[解析] 二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，说明“Δ＝b2－4ac＝0”，即(－4)2－4×1·n＝0.所以n＝4.
7．D　[解析] ∵图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，
∴当x＝2.18时，y＝－0.51；
当x＝2.68时，y＝0.54.
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合．故选D.
8．C　[解析] 由表格看出，
当x＝3.24时，y＝－0.02，
当x＝3.25时，y＝0.03，
∴当y＝0时，3.24＜x＜3.25.
即方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的取值范围是3.24＜x＜3.25.
故选C.
9．D　[解析] 观察图象可知抛物线的对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴的一个公共点坐标是(5，0)．依据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一个公共点坐标为(－1，0)．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是x<－1或x＞5.故选D.
10．x＜－1或x＞4　[解析] 由函数图象可知：在点A的左侧和点B的右侧，一次函数的图象在二次函数的图象的上方．∵A(－1，p)，B(4，q)，∴关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是x＜－1或x＞4.
11．C　[解析] ∵抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的一个公共点为(m，0)．∴m2－2m＋1＝0.∴m2－2m＝－1.∴m2－2m＋2021＝－1＋2021＝2020.故选C.
12．D　[解析] (1)∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴－＞0.∴b＞0.∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴c＜0.可见选项A错误．
(2)∵对称轴在直线x＝1的右侧，∴－＞1.可见选项B错误．
(3)∵抛物线经过点(1，0)，∴当x＝1，y＝0，即a＋b＋c＝0.可见选项C错误．
(4)由图象可知，y的最大值是1，∴直线y＝－1与抛物线有两个公共点，即关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根．可见选项D正确．
综上所述，只有选项D中的结论是正确的，故选D.
13．B　14.D　
15．(1，0)，(5，0)　[解析] ∵关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个公共点坐标是(－1，0)，(3，0)．
抛物线y＝a(x＋m－2)2－3是将抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移2个单位长度得到的，
∴抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的公共点坐标是(1，0)，(5，0)．
16．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－)分别代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
(2)有．由(1)可得该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋3.
当y＝0时，－x2＋x＋3＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝()2－4×(－)×3＝＞0，
∴二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴有公共点．
∵－x2＋x＋3＝0的解为x1＝－2，x2＝8，∴公共点的坐标是(－2，0)，(8，0)．
17．解：(1)令－x2－2x＋3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1.
所以A(－3，0)，B(1，0)．
令x＝0，则y＝3，所以C(0，3)．
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b.由题意，得解得
所以直线AC的解析式为y＝x＋3.
(3)设点M的坐标为(x，－x2－2x＋3)．
因为A(－3，0)，B(1，0)，所以AB＝4.
因为点M在第二象限，所以－x2－2x＋3＞0.所以(－x2－2x＋3)×4＝6，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝－2.
所以yM＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3.
所以点M的坐标为(－2，3)．
(4)由题意，得BP＝t，AQ＝2t，则AP＝4－t.
因为AO＝3，CO＝3，
所以△AOC是等腰直角三角形．
因为点Q在射线AC上，且AQ＝2t，
所以点Q的纵坐标为t，
则S＝×t×(4－t)＝－t2＋2 t(0因为S＝－(t2－4t＋4－4)＝－(t－2)2＋2 ，所以当t＝2时，△APQ的面积最大，最大面积是2 .