第一章：空间几何体
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？
请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3．课本P8，习题1.1 A组第1题。
4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
四、巩固深化
练习：课本P7 练习1、2（1）（2）
课本P8 习题1.1 第2、3、4题
五、归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
六、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题
1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图
难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比
2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
3．三视图与几何体之间的相互转化。
（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？
（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）研探新知
1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
练习反馈
根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
3．探求空间几何体的直观图的画法
（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。
4．平行投影与中心投影
投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。
5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4
三、归纳整理
学生回顾斜二测画法的关键与步骤
四、作业
1．书画作业，课本P17 练习第5题
2．课外思考 课本P16，探究（1）（2）
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算
难点：台体体积公式的推导
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪
四、教学设想
1、创设情境
（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知
（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:
r1为上底半径 r为下底半径 l为母线长
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：
（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
4、例题分析讲解
（课本）例1、 例2、 例3
5、巩固深化、反馈矫正
教师投影练习
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。 （答案：）
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm3）
6、课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
7、评价设计
习题1.3 A组1.3
§1.3.2 球的体积和表面积
教学目标
知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分
割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
学法和教学用具
学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
教学用具：投影仪
教学设计
创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。
如图：
得
第二步：求和
第三步：化为准确的和
当n→∞时， →0 （同学们讨论得出）
所以
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）
典例分析
课本P47 例4和P29例5
巩固深化、反馈矫正
⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案： ； 3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
评价设计
作业 P30 练习1、3 ，B（1）
第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学思想
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）
课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
6、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
7、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（投影片）
例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题
（投影）
让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教材P49 练习1、2
充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
例4（投影）
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为
α∥β α∩β= L
教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究
让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解
教材P51 练习
学生独立完成后教师检查、指导
（三）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第5题
§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、投影问题
直线a与平面α平行吗？
若α内有直线b与a平行，
那么α与a的位置关系如何？
是否可以保证直线a与平面α平行？
学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成
该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维
练习：教材第57页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。
（四）归纳整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
1、问题：
（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置
第65页习题2.2 A组第7题。
§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生
共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。
定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、例5
以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
（三）自主学习、巩固知识
练习：课本第63页
学生独立完成，教师进行纠正。
（四）归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业
课本第65页 习题2.2 A组第6题。
§2.3.1直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。
L
p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？
§2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角 二面角
图形 A 边 顶点 O 边 B A 梭 l βB α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3 图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？
§2、3.3直线与平面垂直的性质
§2、3.4平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
图2.3-4 图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固
例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么位置关系？
（六）归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
本章小结
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法
利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图
（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B组第2题。
D
C
B
A
α
α
β
α
β
·B
·B
·A
α
L
A
·
α
C
·
B
·
A
·
α
P
·
α
L
β
共面直线
=>a∥c
α
β
L
α
β
α
a
α
a
b
C1
D1
a
b
A1
B1
α
D
C
A
B
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
平面与平面平行
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面垂直
直线与直线垂直
直线与平面垂直直线的倾斜角和斜率(3.1.1)
教学目标:
知识与技能
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
理解直线的倾斜角的唯一性.
理解直线的斜率的存在性.
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
的倾斜角α相等吗 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)
所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1), 可作直线a.
同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
(八)板书设计:
§3.1.1……
1．直线倾斜角的概念 3.例1…… 练习1 练习3
2. 直线的斜率
4.例2…… 练习2 练习4第10课时 异面直线（一）
教学目标：
会用图形表示两条直线异面，理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围；会用平移转换法求异面直线所成的角，理解异面直线公垂线的定义，掌握异面直线间距离的概念；会求已给出公垂线的两异面直线间的距离；培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；通过本节内容的学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
异面直线所成角的定义、范围、计算，异面直线间距离的定义与计算.
教学难点：
异面直线所成角的计算，异面直线间距离的计算.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容，今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
［师］前面我们学习空间两条直线的位置关系时，讨论了异面直线，并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时，怎样显示它们不共面的特点呢？常用的方法有下列几种：
这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意：
这样表示a、b异面正确吗？
［生］不正确.直观上看aα，bβ，似乎分别在不同的
平面内，但从图形上可看出，a、b有与两平面α、β的交线都平
行的可能，这样a与b就平行，它们完全有可能在新的平面γ内，
所以这样画容易给人造成误解.
［师］好！画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义.
［师］如图(1)，直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，使a′∥a、b′∥b(边记边作)，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.据此，我们给出异面直线所成角的定义(板书).
定义：过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
［师］由于点O是任意的，大家说这样作出的角有多少个？
［生］无数个.
［师］这无数个锐角(或直角)的大小有什么关系？
(学生中没有人马上回答，似乎还存在着什么困惑)
［师］把我们得到角的方法，用我们前面学过的知识分析一下.
(生恍然大悟，不是不会答大小有什么关系，而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系).
［生］这无数个锐角(或直角)相等.
［师］为什么？
［生］这无数个锐角(或直角)中，每个角的两边都分别平行于a、b，据平行公理，这无数个锐角(或直角)每个角的两边都分别平行，依据等角定理的推论，这无数个锐角(或直角)相等.
［师］很好！通过上面的讨论，再认真分析定义，我们可以得出如下的结论：
①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，］；
③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；
④找两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；
⑤当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b;
⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.
(上面每一条都要摘要作出板书)
［师］为了加深对这一概念的理解与认识，请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.
［生］课本图中的六角螺母的棱AB和CD所在的直线成的角，或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角，都是异面直线所成的角.
［生］教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角.
［生］正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.
［师］好.同学们再来考虑这样的问题：空间三条直线a、b、c，若a⊥c、b⊥c，则a、b是怎样的位置关系.
［生］a、b平行.
［师］还有吗？请同学拿出竹签，每两人一组，对照正方体模型实际摆一摆.
(同学动手摆弄，讨论)
［生］a、b可能相交，a、b也可能异面.
［师］好！在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.在空间，垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.当a、b异面时，同学们再摆摆看，与a、b都垂直的直线有几条？与a、b都相交的直线有几条？与a、b既垂直又相交的直线有几条？
(生摆弄以后回答)
［生］与a、b都垂直的直线有无数条，与a、b都相交的直线也有无数条，与a、b既垂直又相交的直线有且只有一条.
［师］好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书)
注意：从定义可看出，两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交，“垂直”“相交”两条缺一不可(板书).与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线，与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线，对于两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条.
［师］两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做两条异面直线的距离.(板书).
对于确定的两条异面直线，它们所成的角是确定的，它们的公垂线是确定的，它们的距离也是完全确定的.
［师］下面我们来看个例子
设图中正方体的棱长为a.
(1)求直线BA′和CC′所成角的大小；
(2)求异面直线BC和AA′的距离.
注意：求异面直线所成角的大小，关键是选择恰当的点，通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，成为平面问题去求解；求两异面直线的距离，就是求两异面直线的公垂线段的长.
分析：因为BB′∥CC′，所以∠A′BB′就是异面直线
BA′与CC′所成的角，因为AA′与AB垂直相交，BC与AB也
垂直相交，所以AB是异面直线AA′和BC的公垂线，AB的长就是
异面直线AA′与BC的距离.
解：(1)∵CC′∥BB′
∴BB′和BA′所成的锐角，
即∠A′BB′就是异面直线BA′和CC′所成的角(解题过程中，这句表述不能少).
∵∠A′BB′＝45°，
∴BA′与CC′所成的角是45°.
(2)
BC和AA′的距离是a.
Ⅲ.课堂练习
课本P28练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围，两异面直线的公垂线的定义，两异面直线间的距离.概念比较多，同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会，认真掌握，两异面直线所成的角，两异面直线间的距离，这两部分内容，在空间图形中的位置是相当重要的，在高考中也是经常涉及到的，同学们一定要予以高度重视，对于角与距离的求法，要多练习，才能掌握好，相信我们每个同学都会学得很好.
Ⅴ.课后作业
课本P28习题 5，8，9.
思考与练习
一、选择题
1.下列命题中，正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线
D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线
答案：C
2.已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：B
3.直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：C
4.异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：D
5.若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是( )
A.1 B.最多为1 C.2 D.1或2
答案：B
6.已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是( )
A.平行或相交 B.异面
C.平行或相交或异面 D.相交或异面
答案：C
7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A.A1B与D1C是距离为a的异面直线
B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1
C.异面直线AA1与BC的公垂线是a
D.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a
答案：D
二、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与BD1成异面直线的有_________条.
答案：6
2.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q是相应棱的中点，则
(1)MN与PQ的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(2)MN与B1D的位置关系是_________，它们所成的角是_________.
(3)异面直线MN与B1D1间的距离为______.
答案：(1)相交 60° (2)异面 90° (3)a
3.在空间四边形ABCD中，对角线AC＝BD＝2a，M、N分别
是边AB、CD的中点，若MN＝a，则AC和BD所成的角
为______，MN和AC所成的角为______.
答案： 90° 45°
4.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M是DC的中点，AD＝AA1＝，AB＝2，那么
(1)AA1与BC1所成角的度数是_____；
(2)DA1与BC1所成角的度数是_____；
(3)BC1与D1M所成角的余弦是_____. 答案：(1)45° (2)90° (3)
5.在空间四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，若AC＝6，BD＝4，M、N分别是AB、CD的中点，则MN＝______，MN与BD所成角的正切值为______.
答案：
6.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在边CD上移动，则点P和点Q的最短距离为_________.
答案：
7.如图，空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH与FG间的距离为_________.
答案： 8 cm第17课时 直线与平面垂直的判定和性质（二）
教学目标：
使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。
教学重点：
直线和平面垂直的性质。
教学难点：
性质定理的证明、等价转化思想的渗透。
教学过程：
1．复习回顾：
1.判定直线和平面垂直的方法有几种？
［生］定义，例1的结论、判定定理.
2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.
若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定.
2．讲授新课：
［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
下面先思考一个问题：
例1：已知:a⊥α，b⊥α. 求证：b∥a.
［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.
在师的指导下，学生尝试证明，待后给出过程.
证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与
直线a平行的直线
∵a∥b′，a⊥α ∴b′⊥α
即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的，
因此，b∥a.
有了上述证明，师生可共同得到结论：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.
［师］下面给出点到面的距离.
从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.
应明白，点到面的距离是一线段.
同学思考例2、考虑其证法，特别是其转化的思想.
例2：已知一条直线l和一个平面α平行，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
生依题思考片刻，师可指导生找解题途径.
［师］要证明结论，需说明其上任两点到面距离相等即可，而这两条相等的线段若是能使其夹在两平行线间最好，为此，去作辅助面完成证明.
