人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 同步练习（word版含答案）

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式
1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是(　　)
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为(　　)
图22－1－27
A．y＝x2＋x＋1
B．y＝x2＋x－1
C．y＝x2－x－1
D．y＝x2－x＋1
3．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，则该抛物线的顶点坐标是________．
4．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设D是抛物线上一点，且点D的横坐标为－2，求△AOD的面积．
5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为(　　)
图22－1－28
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
6．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)
7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．
8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为(　　)
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1
9．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数解析式是(　　)
x
－1
0
1
ax2
1
ax2＋bx＋c
8
3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
10．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．
图22－1－29
11．如果抛物线y＝(k＋1)x2＋x－k2＋2与y轴的交点坐标为(0，1)，那么k的值是__________．
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________．
13.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，(0，)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．
14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A与点B)，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
图22－1－30
15．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．
图22－1－31
16．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．
17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．
答案
1．D　[解析] 设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得
∴该函数的解析式为y＝x2－3x＋2.
2．C　[解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得解得
所以这个二次函数的解析式是y＝x2－x－1.故选C.
3．(1，4)
4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得则抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)把x＝－2代入抛物线的解析式，得y＝5，即D(－2，5)．
∵A(3，0)，即OA＝3，∴S△AOD＝×3×5＝.
5．D　[解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)，
所以设抛物线的函数解析式是y＝a(x－1)2－8.
因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，
所以0＝a(3－1)2－8，解得a＝2.
所以这个二次函数的解析式为y＝2(x－1)2－8.
6．答案不唯一，如y＝2x2－1　[解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y＝ax2－1.
又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0.
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2－1(答案不唯一)．
7．解：∵当x＝3时，函数有最大值4，
∴函数图象的顶点坐标为(3，4)．
故设此函数的解析式是y＝a(x－3)2＋4.
再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a＝－7.
故二次函数的解析式是y＝－7(x－3)2＋4，
即y＝－7x2＋42x－59.
8．C　[解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y＝a(x＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，所以a＝，所以该抛物线的函数解析式是y＝(x＋2)2＋1.
9．A　[解析] ∵当x＝1时，ax2＝1，∴a＝1.
将(－1，8)，(0，3)分别代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴y与x之间的函数解析式是y＝x2－4x＋3.故选A.
10．y＝－x2＋2x＋3　[解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x＝1，与y轴交于点(0，3)，与x轴交于点(－1，0)，设其解析式为y＝ax2＋bx＋c，则解得
故二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
11．1　[解析] ∵抛物线y＝(k＋1)x2＋x－k2＋2与y轴的交点坐标为(0，1)，
∴－k2＋2＝1.解得k＝±1.
又∵k＋1≠0，∴k＝1.故答案为1.
12．y＝x2＋2x或y＝－x2＋x
[解析] ∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)，
①若这个交点坐标为(－4，0)，
则解得
∴该二次函数的解析式为y＝x2＋2x；
②若这个交点坐标为(4，0)，
则解得
∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋x.
故这个二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝－x2＋x.
13．解：(1)把(1，0)，(0，)代入抛物线的解析式得解得
则抛物线的函数解析式为y＝－x2－x＋.
(2)y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，
可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y＝－x2.
14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝－1且经过点A(－3，0)，
∴抛物线还经过点(1，0)．
设抛物线的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋3)．
把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a＝－1.
∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3.
(2)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b.
∵A(－3，0)，B(0，3)，
∴解得
∴直线AB的函数解析式为y＝x＋3.
过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M.
设P(x，－x2－2x＋3)，则M(x，x＋3)，
∴PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x.
∴S△PAB＝(－x2－3x)×3＝－(x＋)2＋.
∴当x＝－时，S△PAB有最大值，为，此时yP＝－(－)2－2×(－)＋3＝，
∴△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为(－，)．
15．解：(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1，4)，
∴设二次函数的顶点式为y＝a(x－1)2＋4.
把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4.
解得a＝－1.
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
令x＝0，则y＝3，∴点D的坐标为(0，3)．
设直线BD的解析式为y＝mx＋n，把B(3，0)，D(0，3)代入，得
解得
∴直线BD的解析式为y＝－x＋3.
(2)设点P的横坐标为x，则点P的坐标为(x，－x＋3)，点M的坐标为(x，－x2＋2x＋3)．
∵点P在第一象限，
∴线段PM的长为yM－yP＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋.
∴当x＝时，线段PM的长有最大值，最大值是.
16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入y＝ax2＋bx中，得
解得
∴抛物线C的函数解析式为y＝－x2－4x.
17．解：设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋k.
代入A，B两点的坐标，得
解得
所以此抛物线的函数解析式为y＝－(x＋2)2＋9，即y＝－x2－4x＋5.