人教版 七年级数学上册 4.3.3 《余角和补角》 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第四章
几何图形初步
4.3.3
余角和补角
学习目标
1.了解余角、补角的概念．
2.掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决一些简单的实际问题．
3.通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化．
4.方位角的定义与应用．
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，
其中∠FDC=90?，那么各个角与∠1有什么关系？
问题情境
有的角与∠1的和等于90?，例如（
）；
∠ADC
有的角与∠1的和等于180?，例如（　
）．
∠ADF
A
C
B
E
D
F
1
2
问题情境
　　
在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是多少呢？
30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°.
如果两个角的和等于90?（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
即：若∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
探究新知
余角的定义
补角定义
　　
如果两个角的和等于180?（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
即：若∠3＋∠4＝180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.
定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）．
探究新知
　∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有什么关系？　　
探究余角和补角的性质
　　
因为∠1与∠2和∠3都互为补角，
　　所以∠2＝180?－∠1，∠3＝180?－∠1．
　　所以∠2＝∠3.
探究新知
4
2
　
已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4
相等吗？为什么？
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180?，所以
∠2＝180?－∠1.
由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180?，所以∠4=180?－∠3.
又因为∠1＝∠3，所以180?－∠1＝180?－∠3，
所以∠2＝∠4.
1
3
探究新知
探究新知
对于余角是否也有类似性质？
　∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2和∠3的大小有什么关系？　　
　
因为∠1与∠2和∠3都互为余角，
　所以∠2＝90?－∠1，∠3＝90?－∠1．
　　所以∠2＝∠3.
等角
的余角相等.
归纳：补角的性质：
等角
的补角相等.
余角的性质：
（同角）
（同角）
探究新知
　
　海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线，并画出示意图吗？
可疑船
缉私艇
B
A
探究新知
探究新知
在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到用方位角描述一个物体的方位，那么什么叫做方位角？如何用方位角描述方向呢？
方位角是表示方向的角，以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向，如北偏西30°，南偏东25°.
北
东
南
西
A
67°
北偏东67°
可疑船
缉私艇
B
A
探究新知
海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线吗？
画出示意图.
　　做一做：　如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
60
°
北
西
南
东
O
A
探究新知
O
东
南
西
北
60°
　　射线OA的方向就是南偏东60°，即灯塔A所在的方向．
　　射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向．
40°
10°
　　射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向．
　　射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向．
45°
A
B
D
C
探究新知
用方位角确定物体的画法步骤：
①先找出中心点，然后画出方向指标；
②把中心点和目的地用线连接起来；
③度量向北的射线和视线（中心点和目的地的连线）夹角.
探究新知
　　例1.　如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和
∠BOC，图中哪些角互为余角？
典型例题
解：因为A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC
，∠BOC，
＝90°．
所以，
∠COD
和∠COE互为余角，
同理，
∠AOD
和∠BOE，
∠AOD和∠COE
，
∠COD和∠BOE也互为余角．
所以∠COD
+∠COE＝
∠AOC＋
∠BOC
＝
(∠AOC＋
∠BOC)
典型例题
例2．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
10°与80°，30°与60°互为余角；
10°与170°，30°与150°，60°与120°，80°与100°互为补角．
典型例题
例3.
一个角是70°39′，求它的余角和补角.
解：它的余角是90°－70°39′＝19°21′；
　　它的补角是180°－70°39′＝109°21′.
例4.
∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：由180°－
∠α＝3
∠α，
解得∠α＝45°.
典型例题
　　例5
.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．
解：设这个角为x，则它的补角为180°－x，
　　它的余角为90°－x．于是就有
　　180°－x=3（90°－
x）．
　　解得：x=45°．
典型例题
例
6．（1）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（
　）
D
典型例题
（2）如图所示，射线OA表示
方向，
射线OB表示
方向.
北偏西70°
南偏东15°
70°
B
15°
北
西
南
东
O
A
典型例题
课堂练习
1．已知∠α的补角是125°，则∠α的度数是（
）．
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
2．下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中，正确的说法有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．一个角为35°39′，则这个角的余角为________，补角为________．
A
B
54°21′
144°21′
课堂练习
4．一个角的补角加上24°，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°，依题意，得：
180－x＋24＝5x．
解得：x＝34．
所以这个角的度数是34°．
课堂练习
5．如图，E，D，F在同一直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2．
（1）∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
（2）∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
解：（1）∠ADC＝∠BDC．
理由：因为∠CDF＝∠EDF－∠CDF＝180°－90°＝90°，
所以∠2＋∠BDC＝∠CDF＝90°．
又因为∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，
且∠1＝∠2，
所以∠ADC＝∠BDC．
课堂练习
（2）∠ADF＝∠BDE．
理由：因为∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，
又因为∠1＝∠2，
所以∠ADF＝∠BDE．
课堂练习
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
互余
互补
相等
相等
课堂练习
7．（1）互余且相等的两个角，各是多少度？
（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？
45°
90°
8．如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东25°；
（2）北偏西60°.
解：如图所示，
OB表示南偏东25°，
OC表示北偏西60°.
C
B
25°
60°
30°
北
西
南
东
O
A
课堂练习
　　
1.余角的定义：
　　一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
　　2.补角的定义：
　　如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其
中一个角是另一个角的补角.
　　3.余角与补角的性质：
　　同角（等角）的补角相等；
　　同角（等角）的余角相等.
4.方位角
课堂小结
课堂小结
本图片资源介绍了两角互余与互补的概念及余（补）角的性质，适用于余角和补角的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】互余与互补.
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课堂小结
本图片资源讲解了方位角的概念及相关知识，加深了对方位角及相关知识的理解，适用于方位角的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】方位角.
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再见