证明：经过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线
AA′，BB′，垂足分别为A′、B′.
因AA′⊥α，BB′⊥α???∴AA′∥BB′
设经过AA′和BB′的平面为β，β∩α＝A′B′
∵l∥α????∴l∥A′B′????????∴AA′＝BB′
由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
以上证明生在师指导下完成.
［师］从整个证明过程能否看出转化思想渗透.
在教师的指导下：
［生］从证明过程看出，这是一道空间图形的问题，问题的求解关键是利用辅助面β，平面β起了一个桥梁作用，它将空间问题转化为平面问题，即在同一平面内（β），解决平行线间的平行线段相等问题，这就容易多啦.
［师］说的很好，许多空间问题都需这样转化为平面问题，在以后的学习中，大家不妨体会该思想、感悟其意图，
其次由该题可得下面结论.
一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
而线面距离也是通过转化为点面距离而完成的.
例3：如图，已知AC＝AB＝BD，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC和BD所成的角为600，求AB和CD所成的角。
解：分别作BE∥CD，CE∥BD，BE、CE相交于E，
连结AE
∵BD⊥AB，CE∥BD
∴AB⊥CE，又AC⊥AB
∴AB⊥平面ACE，得AB⊥AE
∵AC＝BD，CE＝BD ∴AC＝CE
又∠ACE＝600， ∴△ACE是正三角形
得AC＝AE，又AC＝AB
∴AB＝AE，得所求角为450。
另：当∠ACE＝1200时，所求角为600。
3．课堂练习：
?（一）P35 练习3.???
（二）补充练习
1）已知直线a、b、c和平面β，则a∥b的充分条件是 （ ）
A．a∥β，b∥β B．a⊥β,b⊥β
C．a⊥c，b⊥c D．a与c，b与c所成角相等
2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线?与平面α的关系是 （ ）
?A.平行?? B.垂直????C.在α内 D.不确定
3）如果平面外一直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平?面的位置关系是 （ ）
?A.平行??? B.相交????C.平行或相交 D.一定垂直
4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，
求平行直线AB与CD之间的距离.
解答：
1.排除法找满足题意的选择支B
［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也
可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.
对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C.
对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.
且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B.
而B利用性质定理可验证其正确.］
2.此题也可用排除法找到正确选择支B
［满足题目的线段，其一个端点在平面外，故A、C应排除，因该线不会和平面又平行，也不会在平面α内，而满足OA最短的线只有一条，故应选B，或依平面外一点和平面内各点的连线垂线段最短，从而选B.］
3.利用分类讨论找选择支C
［平面外的直线上有两点到这个平面的距离相等，这条直线和这个平面的位置取决于点与平面的关系，与这两点在平面的同侧时，直线和平面平行，当这两点在平面的异侧时，直线和平面相交.］
4.［此题的解决主要是充分利用直线和平面垂直判定及平行线间的距离完成.］
解：因ABEF及EFCD都是矩形，故应有
EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E 故EF⊥面BEC
而AB∥EF，CD∥EF 则AB⊥面BEC，CD⊥面BEC
BC面BEC 那么 AB⊥BC，CD⊥BC
BC就是AB与CD间的距离
BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9 即BC＝3.
4．课时小结：
1.能正确利用性质定理解题.
2.等价转化思想在线面距离?点面距离中的渗透.
5．课后作业：
课本P38 习题第5，7，8，9题.第23课时 二 面 角
教学目标：
使学生正确理解二面角及二面角的平面角；通过概念教学，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角，体现由具体到抽象思想。
教学重点：
二面角的平面角。
教学难点：
求作二面角的平面角。
教学过程：
1．复习回顾：
两个平面平行的判定有哪几种方法？各种方法应具备条件是什么？
两个平面平行的性质有哪些？如何利用性质解决问题？
这一部分中等价转化思想体现在哪里？
2．讲授新课：
1.二面角
［师］两个平面的位置关系包括相交、平行两种，两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.
而两个相交平面的相对位置由这两个平面所成的“角”来确定.
修筑水坝，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度（如图）。
还有教材中人造地球卫星的发射，需卫星轨道平面和地球赤道平
面成一定的角度.
请同学们再举出生活中例子说明结论.
那就是：为了解决实际问题，需研究两个平面所成的角.
［师］请同学归纳总结二面角的概念.（可与平面角概念对比）
二面角的概念
（1）半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.
（2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫二面角的棱，
这两个半平面叫二面角的面.
［师］（3）常用直立式和平卧式两种（教师和学生共同动手）
直立式： 平卧式：
［生］（4）二面角的表示
在上图（1）中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α—AB—β.
有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P—AB—Q.
如果棱为l，则这个二面角记作α—l—β或P—l—Q.
［师］进一步研究图（2）中∠AOB与∠A′O′B′的大小.
在二面角α—l—β的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角
∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′,OB∥O′B′,∠AOB和∠A′O′B′关系如何？
［生］由OA∥O′A′，OB∥O′B′可知
∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同.
即∠AOB=∠A′O′B′
［师］结论说明了什么问题？
［生］按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.
［师］由此结果引出二面角的平面角概念.
（5）二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
上图（2）中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角.
前边举过门和门所在墙的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.
二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.
本书中规定二面角的大小范围为0°~180°.
当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.
［师］若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角.
除教材例外，举出一个二面角为直二面角的例子.
［生］教室相邻墙构成的二面角就是直二面角.
如图DD1⊥A1D1，DD1⊥D1C1
∴∠A1D1C1为二面角A1—D1D—C1的平面角
∵∠A1D1C1=90°
∴该二面角为一直二面角.
［师］在作图时注意两种情形.
（1）它是一个“平面角”，它的两边必须在同一
平面内，AB、CD虽各在两个平面内，且都垂直于棱，
但不在同一平面内，所以AB和CD不成平面角.
（2）二面角的平面角的两边必须都与棱垂直，∠ABC的顶点虽在棱上，两边也分别在两个半平面内，但BC不与棱垂直，所以∠ABC不是二面角的平面角.
下面阅读例1，并简要分析
例1：河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）
分析：人升高了多少？实质上就是求人所在位置到水
平面距离，问题就转化为解
Rt△EFG，而直角三角形的求解靠二面角平面
角来完成，找二面角的平面角就成为关键.
解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线
AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连结FG.
则FG⊥AB
即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角.
∠EFG=60°,
由此得EG=EFsin60°
=CEsin30°sin60°=10×
=2.5≈4.3（m）.
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
［师］学生思考问题.
两条相交直线对顶角相等.
两个平面相交时，形成一些二面角，其中有些二面角有类似对顶角的位置关系，
二面角α—ΑΒ—β和二面角α′—AB—β′相等.
这样的两个二面角有公共的棱
它们的面合在一起恰是两个相交平面.
具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.
但二面角α—AB—β和二面角β—AB—α′是互补的.
例2：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。
解：作AC⊥l于c，连结BC
∵PA⊥α，lα ∴PA⊥l
又AC⊥l，AC∩PA＝A
∴l⊥平面PAC ∴l⊥PC
∵PB⊥β，lβ ∴PB⊥l
又PB∩PC＝P ∴l⊥平面PBC
∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC
∴∠ACB就是所求的二面角
△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7 ∴∠P＝600
∴∠ACB＝1200
3．课堂练习：
课本P47 练习1.
4．课时小结：
1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念；
2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义.
5．课后作业：
（一）课本P47 习题 1~7.
（二）预习：
如何判定两个平面垂直？两个平面垂直后具有什么性质？
备课资料
一、求作二面角的平面角
求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：
1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.
2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.
3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.
［例1］（2002年高考试题江苏卷）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD其棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径.
证法一：利用定义法
经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE
因底是正方形，故CD＝DA
△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°
则CE⊥PD
故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角
设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC
因 OA＝×a＝a，AE＜AD＜a
cos∠AEC＝＝＜0
所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
证法二：运用三垂线法
∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB
∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD
过B作BE⊥PA则BE⊥面PAD
在面PBC内作PGBC，连GD
经C作CF⊥面PAD于F
那么连结EF，有EF AD
经F作FG⊥PD于H，连CH
则∠FGH是所求二面角平面角的补角
因CF⊥FH，故∠FHC是锐角
则面PAD与面PCD所成二面角大于90°
此结论证明过程中与棱锥高无关.
证法三：利用垂面法找平面角.
在证法一所给图形中
连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD
∴AC⊥PD
经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE
即PD⊥CE
故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角
以下同证法一.
评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得，证法二用的是三垂线法，关键在找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透立体几何的割补法求解问题，证法三是利用作垂直于棱的垂面，找交线是主要的.
二、用面积法求解二面角问题［面积射影］
在运用上述方法找二面角的平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式cosθ＝，θ是二面角的大小，S′是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积.
［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.
解：△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC
因E点射影为A，B1点射影为B
设正方体棱长为a
则S△ABC＝a2
又在△EB1C中，
B1E＝ a，B1C＝a，EC＝a
故cos∠B1EC＝
∴sin∠B1EC＝
∴
设面MB1C和面ABCD所成的二面角为θ
则cosθ＝
那么所求二面角的大小为arccos.
评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.S′＝S△ABC ，S＝S.圆与方程预习提纲
1．圆的标准方程：
2．圆的一般方程：
3．直线与圆的位置关系的判断：
4．圆与圆的位置关系的判断：
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：
a＝＝5，b＝＝6
再根据两点的距离公式，得圆的半径是：
r＝︱CP1︱＝＝
∴所求圆的方程是：（x－5）2 +（y－6）2 ＝10
∵︱CM︱＝，︱CN︱＝＞，︱CQ︱＝3＜
∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6
∴两圆相交
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
解：设圆的方程为 （x－a）2 +（y－b）2 ＝r 2
则：（3－a）2 +（1－b）2 ＝r 2，（－1－a）2 +（3－b）2 ＝r 2，3a－b－2 ＝0
解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）
则 kAB＝＝－
所以，线段AB的垂直平分线方程为：
y－2＝2（x－1） 即：2x－y＝0
由
得圆心坐标为C（2，4）， 又r＝︱AC︱＝
∴圆的方程是：（x－2）2 +（y－4）2 ＝10
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
解：设圆心坐标为C（x 0，y 0），则
eq \b\lc\{(\a\al( ·（－）＝－1,（x 0－10）2 +（y 0－10）2 ＝100))
解得：x 0＝2，y 0＝4或x 0＝18，y 0＝16
∴所求圆的方程是：
（x－2）2 +（y－4）2 ＝100或（x－18）2 +（y－16）2 ＝100
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，
于是k=－ .
经过点M的切线方程是：
整理得：
因为点M（x0，,y0）在圆上，所以
所求切线方程为：
当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
解法一：设切线方程为 y－4＝k(x－2) 即 kx－y＋4－2k＝0
由 得：
（k 2＋1）x 2＋4k（2－k）x＋4k 2－16k＋12＝0
由△＝0得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法二：设切线方程为 kx－y＋4－2k＝0
则：＝2 得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法三：设切点为（x 0，y 0），则：
x 0x＋y0y＝4 ∴2x 0＋4y0＝4
又：x02 + y02＝4
∴x 0＝2，y 0＝0 或x 0＝－，y 0＝
得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点
则有l1：＋= 1，l2：＋= 1
得：b＝，b′＝
∴bb′＝·＝4
x2 + y2 ＝4（y≠0）
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
解：设圆心C（3a，a）
∵圆与y轴相切 ∴r＝3︱a︱
又：︱CD︱＝＝︱a︱ ︱BD︱＝︱AB︱＝
由勾股定理得：a＝±1
∴所求圆的方程为：
（x＋3）2 +（y＋1）2 ＝9或（x－3）2 +（y－1）2 ＝9
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为
用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得
解得
于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0
化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52
所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）
说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.
由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ①
将①式两边平方，得
化简得x2+y2+2x－3=0 ②
化为标准形式得：（x+1）2+y2=4
所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为
圆心，2为半径的圆。
说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一直线；
当a≠－1时，（x－）2 +（y＋）2 ＝表示圆。
（2）方程变形为：x2 + y2－4x ＋a（x2 + y2 + 8y）＝0
∴C过定点A（0，0），B（，－）
（3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？）
得圆的方程：（x－）2 +（y＋）2 ＝
∴＝，＝，＝
解得：a＝
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
解：（1）当P在圆内，即a2 + b2＜1时，无切线方程；
（2）当P在圆上，即a2 + b2＝1时，方程为：ax＋by＝1；
（3）当P在圆外，即a2 + b2＞1时，设直线方程为 y－b＝k（x－a），
即 kx－y－ka＋b＝0
由d＝＝1，得
（a 2－1）k 2－2abk＋b2－1＝0
当a≠±1时，k＝；当a＝±1时，k＝±
∴当a≠±1时，y－b＝(x－a)
当a＝1时，y－b＝ (x－1)或x＝1
当a＝－1时，y－b＝－ (x＋1)或x＝－1
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
解：（1）设所求方程为：y＝－x＋b，圆的方程可化为：
（x－2）2＋（y－1）2＝25
∴圆心C（2，1），半径r＝5
圆心到直线的距离为：d＝＝＝3
∴ b＝－或b＝
所求直线方程为：y＝－x－或y＝－x＋
即：4x＋3y＋4＝0或4x＋3y－26＝0
（2）解法一：设l′∥l且l′与圆相切，则所述距离即为l′与l间的距离，切点即为所求点。
设l′：4x＋3y＋m＝0 则由：
得：
25x 2＋4（2m－3）x＋m 2＋6m－180＝0
△＝16（2m－3）2－100（m 2＋6m－180）＝0
得：m＝14或m＝－36
又：x＝＝
∴x＝－2（m＝14时）或x＝6（m＝－36时）
得A（－2，－2），B（6，4）
解法二：过圆心作与直线l垂直的直线l′与圆交于A、B两点即为所求。
∵kl＝－ ∴k l′＝
∴l′：y－1＝（x－2） 即：3x－4y－2＝0
由 解出x、y即为A、B坐标
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
解：圆的方程可化为 （x－2）2＋（y－2）2＝1
所以圆心C（2，2），半径r＝1
设直线l的斜率为k，则l：y－3＝k（x＋3）且反射光线l′的斜率为k′＝－k，
又l交x轴于（－－3，0）
所以，反射光线方程为：y＝－k（x＋＋3）
即：k x＋y＋3＋3 k＝0
圆心到l′的距离＝1
得：k＝－或k＝－
所以，所求直线l的方程为：
y－3＝－（x＋3）或 y－3＝－（x＋3）
即：4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝03..3..。2直线与直线之间的位置关系-两点间距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：
情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为
直线相交于点Q。
在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有
所以，=。
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
由 得
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。因此
同步练习：书本112页第1，2 题
巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——
。
板书设计：略。第16课时 直线与平面垂直的判定与性质（一）
教学目标：
使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。
教学重点：
直线和平面垂直的判定。
教学难点：
判定定理的证明。
教学过程：
1．复习回顾：
［师］直线和平面平行的判定方法有几种？
［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断.
2．讲授新课：
1.直线和平面垂直的定义
［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？
［讨论、观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电
筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。
［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直
（若先回答射影，可引导其抽象为直线）
师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线
位置如何呢？依据是什么？
［生］垂直.依据是异面直线垂直定义.
生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：
如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直.
可记作l⊥α
其中直线l叫平面α的垂线.
平面α叫直线l的垂面.
［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系.不能理解成无数条线，必须是全部.同学可找一反例说明.
［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直.（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）
［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交.
直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足.
师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法.
（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）
画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直
l⊥α 点P是垂足
让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论.
经师诱导，生得到结论.
［生］图（1）、（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）、（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个.
除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？
2.直线和平面垂直的判定
例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a∥b，a⊥α
求证：b⊥α
分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直.
运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则
需依题设直线m存在.进而运用线垂直于面?
线垂直于面内线完成证明.
学生依图，及分析写出证明过程
证明：设m是α内的任意一条直线
［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］
给出判定定理，学生思考证明途径.
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.
求证：l⊥α.
分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系.
而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线
即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以.
证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质.
学生先思考，如何先确定线位置.
由于已知条件中有m∩n=B,
所以可先从l、g都通过点B的情况证起，
然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透.
证明过程学生可先表述，然后共同整理.
证明：设g是平面α内任一直线.
（1）当l、g都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB=A′B，则由已知条件推出m、n都是线段AA′的垂直平分线.
1°g与m（或n）重合
那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.
2°g与m（或n）不重合，
那么在α内任作一线CD
m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E
连结AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.
∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，
∴△ACD≌△A′CD,
得∠ACE=∠A′CE
即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E
∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g
（2）当l、g不都通过点B时
过点B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g
同理可证l′⊥g′，因而l⊥g
综上所述，无论l、g是否通过点B，总有l⊥g.
由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α
［l、g不都通过点B，可解释为：l、g之一过点B，l、g都不过点B］
［师］对于判定定理注意二点.
一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.
二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.
3．课堂练习：
1.判断题
（1）l⊥αl与α相交（ ）
（2）mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α（ ）
（3）l∥m，m∥n，l⊥αn⊥α（ ）
解：（1）√ 若不相交，则应有l∥α，或lα.
（2）× m、n若是两条平行直线，则命题结论不一定正确.
（3）√ 由例题结论可推得.
2.已知三条共点直线两两垂直，求证：其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.
已知：m、l确定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o
求证：n⊥α.
证明：因
3.求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短.
［连结平面α内的两点，Q和R，设PQ⊥α，
则∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.
4．课时小结：
1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.
3.注意两个结论：
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：
（1）定义 强调“任何一条直线”；
（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；
（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.
5．课后作业：
预习：
（1）性质定理主要是讲什么？条件、结论各是什么？
（2）直线到平面距离如何转化为点到平面距离？4.2.2 直线与圆的方程的应用
（两个课时）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？ 启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课． 师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？ 理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想． 师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？ 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择． 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解．生：自学例4，并完成练习题1、2．师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？ 使学生加深对圆的方程的认识． 教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？ 巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力． 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4． 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤． 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？ 反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识． 学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：（1）利用“坐标法”解决问 对知识进行归纳概括，体会利 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第
问 题 设计意图 师生活动
题的需要准备什么工作？（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？ 用“坐标法”解决实际问题的作用． 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
作业：习题4．2B组：1、2．第8课时 平行直线（一）
教学目标：
了解空间两直线的三种位置关系；掌握公理4的意义及空间四边形的概念，能正确
运用公理4判断空间两直线平行。
教学重点：公理4。
教学难点：运用公理4。
教学过程：
1、掌握两条直线的位置关系，即如下3种
（1）相交直线：共面，有且只有一个公共点
（2）平行直线：共面，没有公共点
（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2、对异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点：
（1）两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内，因此它们不相交也不平行。
（2）分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，如下图
（3）画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观，如图
3、公理4：平行于同一条直线的两直线互相平行
公理4是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础
例1：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D 1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；
（4）DC与BD1；（5）D1E与CF
解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD
又CAB，C1平面ABCD
∴AB与CC1异面
（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC
（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC
则A1、B、C、D1在同一平面内 ∴A1C与D1B相交
（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD
又BDC，D1平面ABCD ∴DC与BD1异面
（5）如图，CF与DA的延长线交于G，连结D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点， ∴A为DG的中点，又AE∥DD1，
∴GD1过AA1的中点E， ∴直线D1E与DF相交
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）。两条直线相交，总可以找到它们的交点。作图时用实点标出。两条直线异面，有时看上去象平行，（如图中的EB与A1C）有时看上去象相交（如图中的DC与D1B）。所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条异面直线判定的方法。
例2：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点。
求证：EB1∥DF，ED∥B1F
证明：设G是DD1的中点，分别连结EG，GC1
∵EGA1D1，B1C1 A1D1，
∴EGB1C1 四边形EB1C1G是平行四边形
∴EB1GC1 又EB1DF，
∴四边形EB1FD是平行四边形
∴ED∥B1F
例3：已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点, F、G分别是CB、CD上的点，且＝＝
求证：四边形EFGH是梯形。
证明：（过程略）
引申：
（1）若BD＝a，则梯形的中位线的长是多少？
（2）求证：EF、GH的交点在AC所在直线上。
（3）已知空间四边形ABCD，P、Q分别是AB、CD的中点。
求证：PQ＜（AC＋BD）
证明：设R是BC的中点，分别连接PR，RQ
∵P是AB的中点
∴PR AC 同理，QR BD
∵在△PQR中，PQ＜PR＋QR＝（AC＋BD）
∴命题得证
判断：
（1）空间两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）若a、b为异面直线，则所有平行于a的直线与b异面
作图：
过如图长方体木块中BC中点P作A 1 C 1的平行线
课堂小结：
1、运用公理4判断两直线平行时须借助第三条线
2、平面图形适用的结论，对立体图形不一定适用
课后作业：
P297，10，12空间几何体的表面积和体积预习提纲
1．平面展开图
2．概念：
直棱柱：
正棱柱：
正棱锥：
正棱台：
3．面积公式：
S直棱柱侧＝ S正棱锥侧＝
S正棱台侧＝ S圆柱侧＝ ＝
S圆锥侧＝ ＝ S圆台侧＝ ＝
S球面＝
相互间的关系：
4．体积公式：
V长方体＝ ＝ V柱体＝
V锥体＝ V台体＝
V球＝
相互间的关系：
空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.
分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲
求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、
9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求
a呢？
［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,
S侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a
设17a所对三角形内角α，
则cosα＝＝－，sinα＝
S底＝·10a·9a·＝36a2
∴576a＋72a2＝1440 解得：a＝2
∴三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm.
［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色.
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.
解：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，
在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°
∵AO＝AD＝a ∴SA＝a
在Rt△SBD中
SD＝
∴S侧＝·3a·SD＝a2. ∵S底＝a2
∴S全＝（＋）a2
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的
体积和正三棱锥A—BCD的体积即可.
解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积
为 ·Sh＝Sh.
∵三棱锥A—BCD的体积为
Sh－4·Sh＝Sh.
∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的.
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
解：如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，
作PO⊥底面ABCD于O.连结BD，则O∈BD，且PO⊥BC，
由AB＝a，得BD＝a，在Rt△PAB中，
PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（a）2
∴PO＝a，S对角面＝PO·BD＝a2.
又作PE⊥BC于E，这时E是BC的中点
∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（a）2
∴PE＝a ∴S侧＝4×PE·BC＝a2
∴对角面面积为a2,侧面积为 a2.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R，得
S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2 ∴S球＝S圆柱侧
（2）∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2 S球＝4πR2
∴S球＝S圆柱全
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为 ，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a.
∴r1∶r2∶r3＝1∶∶ ∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆⊙O，且⊙O为
△SAB的内切圆.
设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则
S锥全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①
又∵△SOE∽△SAO1
∴ ②
由②得：R2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：
l＝3r
∴
∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
OB＝O1O·cot30°＝R
SO＝OB·tan60°＝R·＝3R
∴V球＝πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3
V锥＝π（R）2·3R＝3πR3
∴V球∶V柱∶V锥＝ 4∶6∶9
［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.
让我们继续体会有关球的相接切问题.
例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体
A—BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意
BO1＝a＝a，
AO1＝＝ eq \r(a2－（a）2) ＝a
又∵BO2＝BO12＋OO12，
∴R2＝（ ∴a＝R
连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r,
VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD
∴
∴r＝
∴r＝
∴V小球∶V大球＝π·（R）3∶π·R3＝1∶27
∴内切球与外接球的体积比为1∶27.第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三）
教学目标：
通过运用定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用之解决一些具体问题；通过学生自主地学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强勇于战胜困难的勇气.
教学重点：
直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
教学难点：
直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，并且讨论了其中的一种关系——直线与平面的平行问题，学习了一个判定定理、一个性质定理，请同学们回忆一下判定定理和性质定理的具体内容.
［生］判定定理是“线线平行则线面平行”，性质定理是“线面平行则线线平行”.
［师］请具体阐述一下判定定理中前面的“线线”，性质定理中后面的“线线”.
［生］判定定理中前面的“线线”，一条在平面外，另一条在前述的平面内；性质定理后面的“线线”，一条是平行于平面的直线，另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线.
［师］好.应用定理应注意什么？
［生］结论成立的条件一个不能少.
［师］判定定理结论成立的条件有几个？分别是什么？
［生］有三个.分别是aα，bα，a∥b.
［师］性质定理结论成立的条件有几个？分别是什么？
［生］有三个.分别是a∥α，aβ，α∩β=b.
［师］应该注意.应用定理解决具体问题时，三个条件一个不能少.还有，如果证题过程中能应用“”符号，则尽可能使用，它能使你的推理更加严谨、简捷，给读者或老师或阅卷人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用.
Ⅱ.新课讨论
［师］上节课，我们已经讨论了一个综合应用的例子，大家讨论、分析、研究得很投入，希望继续发扬这种钻研精神，来研究我们面临的问题.
［例1］已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
分析：欲证AP∥GH.只要证什么就可以了？
［生］因为GH是过AP的平面与面BDM的交线，所以
要证AP∥GH，只要证AP与含GH在内的平面平行就可以了.
［师］GH在哪一个平面内？
［生］GH在面BDM内.
［师］那也就是说，只要证AP与面BDM平行就行了.怎样
证AP与面BDM平行呢？
［生］只要证AP与面BDM内一条直线平行就行了.
［师］与面BDM内哪一条直线平行呢？能是GH吗？
［生］肯定不能是GH.
［师］那么证AP与哪一条直线平行呢？(稍停，给学生留出点思考的时间)，这就得在面BDM内找，找到的这条直线，要能较好地联系已知.
［生］连结AC，AC与BD的交点是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，设为O，因为M是PC的中点，连结OM，则OM在面BDM内，又是△PAC的中位线，所以AP平行MO，问题得证啦！
［师］××同学所谈有道理吗？
［众生］有.
［师］××同学的分析完全正确.下面请同学们整理证明过程(请一位同学写在黑板上，供教师做讲评).
证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴O是AC的中点
又M是PC的中点 ∴MO∥PA
又MO面BDM、PA面BDM.
∴PA∥面BDM.
又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.
∴AP∥GH.
［师］刚才我们分析所用的方法称为执果索因法，我们证题一般用的由因导果法(也叫综合法).前者是从结果(论)出发，寻找结果(论)成立的原因(条件)，一直追溯到已知；后者是从条件出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法.遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解(证)题的途径，达到“柳暗花明又一村”的境地.
［例2］如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ.
(1)求证：MNPQ是平行四边形；
(2)如果AC＝BD＝a，求证：四边形MNPQ的周长为定值；
(3)如果AC＝a，BD＝b，AC与BD成θ角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置.
［师］请同学们认真审题，并作出分析，以学习小组为单位
展开讨论，寻求答题途径.
(同学们人人积极思考，以学习小组为单位各抒己见，讨论很
热烈)
［生甲］对于(1)小题，欲证MNPQ是平行四边形，只要
证明MNPQ有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可
以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC平行于面MNPQ，
过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC平行于MN，同理AC平行于PQ，由平行公理得MN平行于PQ，同理可证MQ平行于NP，所以四边形MNPQ是平行四边形.
［师］生甲同学分析得很好.
［生乙］对于(2)小题.因为MN平行于AC，所以 ＝，又AC＝a，所以MN
＝a，因为MQ平行于BD.所以 ＝.又BD＝a，所以MQ＝a，所以四边形MNPQ的周长＝2(MN＋MQ)＝2a(＋)＝2a(定值)
［师］很好.对于定值问题的证明，可以先探求定值，探求定值的方法，可以取特殊位置去探求.比如这个题，可把M、N、P、Q分别看作AB、BC、CD、DA的中点去探求定值.探求出定值之后，目标就明确了，利用已知向目标靠拢即可.但要注意，取特殊位置只能用以对定值的探求，而不能作为证明的依据.否则就使问题失去了普遍性、一般性.
［师］谁来谈一下第(3)小题的解题思路？
(谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃，可能遇到了什么障碍)
［师］你是怎样想的就怎样谈，说多少算多少，说错了也没关系！(鼓励学生大胆发言)，其他同学要注意听，大家共同想办法，把这个问题解决了.
［生丙］要求四边形MNPQ面积的最大值，首先需要列出面积的函数关系式；要列出面积的函数关系式需要知道平行四边形MNPQ两邻边的长及其夹角，夹角就是异面直线AC、BD所成的角θ，两邻边的长表示不出来.虽然MN与AC有个关系，NP与BD也有个关系，但表示不出平行四边形的边长来.
［师］不错.生丙同学前面的分析很好，但到后来他犯愁了，谁来帮他想想办法？
(没有学生接这个“茬”)
［师］大家只顾找MN、NP怎样表示了，而忽略了一个重要的东西：列面积的函数关系式需要自变量啊，哪个量“扮演这个角色”呢？从题中再看看，审题万万不可不仔细！
［生丁］设AM＝x
［生丙］(生丁的一“点”，障碍排除，抢着回答)
只设AM还不行，再设AB＝l(l为定值)，这样就行了.(跑到讲台上，在黑板上书写).
设AM＝x，AB＝l
由(2)知：NP＝b＝b＝x MN＝a＝a ＝ (l－x)
设平行四边形MNPQ的面积为S.
则S＝MN·NP·sinMNP
＝x· (l－x)sinθ＝ (lx－x2)sinθ＝［－(x－)2＋］sinθ
∴当x＝，即M为AB的中点时，S最大值为 sinθ.
［师］生丁同学谈出了今天第(3)小题讨论中重要的一点，使我们问题的解决出现了转机.生丙同学又接着对第(3)小题作出了全面的解答，大家再仔细看一看，认真想一想，对生丙同学的解答过程还有没有什么补充或更正？
［生戊］在列出四边形MNPQ的面积的函数关系式前面应表述清楚∠MNP＝θ
［师］请你来补充在解答过程中.
［生戊］(上黑板板书，补充在设平行四边形MNPQ的面积为S之前).
∵MN∥AC，NP∥BD
∴∠MNP是AC、BD所成的角，即∠MNP＝θ.
［师］好.谁还有？
［生己］设AM=x，应标明x的取值范围，把前两步的位置调换一下，标明0＜x＜l.
［师］请来予以更正补充.
［生己］在黑板上将生丙同学的解答更正补充为：设AB=l(l为定值)AM=x(0＜x＜l)
［师］还有吗？(稍停顿)好了，这样再经过大家的补充，整个解答就完美了.今后在学习中，无论是解答题，还是证明题，表述必须清楚，推理必须严谨，千万不可粗枝大叶，丢三落四，要养成严密、严谨、细致的良好习惯.有根有据，有条有理，才是一种优美的、令人赞叹的、使人折服的精彩“表演”，尤其分析问题、解决问题的方法，更应引起每位同学重视.第(1)小题、第(2)小题的证明过程，大家下去以后自己整理，现在我们来练习一个题.
Ⅲ.课堂练习
如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
证明：EFGH是平行四边形
BD∥面EFGH，
同理可证AC∥面EFGH.
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用，大家一起分析了两个题目，并且分析得很好.通过这节课，要求同学们初步掌握分析问题、寻求解题思路的方法——执果索因法、由因导果法(分析法、综合法)，并养成良好的思维习惯、严谨的治学态度，进行严密的逻辑推理.
Ⅴ.课后作业
(一) 思考与练习
一、选择题
1.m、n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A
2.直线a∥面α、面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )
A.全平行 B.全异面
C.全平行或全异面 D.不全平行也不全异面 答案：C
3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.不可能有 答案：B
4.a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( )
A.过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行
B.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交
C.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行
D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 答案：D
二、填空题
1.过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m∥平面α，那么在平面α内有_________条直线与m平行. 答案：无数 无数
2.n平面α，则m∥n是m∥α的______条件. 答案：既不充分也不必要
3.直线a∥平面α，在平面α内任取两点P、Q，当PQ与a的位置关系是_____时，直线a及点P确定的平面与α的交线和过直线a及点Q的平面与α的交线互相平行.
答案：PQ与a垂直
三、解答题
1.求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知：a、b是异面直线.
求证：过b有且只有一个平面与a平行.
证明：(1)存在性
在直线b上任取一点A，显然Aa.
过A与a作平面β
在平面β内过点A作直线a′∥a
则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α
∵bα，a与b异面，∴aα
又a∥a′，a′α，∴a∥α
∴过b有一个平面α与a平行
(2)唯一性
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面
则bγ，∵A∈b，∴A∈γ
又A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″
∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″∴a∥a″，又a∥a′，
∴a′∥a″
这与a′∩a″＝A矛盾.
∴假设错误，故过b与a平行的平面只有一个.
综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.
2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，
平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证：EH∥FG.
证明：连结BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点
∴EH∥BD
又BD面BCD，EH面BCD ∴EH∥面BCD
又EHα、α∩面BCD＝FG ∴EH∥FG.
3.已知：M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.
证明：连结AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连结PQ.
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，
∴＝＝2 ∴MN∥PQ，
又PQα，MNα
∴MN∥α.
4.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行.
已知：平面α∩β=l，平面β∩γ=m，平面γ∩α=n，m∥n.
求证：l∥m，l∥n.
同理可证l∥n.
线面平行的判定与性质定理是立体几何中的重要知识，也是高考考查的重点内容.因此，教学中应注意以下几点：
1.帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点，直线才和平面平行，这一条件用来判定线面平行很困难，一般采用反证法，利用定义进行论证问题.
2.线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定，将立体几何题转化为平面几何问题，运用起来方便得多.
3.线面平行的性质定理可得线线平行，给我们作平行线提供了方法.
4.线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行，性质定理是由线面平行到线线平行，实现了线面问题与线线问题间的相互转化.
(二)1.预习直线与平面垂直的判定和性质.
2.预习提纲
(1)直线与平面垂直的定义是什么？记法是怎样的？
(2)直线与平面垂直的图形语言是怎样的？
(3)过空间一点，垂直于已知直线的平面有几个？
(4)过空间一点，垂直于已知平面的直线有几条？
(5)直线与平面垂直的判定定理是什么？
(6)用符号语言怎样表示直线与平面垂直的判定定理.
(7)“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l与平面α垂直”，正确吗？
(8)“与一个平面垂直的直线有无数条”，这个命题正确吗？第11课时 异面直线（二）
教学目标：
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.
教学难点：
异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们学习了异面直线所成的角，异面直线间的距离两个概念，请一位同学来叙述一下异面直线所成角的定义.
［生］过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.
［师］定义不但告诉我们怎样的角叫做异面直线所成的角，而且告诉了我们两异面直线所成角的范围是什么？
［生］(0，］
［师］当两条异面直线所成的角为时，这两条直线______.
［生］垂直、异面垂直.
［师］所以，今后谈到两条直线垂直时，它们可能共面垂直，也可能异面垂直.在学习异面直线间的距离时，首先涉及到一个概念——异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的公垂线呢？
［生］与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线.
［师］定义中的要点是什么？
［生］“垂直”“相交”二者缺一不可！
［师］好！把握好公垂线的概念，异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异面直线间距离的定义？
［生］两条异面直线的公垂线段的长叫做两条异面直线的距离.
［师］上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离，我们讨论了一个比较简单的例子.这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法.
Ⅱ.新课讨论
［例1］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1为上底中心，求下列异面直线所成的角.
(1)AB1与BC1；(2)A1B与B1D.
分析：求异面直线所成的角，关键是选择恰当的点，通过平移找到两条异面直线所成的角，找到的这个角还要较好的联系已知，对于(1)，同学们看一下，过哪条上的一点，平移另一条好呢？
［生］过A点平移BC1较好，过C1平移AB1也行，但前者
较后者从图形上看更直观.
［师］怎样平移BC1呢？(学生考虑)
［师］连结AD1，则AD1∥BC1，对吗？为什么？
［生］连结AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以
AD1∥BC1.
［生］∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角.
［师］怎样求其大小呢？
［生］在△D1AB1中求，因为△D1AB1是正三角形，所以∠D1AB1是60°，即AB1与BC1所成的角是60°.
［师］请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出).
(1)解：连结AD1，则AD1∥BC1
∴∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角
∵△D1AB1是正三角形
∴∠D1AB1＝60°
即AB1与BC1所成的角是60°.
［师］下面我们来分析(2)，仍然是先平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.
(同学试着平移，怎样也不能奏效)
［师］我们来做一个辅助图形：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板上画一画，或者在投影片上画也行)，这样能找到两条异面直线所成的角了吗？
［生］连结B1A2，则B1A2平行于A1B，B1A2与B1D所成的锐角(或直角)是异面直线A1B与B1D所成的角.
［师］怎样求其大小呢？
［生］在△A2B1D中求.
［师］在△A2B1D中怎样求呢？
［生］△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a.(如果学生答不来，教师再予以提示)，用余弦定理可求得∠A2B1D的大小.
［生甲］知道△A2B1D的三边长度后，通过观察，心算，知A2D2＝B1D2＋B1A22，所以∠A2B1D＝90°，即A1B与B1D所成的角为90°.
［师］请同学们写出解答过程.
(2)解：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的图)，连结B1A2，则B1A2∥BA1
∴B1A2与B1D所成的锐角(或直角)就是异面直线A1B与B1D所成的角(强调学生注意，这一句表述不能省略，凭观察这个角稍大，故不能用∠A2B1D表示异面直线A1B与B1D所成的角)
在△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a
∵A2D2＝B1D2＋B1A22， ∴∠A2B1D＝90°.
即A1B与B1D所成的角为90°.
［师］若求出的∠A2B1D＞90°，那么异面直线A1B与B1D所成的角是怎样的呢？
［生］是∠A2B1D的补角.
［师］很好.绝对不能忘记两异面直线所成角的范围是(0，］，这个题，待我们学习了后面的知识之后，会有更简捷的解答方法(为学生积极学习后面的知识设下这个“诱饵”).
［例2］一空间四边形ABCD的边长均为a，连对角线AC、BD，且AC＝BD＝a，E、F分别为AB、CD的中点.
(1)证明：EF是异面直线AB、CD的公垂线；
(2)求异面直线AB与CD的距离.
分析：(1)EF与AB、CD都相交，要证明EF是AB、CD的
公垂线，只要证明EF与AB、CD都垂直就行了，先来分析怎样
证EF与CD垂直，连结EC、ED，在△ECD中，因为F是CD
的中点，所以要想证EF垂直于CD，只要证——
［生］证△ECD是等腰三角形就行了，即只要证EC等于ED就行了.
［师］怎样证EC等于ED？(似乎又陷入了困境)，请同学们注意：EC、ED分别是△CAB、△DAB的中线，所以要证EC等于ED，只要证——
［生］证△CAB与△DAB全等就行了.
［师］怎样证△CAB与△DAB全等呢？
［生］这两个三角形都是边长为a的正三角形全等.
［师］同理可证EF⊥AB. 至此，我们的问题(1)解决了.一会儿我们再写证明过程，现在我们来分析(2)，求异面直线AB与CD的距离就是求异面直线AB与CD的公垂线段的长度，我们刚才已经证明了EF是异面直线AB与CD的公垂线，所以求异面直线AB与CD的距离，就是求——
［生］EF的长度.
［师］怎样求呢？
［生］在Rt△EFC中就可求得，因为CF＝，EC＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a，所以EF＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a.
［师］好.下面请同学们完成此题的证明与解答.
(1)证明：连结CE、DE.
由题设知△CAB≌△DAB，
又E是AB的中点，∴CE＝DE.
在等腰△ECD中，∵F是CD的中点
∴EF是CD上的中线 ∴EF⊥CD.
同理可证EF⊥AB.
又EF与AB、CD都相交
∴EF是异面直线AB、CD的公垂线.
(2)解：由(1)可知EF的长即为异面直线AB、CD的距离.
在Rt△EFC中，∵CF＝a CE2＝AC2－AE2＝a2
∴EF＝＝ eq \r(a2-a2) ＝a.
因此异面直线AB、CD的距离为a .
［例3］如图空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成的角为θ，AC＝a，BD＝b(a、b是常数)，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当θ为何值时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？
分析：求面积的最大值，首先需要干什么呢？
［生］列出四边形EFGH面积的函数关系式.
［师］题中问当θ为何值时，四边形EFGH的面积最大.那么
列出的面积关系式就要用——
［生］要用θ来表示.
［师］四边形的面积要用θ来表示，那么四边形EFGH就要
与θ有联系，并且要表示出面积还得清楚四边形是怎样的四边形，
同学们再来继续分析一下四边形EFGH是怎样的四边形，与θ有怎样的联系.
［生］四边形EFGH是平行四边形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，所以EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，得到EH FG.因而四边形EFGH是平行四边形.
因为EF∥AC，FG∥BD.所以∠EFG是异面直线AC、BD所成的角，即∠EFG＝θ.
［师］很好！知道了四边形EFGH是平行四边形，∠EFG＝θ，能表示平行四边形的面积了吗？
［生］还不行，还需要知道平行四边形两邻边的长.
［师］能知道两邻边的长吗？
［生］能！FG＝BD＝b，EF＝AC＝a，表示平行四边形面积的条件具备了.
［师］好！既然表示平行四边形的面积无障碍了.那请同学们写出解答过程(一位同学板书于黑板上).
解：
S＝a·bsinθ＝absinθ(0＜θ≤)
∴当θ＝时，Smax＝ab.
∴当θ＝时，四边形EFGH的面积最大，最大值是 ab.
Ⅲ.课堂练习
如图ABCD与ABEF为有公共边但不共面的矩形，它们的面积之和为25 cm2，AD＝2 cm，AF＝3 cm，△ADF的面积为 cm2，求:
(1)AD与BE所成的角；(2)AD与BE的距离.
解：据题意：S矩形ABCD＋S矩形ABEF
＝AD·AB＋AF·AB＝(AD＋AF)AB＝5AB＝25.
∴AB＝5.
S△ADF＝AD·AFsinDAF＝×2×3·sinDAF＝3sinDAF＝
∴sinDAF＝ ∴∠DAF＝45°
(1)∵AF∥BE，
∴∠DAF为AD与BE所成的角
又∠DAF＝45°，∴AD与BE所成的角是45°.
(2)∵AB⊥AD，AB⊥BE(矩形)
∴AB是AD与BE的公垂线段 又AB＝5 cm
∴AD与BE间的距离是5 cm.
Ⅳ.课时小结
本节课我们一起讨论了求异面直线所成的角和求异面直线间距离的几个例子，目的是想通过举例，让同学们明确求角的关键是通过平移将两异面直线所成的角转化成相交直线所成的角，求两异面直线间的距离就是求两异面直线公垂线段的长，必要时，两者都要转化到某一三角形中求解.这种转化的思想我们应该重视.化难为易，化繁为简，化生疏为熟悉，化空间问题为平面问题，这种转化的思想无处不在.
Ⅴ.课后作业
补充题：
1.A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点.
(1)若EF＝AD，求异面直线AD和BC所成的角；
(2)若EF＝AD，求异面直线AD和BC所成的角.
解：设G是AC的中点，连结EG、FG.
∵E、F分别是AB、CD的中点.
∴EG∥BC且EG＝BC FG∥AD且FG＝AD
∵AD＝BC，∴EG＝FG＝AD
∴GE与GF所成的锐角(或直角)为AB、CD所成的角.
(1)若EF＝AD，则在△EFG中有
cosEGF＝
＝＝0.
∴∠EGF＝90°，即AD与BC所成的角为90°.
(2)若EF＝AD，则在△EFG中有
cosEGF＝
∴∠EGF＝120°，其补角为60°
∴AD与BC所成的角为60°
2.正方体ABCD—A1B1C1D1中O、M分别是D1B、AA1的中点.
(1)求证：MO是AA1和BD1的公垂线；
(2)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1和BD1的距离.
(1)证明：∵M是AA1的中点
∴MD1＝MB
又O是BD1的中点 ∴MO⊥BD1
同理由A1O＝AO得MO⊥AA1
∴MO是AA1、BD1的公垂线.
(2)解：OM＝＝a
∴AA1与BD1间的距离是 a.
Ⅰ.思考与练习
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，求A1E与C1F所成角的余弦值.
解：设正方体的棱长为a
在A1B1上取一点G，使B1G＝A1B1，
连结FG、C1G，则FG∥A1E，
FG＝A1E，
∴∠GFC1即为A1E与C1F所成的角，
又C1F＝
GF＝A1E＝C1F＝a
C1G＝
∴cosGFC1＝＝
故A1E与C1F所成角的余弦值为 .
2.如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝a，BC＝b，AA1＝c(a＞b)，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值.
解法一：连结BD交AC于O，取D1D的中点P，
连结OP，则OP∥D1B，且OP＝D1B.
∴∠POA就是D1B与AC所成的角，连结AP
∵AP＝AO＝OP＝
∴cos∠POA＝＝.
解法二：如图，在长方体的一旁，补上一个大小完全相同的长方体，则BE AC
∴BD1与BE所成的锐角(或直角)是D1B与AC所成的角.
∵D1B＝
BE＝
D1E＝
∴cosD1BE＝＜0
∴D1B与AC所成角的余弦值为.
3.空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且AB＝CD.求证：MN与AB所成的角等于MN与CD所成的角.
证明：连结BD，设P是BD的中点，连MP、NP，
∵M、N分别是AD、BC的中点
∴MP∥AB且MP＝AB NP∥CD且NP＝CD
∴∠PMN、∠PNM分别是MN与AB、CD所成的角.
又∵AB＝CD，∴MP＝NP ∴∠PMN＝∠PNM.
即MN与AB所成角等于MN与CD所成的角.
4.已知棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点.
(1)求证：B1EDF是菱形；
(2)求A1C与DE所成角的余弦值.
(1)证明：取AD的中点G，连结A1G、EG，
则B1E A1G FD
∴B1EDF是平行四边形.
又∵FB1＝DF＝
∴B1EDF是菱形.
(2)解：延长AD至M，使DM＝AD＝BC＝EC.
连结CM，则CM∥ED.
∴∠A1CM即为A1C与DE所成的角.
∵A1C＝a，
CM＝
A1M＝
∴cosA1CM＝.
Ⅱ.异面直线所成的角
异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求学生牢固掌握两条异面直线所成的角的求法.教学中注意以下几点：
1.平移方法一般有：直接平移法、中位线平移法、补形平移法.
2.平移直线寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线相交.
3.求角或求角的三角函数值的一般步骤是：①找角，②求角或求角的三角函数值.第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二）
教学目标：
通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。
教学重点：
两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。
教学难点：
找求问题解决的突破口，转化思想渗透。
教学过程：
1．复习回顾：
1）二面角的平面角找法依据.
2）三垂线定理及逆定理.
2．讲授新课：
［师］前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.
找无棱二面角的棱依位置可分二类，
例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.
［师］面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，
那么怎样找棱呢？请思考.
［生］作线在面内进行，BC∥AD则经BC的平面与
面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，
找到棱后的主要问题就是找平面角.
解法如下：
解：经P在面PAD内作PE∥AD，AE⊥面ABCD，
两线相交于E，连BE
∵BC∥AD
则BC∥面PAD
∴面PBC∩面PAD＝PE
∴BC∥PE
因PD⊥面ABCD，BC⊥CD
那么BC⊥PC，BC⊥面PDC
即有PE⊥面PDC
PE⊥PD，PE⊥PC
∠CPD就是所求二面角的平面角
因PD＝AD，而AD＝DC
∴∠CPD=45°
即面PAD与面PBC成角为45°.
［师］从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.
请同学归纳小结例1的解法，并完成例2.
例2：如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC. 求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.
［师］首先解释一下斜三棱柱，面ABC及
面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1AA1BB1.
［生］A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个
面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行
于B1C1，此题难点就是如何找平面角.
［师］考虑面BB1C1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，
请同学思考.
师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：因面ABC∥面A1B1C1，则面BB1C1C∩面ABC＝BC
面BB1C1C∩面A1B1C1＝B1C1
∴BC∥B1C1，则B1C1∥面ABC
设所求两面交线为AE，即二面角的棱
则B1C1∥AE，即BC∥AE
经C1作C1D⊥BC于D，因面BB1C1C⊥面ABC
∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC
又∠C1CD＝60°,CC1＝a故CD＝
即D为BC中点
又△ABC是等边三角形
∴BC⊥AD
那么有BC⊥面DAC1即AE⊥面DAC1
故AE⊥AD，AE⊥AC1
∠C1AD就是所求二面角的平面角.
因C1D＝a，AD＝a，C1D⊥AD
故∠C1AD＝45°.
［师］请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.
［生］同例1，关键是找棱、找角、而找角较难.
［师］继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？
例3：如图，几何体中 AA1BB1CC1，AA1⊥面ABC，△ABC为正三角形，面A1EC⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.
［师］此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.
解：∵A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，
∴只需找到另一个公共点，即可.
因AA1＝A1B1＝A1C1，连AC1
则AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O
取BB1的中点E，连EO
因面ABC是正三角形，则经B作BG⊥AC有
BG⊥面AC1，OE∥BG
∴OE⊥面AC1
因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中点
那么EB1CC1
∴CE与B1C1延长后必交于一点F，
即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点
连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱
因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120°
∴∠FA1B1＝30°
那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F
那么CA1⊥A1F（三垂线定理）
∠CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.
∠CA1C1＝45°，因AA1BB1CC1
而面ABC∥面A1B1C1
∴面A1EC与面ABC所成二面角大小为45°.
［师］找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.
［师］问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.
3．课时小结：
依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。
4．课后作业：4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的
.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
根据提议，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 ①
上运动，所以点A的坐标满足方程,即
②
把①代入②，得
课堂练习：课堂练习第1、2、3题
小结 ：
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：习题4.1第2、3、6题MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 14.1.1 圆的标准方程
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①
化简可得： ②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
例（2）： 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
（教师板书解题过程。）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法：
根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本第1、3、4题
提炼小结：
圆的标准方程。
点与圆的位置关系的判断方法。
根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本习题4.1第2、3、4题第14课时 直线与平面平行的判定和性质（二）
教学目标：
使学生掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行，应用定理证明一些简单问题，培养学生的逻辑思维能力；培养学生良好的思维习惯，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
教学重点：
直线与平面平行的性质定理及其应用.
教学难点：
直线与平面平行的性质定理及其应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们一块学习了直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定定理，请同学们回忆一下，直线与平面的位置关系有几种，各有什么特征？
［生］直线与平面的位置关系有三种：分别是直线在平面内，其特征是直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，其特征是直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行，其特征是直线与平面没有公共点.
［师］回答得很好.如果一条直线与平面相交，可不可以说直线在平面外呢？
［生］可以.因为直线在平面外包含两种情形，一是直线与平面相交，二是直线与平面平行，问题是其中情形之一.
［师］正确.直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］线线平行则线面平行.
［师］用符号语言表示是怎样的？
［生］a∥α
［师］好.要注意，利用判定定理判定直线与平面平行时，三个条件缺一不可.今天我们来学习直线与平面平行的性质定理.
Ⅱ.指导自学
(让学生看课本，提问题——理解这部分内容的难点与疑点)
［生］例题中给的一块木料形状规则吗？
［师］木料的形状不一定规则，但每一个面都认为是平面.
［师］请叙述一下直线和平面平行的性质定理？
［生］如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
［师］这个定理用符号语言可表示为怎样的？
［生］a∥b
［师］很好！这里也是三个条件，这三个条件同样是缺一不可的.我们把这个定理简记为“线面平行则线线平行”，后面的线线，一条是平行于平面的直线，另一条是经过平面外的直线的平面与已知平面的交线.
［师］请同学们注意：性质定理说，如果a∥α，经过a的平面β和α相交，那么a就平行于交线，我想问问大家，经过a且与α相交的平面有几个！
［生甲］一个.
［生乙］无数个.
［师］请生甲同学谈一下，经过a且与α相交的平面为什么只有一个.
［生甲］因为只有一条交线，所以只有一个.
［师］是只有一条交线吗？(生甲不知该如何作答)请再仔细想一想.
［师］请生乙同学谈一下，经过a且与α相交的平面为什么有无数个？
［生］经过a的平面只要和α相交，就符合题设条件，(拿课本比试了一下)这样的平面有无穷多个.
［师］好.生甲同学听明白了吗？
［生甲］明白了.
［师］如果a∥α，那么经过a与α相交的平面有无穷多个了，这无穷多个平面与α有无数条交线，这无数条交线互相平行.
定理的证明过程，使用了“”符号，很简洁，让人一看，心中美不胜数.
(已知：a∥α，aβ，α∩β＝b.
求证：a∥b
a∥b)
［师］有了性质定理，我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的平行问题，下面我们来看个例子.
［例1］如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.
［师］请同学们谈一下，拿到这个题首先应该干什么？
［生］首先应该在读懂题意的基础上，写出命题的图形语言、并用符号语言写出已知、求证.
［师］好.谁来完成一下.
［生甲］(上黑板画图，并写出已知、求证.)
已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.
求证：bα.
分析：这个题要求我们证明直线b在平面α内，要想证明
这个问题，需要——.
［生］证明直线b上至少有两个点在面α内.
［师］证直线b上“至少”有两个点在面α内(教师重复时
要突出强调“至少”)，用什么方法证呢？
［生］用反证法.
［师］好.我们一起来写出证明过程.
证明：假设bα
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′
∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行)
又a∥b，∴b∥b′这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误，故bα.
［例2］求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，这条直线和它们的交线平行.
［师］请同学们观察、分析、讨论，寻求证题思路，完成证明过程.
［生］先根据文字语言及图形，用符号语言写出已知、求证.
［师］好.请你具体讲一下.
［生］已知：面α∩面β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
［师］下面请同学们进一步考虑，完成证明.
(学生在思考、比划、讨论、甚至争辩，都在极力为自己的
想法寻找依据，这时教师将图在黑板上做出来)
［生］设过a的平面γ交α于b，过a的另一平面δ交β于c，
因为a平行于α，所以a平行于b，同理a平行于c.根据平行公理b平行c.因c在平面β内，所以b平行于面β，b在面β外，所以b平行于面β，而过b的平面α交平面β于l.所以b平行于l，再由平行的传递性a平行于l.
［师］太好了！生乙的分析大家听明白了吗？这个题既用到了直线与平面平行的性质定理，又用到了直线与平面平行的判定定理，反复交叉运用，使问题得到了证明.现在大家动笔把证明过程整理出来.(一位同学在黑板上板书).
证明：设过a的平面γ交α于b，
过a的平面δ交β于c.
Ⅲ.课堂练习
课本P33 练习4.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面平行的性质定理：线面平行则线线平行.要注意后面线线的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.这个定理与前面学过的平行公理是立体几何中判定直线与直线平行的重要依据，至此，我们判定空间直线与直线的平行已经有了两种办法，随着以后内容的学习，判定两直线平行的办法还会继续增加.同学们要把这个定理的条件和结论搞清楚，以便今后在证明有关问题时应用.
Ⅴ.课后作业
一、选择题
1.如果a、b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.b与α相交 C.bα D.不确定
答案：D
2.如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
答案：D
3.下面给出四个命题，其中正确命题的个数是( )
①若a∥α、b∥α，则a∥b ②若a∥α，bα，则a∥b
③若a∥b，bα，则a∥α ④若a∥b，b∥α，则a∥α
A.0 B.1 C.2 D.4
答案：A
4.下列说法正确的是( )
A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∥b，直线bα，则a∥α
D.若直线a∥b，直线bα，则直线a平行于平面α内的无数条直线
答案：D
5.下列命题中，正确的是( )
A.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则l∥α
B.如果直线l与平面α内无数条直线平行，则l∥α
C.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，则lα
D.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内的所有直线
E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个平面平行
答案：C
二、填空题
1.如果直线m∥平面α，直线nα，则直线m、n的位置关系是_________.
答案：平行或异面
2.已知：E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是_________. 答案：平行
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面A1DB平行的侧面对角线有_________.
答案：D1C、B1C、D1B1
三、解答题
如图，a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG.
解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.
∵B∈a，∴B∈β，
又A∈β，∴ABβ
同理ACβ，ADβ
∵点A与直线a在α的异侧 ∴β与α相交，
∴面ABD与面α相交，交线为EG
∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG
∴BD∥EG，∴△AEG∽△ABD.
∴(相似三角形对应线段成比例)
∴EG＝.教学设计案例
4.3.1空间直角坐标系
教学任务分析
使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。
通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。
教学重点和难点
重点：空间直角坐标系中点的坐标表示
难点：空间直角坐标系中点的坐标表示
教学基本流程
设情景引入空间直角坐标系的建立
空间中任意一个点的坐标表示
通过例1、例2的讲解，加深对空间点的坐标表示的理解
教师讲评小节
学生完成课后练习1、2
学情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
（1）我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示。那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？ 让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系 师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。
问题 问题设计意图 师生活动
（2）空间直角坐标系该如何建立呢？[1] 体会空间直角坐标系的建立过程 师：引导学生看图[1]，单位正方体，让学生认识该空间直角坐标系O—中，什么是坐标原点，坐标轴以及坐标平面。师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系。
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？[2] 学生从（1）中的感性向理性过渡 师：引导学生观察图[2]，生：点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标师：如果给定了有序实数组，它是否对应着空间直角坐标系中的一点呢/生：（思考）是的师：由上我们知道了空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。师：大家观察一下图[1]，你能说出点O，A，B，C的坐标吗？生：回答
（4）例1、例2 学生在教师的指导下完成，加深对点的坐标的理解，例2更能体现出建立一个合适的空间直角系的重要性 师：让学生思考例一一会，学生作答，师讲评。师：对于例二的讲解，主要是引导学生先要学会建立合适的空间直角坐标系，然后才涉及到点的坐标的求法。生：思考例一、例二的一些特点。总结如何求出空间中的点坐标的方法。
（5）练习2 学生在原宥小结的经验的基础上，动手操作，并且锻炼学生的口才 师：大家拿笔完成练习2然后上黑板来讲解生：完成
（6）今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？ 让学生的自信心得到增强 生：谈收获师：总结第22课时 两个平面平行的判定和性质习题课
教学目标：
使学生能够充分运用所学定理进行分析、论证。
教学重点、难点：
如何根据条件、定理分析问题。
教学过程：
复习位置关系，判定与性质定理，距离
例1：如图，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、
△PAB的重心
（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比。
证明：（1）连结PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于
D、E、F，连结DE、EF、DF
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心
∴PA′＝PD，PC′＝PF
∴A′C′∥DF， ∵A′C′ eq \o(,\\)平面ABC，DF平面ABC
∴A′C′∥平面ABC
同理 A′B′∥平面ABC
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′
∴平面ABC∥平面A′B′C′
（2）由（1）知A′C′DF， 又DFAC
∴A′C′AC
同理：A′B′AB，B′C′BC
∴△A′B′C′∽△ABC
∴S△A′B′C′︰S△ABC＝1︰9
例2：如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB与CD的公垂线段
（1）求证：MN∥α；
（2）若AB＝CD＝b，AC＝a，BD＝c，求线段
MN的长。
（1）证明：过AB、AC有一个平面与平面α相交，
过B作此交线的垂线，垂足为F，由线面平行的
性质定理知：AB∥CF
又AC⊥AB ∴AC⊥CF
得：AC∥BF
∴四边形ABFC是平行四边形
由AC⊥CF，AC⊥CD 知：AC⊥平面α， ∴BF⊥平面α
取BF中点E，连接EM、EN，则：EM∥CF
可得：EM∥平面α，同理EN∥平面α
∴平面EMN∥平面α 又MN平面EMN
∴MN∥α
（2）即求等腰三角形CDF底边上的高
例3：如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点
（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求平面AMN与平面EFDB之间的距离；（）
（3）求异面直线BE与FN之间的距离。（）
课堂小结：
充分利用定理，对线线、线面、面面问题进行合理的转化。{3.3-1两直线的交点坐标
三维目标
知识与技能：1。直线和直线的交点
2．二元一次方程组的解
过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的
直线系方程。
情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
教学过程：
情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
讲授新课
分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示
点A A（a，b）
直线L L：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解：解方程组
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：书本110页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形
有何特点？求出图形的交点坐标。
可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
例2 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
解：解方程组若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.
又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0
因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上，得交点(－)
小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
练习及作业：
光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
板书设计：略第5课时 平面的基本性质（一）
教学目标：
使学生建立立体几何的初步概念；理解几何平面的无限延展性；立体几何中平面的画法、表示方法；会用集合符号语言表达点、线、面间的位置关系；初步掌握直线在平面内的依据、两平面相交的依据。
教学重点：平面的画法及表示方法。
教学难点：理解平面的无限延展性及两个公理。
教学过程：
一、引言：
我们日常生活和学习中，总离不开几何图形，这些几何图形大致可分为两种：一种是我们在初步已研究的平面图形，这种图形上的点都在同一平面上，如三角形、圆……另一种就是我们将要研究的空间图形（立体图形）。这种图形上的点不全在一个平面上，如厂房、书桌等。同学们以后走上工作岗位后，只知道平面几何知识显然不够，这就要进一步研究学习空间图形。
平面几何研究的对象是平面图形（点、线以及组合）的形状、大小、位置关系，而立体几何研究的对象是空间图形的形状、大小、位置关系。
两者的区别：平面图形——所研究的对象都在同一平面内；
空间图形——所研究的对象不一定在同一平面内。
两者的关系：前者为后者的特殊情形。
由上可知，在解决立体几何问题的时候，要利用立体几何的有关概念和性质，而不能随便把平面几何的性质用于立体几何问题；只有所研究的对象在同一平面上的时候，才能利用平面几何的有关性质。但是，许多空间问题可以转化为平面问题来解决，这里就涉及到数学中的重要思想——转化思想。
二、新课讲解：
1、平面：
（1）定义：利用点、直线的概念说明平面也是不定义的概念。
平面的两个特征：①无限延展，②平的（没有厚度）。
（2）平面的画法：（1）一个平面：水平放置和直立；（2）两个相交平面
（3）平面的表示：（1）一个小写的希腊字母；（2）两个大写的英文字母。
2、直线在平面内的依据（公理1）
（1）有关概念：所谓直线在平面内，即指直线上的所有点都在平面内；若点A在直线a上，记做A∈a，若点A在直线a外，记做Aa；若点A在平面α上（外），记作A∈α（Aα）；若直线a在平面α内，记做aα，若直线a不在平面α内，记做aα。这里的“、”借用了集合的符号，其含义仍然与集合符号的意义一致。
（2）公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。即A∈α，B∈αABα。
说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线。公理一是判定直线在平面内的依据。
3、两个平面相交的依据（这里所指的两个平面都是指不重合的平面）：
（1）当一条直线a既在平面α内，又在平面β内，即α和β有一条公共的直线a，则称α与β相交，交线是a，记做α∩β=a。
（2）公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。即A∈α，A∈βα∩β=a且A∈a。
“公理二”说明：①若两个平面有一个公共点，则必定还有第二个、第三个……，必有无限多个公共点，所有这些公共点都在同一条直线上，反之，该直线上的每一点都是两个平面的公共点。因此，两平面若有公共点，则必有公共直线。②两平面若相交，则有且只有一条交线。
三、课堂练习：
教材P23练习1、2、3、4
四、课堂小结：
注意用集合符号语言表达几何元素间的关系及两个公理的作用的理解。
五、课后作业：
教材习题P28第4、5题第18课时 直线与平面垂直的判定和性质习题课
教学目标：
使学生能够根据题设条件，联系定理，发挥空间想象能力，解决具体问题。
教学重点、难点：
如何分析、解决问题。
教学过程：
复习定理、定义。
例1：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，M、N分别是AB、A1C的中点，
（1）求A到平面A1DCB1的距离；（2）求AB到平面A1DCB1的距离；
（3）求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，并求其长度。
解：（1）连结AD1，设AD1∩A1D＝E，则AD1⊥A1D
且E为A1D的中点，AE＝a，
又：AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D＝A1
∴AE⊥平面A1DCB1
∴AE的长为所求距离，即a
（2）∵AB∥A1B1，A1B1平面A1DCB1，AB eq \o(,\\)平面A1DCB1
∴AB∥平面A1DCB1
由（1）知，AE⊥平面A1DCB1
∴所求距离为a
（3）∵EN为△A1DC的中位线
∴ENDC，ENAB
即ENAM且∠EAB＝900
∴四边形AMNE为矩形
∴MN⊥AB，AE∥MN
由（1）知，AE⊥平面A1DCB1
∴MN⊥平面A1DCB1 又：A1C平面A1DCB1
∴MN⊥A1C
∴MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，MN＝AE＝a
例2：已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB︰CD＝4︰6，AB到α的距离为10cm，求梯形对角线的交点O到α的距离。
解：过B作BE⊥α＝E，连结DE
过O作OF⊥DE
∵AB∥CD，AB eq \o(,\\)α，CDα，
∴AB∥α，又BE⊥α
∴BE即为AB到α的距离，BE＝10cm且∠BED＝900
∵OF⊥DE ∴OF∥BE得 ＝
∵AB∥CD ∴△AOB∽△COD
∴＝＝， 得＝＝
又：＝，BE＝10cm
∴OF＝×10＝6（cm）
∵OF∥BE，BE⊥α
∴OF⊥α，即：OF即为所求距离为6cm。
例3：已知直线a⊥b，b⊥α，a eq \o(,\\)α，求证：a∥α
略证：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则
b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′
作平面β，设α∩β＝a′
∵b′∥b，a⊥b ∴a⊥b′
∵b⊥α，b′∥b ∴b′⊥α
又∵a′α ∴b′⊥a′
由：a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′
∴a∥α
例4：（备用）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，（1）求证：BD1⊥平面B1AC
（2）求B到平面B1AC的距离。
（1）证明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C
∴B1C⊥面ABC1D1 又：BD1面ABC1D1
∴B1C⊥BD1
∵B1B⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥面BB1D1D 又：BD1面BB1D1D
∴AC⊥BD1
∴BD1⊥平面B1AC
（2）解：∵O∈BD
∴连结OB1交BD1于E
又O∈AC， ∴OB1面B1AC
∴BE⊥OE，且BE即为所求距离
∵＝
∴BE＝·OB＝ eq \f(a,a) · a＝a
课堂小结：
充分发挥空间想象能力，灵活运用定理解决具体问题。
课后作业：
课本P38 习题第10，11，12题.
预习内容： P35~P37
预习提纲
（1）平面外一点和平面内各点连线构成的线段有几种？
（2）这些线段之间关系如何？
（3）直线和平面成角的范围，性质如何？第24课时 两个平面垂直的判定和性质
教学目标：
使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。
教学重点：
两个平面垂直的判定、性质。
教学难点：
两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。
教学过程：
1．复习回顾：
1）二面角、二面角的平面角.
2）求作二面角的平面角的途径及依据.
2．讲授新课：
［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.
请同学给两个平面互相垂直下一定义：
［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.
师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.
平面α和β垂直，记作α⊥β
［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.
［生］两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
［师］请两位同学给出分析，证明.
［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB α
求证：α⊥β.
分析：要证α⊥β
需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.
证明：设α∩β＝CD，则由AB α知，AB、CD共面.
∵AB⊥β，CDβ
∴AB⊥CD，垂足为点B
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.
又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.
∴α⊥β.
［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？
［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.
［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：
线面垂直面面垂直
两个平面垂直的性质：
［师］在所给正方体中，下式是否正确
①平面ADD1A1⊥平面ABCD
②D1A⊥AB
③D1A⊥面ABCD
［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB 面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADD1A1
②∵AB⊥面ADD1A1，D1A 面ADD1A1
∴AB⊥D1A
③∵AA1⊥面ABCD
∴AD1与平面ABCD不垂直
［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？
判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.
请同学予以证明.
［生］证明过程如下：
已知：α⊥β、α∩β＝a, ABα，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B
则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角
由α⊥β可知，AB⊥BE
又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线
∴AB⊥β.
［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用.
例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.
求证：aα.
［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线bα然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.
［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β ∴b⊥β，而a⊥β，P∈a
因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.
所以直线a应与直线b重合.
那么aα.
［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.
例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明
理由.
［生］可从多角度解决该题.
解法一：∵VC⊥面ABC，AC?面ABC，BC 面ABC
∴VC⊥AC，VC⊥BC
则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.
因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°
∴面VBC⊥面VAC
又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC
而AC⊥VC即DE⊥VC
那么DE⊥面VBC.
［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质
转化关系：二面角是直二面角?面面垂直?线面垂直.］
解法二：因VC⊥面ABC，AC面ABC
∴VC⊥AC
又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC
由此AC⊥面VBC
而D、E是VA、VC中点，DE∥AC
故DE⊥面VBC.
［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.
转化关系：线垂直面线垂直面内线
线垂直面与此线平行的线也垂直平面.］
解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC
（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）
3．课堂练习：
课本P47 练习2，3，4.
4．课时小结：
（1）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.
（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.
（3）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用.
5．课后作业：
课本P47 6，7，8第12课时 异面直线（三）
教学目标：
熟练掌握反证法的证题步骤，会用反证法证明简单的问题，掌握异面直线的证明方法；通过对简单问题的证明，使学生掌握证题规律、方法和步骤，并从中学会认识事物、分析问题、转化矛盾.
教学重点：
反证法、异面直线的证明
教学难点：
反证法、异面直线的证明.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上，通过具体问题，讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算.清楚了求角、求距离的关键是——
［生甲］求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点，通过平移，把异面直线所成的角化为相交直线所成的角，然后在含这个角的某一三角形中，运用解三角形的知识，求得角的大小.
［生乙］求异面直线的距离，关键是找到含公垂线段在内的某一三角形，仍是运用解三角形的知识，求得线段的长.
［生丙］角所在的三角形，线段所在的三角形，都要能较好的联系已知，这两类问题解决的方法都是将空间问题化成了平面问题.
［师］好！对这两类问题的解法，同学们都要切实增强化归意识，理清化归思路，具体问题具体分析，设法使所求与已知产生联系，寻求到好的解题途径.这节课我们来讨论异面直线的证明.
Ⅱ.新课讨论
［师］关于异面直线的证明，常用反证法，请同学们回忆一下，反证法是怎样的一种推理方法？
［生］反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法.
［师］反证法证题的步骤是怎样的？
［生］首先假设结论的反面成立，其次在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾(与已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等)，第三否定假设肯定结论.
［师］好！下面我们来看个例子.
［例1］求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面
直线.
［师］为了证题过程表述的方便，先把文字语言写成符号语言.
［生］已知：aα、Aα、B∈α、Ba.
求证：直线AB和a是异面直线.
［师］观察原题、图形，已知、求证写得正确吗？
［生］正确.
［师］好.下面我们一起用反证法来给出证明.
证明：假设直线AB和a共面于β.
即ABβ，aβ 于是A∈β，B∈β
∵aα，B∈α，Ba
∴过a和B有且仅有一个平面
于是α与β是同一平面，即α＝β
由假设知A∈β，∴A∈α这与已知Aα矛盾
∴假设错误，故直线AB与a是异面直线.
［例2］已知α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，cα，c∥a，求证b、c是异面直线.
［师］仍然采用反证法来证.请同学动手证明(教师巡视，
发现有两种证明方法，指派各一人板书于黑板上).
证法一：假设b、c共面于γ，则bγ，cγ
∵A∈b，bγ，∴A∈γ，即cγ，A∈γ
∵A∈a，a∥c，∴Ac，且cα，A∈α
而经过直线c与其外一点A的平面有且只有一个.
∴α与γ重合.
∵aα，α与γ重合，∴aγ.
又bγ且a∩b＝A
∴a、b是γ内的两条相交直线.
由已知，a、b是β内的两条相交直线.
而经过两条相交直线a、b的平面有且只有一个
∴β与γ重合，又α与γ重合
∴α与β重合，这与α∩β＝a矛盾.
∴假设错误，故b、c是异面直线.
证法二：假设b、c共面，则b∥c或b、c相交
若b∥c，又a∥c，
∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾.
若b∩c＝P，又cα，bβ，
∴P∈α∩β＝a，∴a∩c＝P，这与a∥c矛盾.
由上可知，b、c既不平行又不相交
∴b、c是异面直线.
［师］由上面两题的证明可以看出，在假设的基础上，按照正确的推理，都要推出矛盾，这是反证法证题必然出现的结果.之所以出现矛盾，原因都是假设错误，因而才有否定假设，才能肯定结论之说.至于究竟与什么矛盾，这要在假设的基础上，即把假设作为一个条件，理清思路，再去推理，千万不能漫无目标，信手做来.反证法证题三步曲，推出矛盾是反证法证题的关键所在.
［例3］如图，不共面的三条直线a、b、c相交于点O，点M∈a，点N∈b，点Q∈b，N、Q不是同一点，点P∈c.
求证：MN与PQ异面
［师］请同学们来讨论、分析怎样进行证明？
(学生讨论、分析之后让学生汇报讨论结果.汇报时，要求其余
学生注意听，待汇报完毕，再让其他学生补充，必要时，教师再作
提示，直至分析完整为止.)
证明：假设MN与PQ共面于α，
则M、N、P、Q∈α， 又Q、N∈b，∴bα
又O∈b，∴O∈α 又P∈α，∴cα
同理aα，∴a、b、c共面. 这与已知a、b、c不共面矛盾.
∴假设错误，故MN、PQ是异面直线.
Ⅲ.课堂练习
已知：平面α∩β=l，A∈l、D∈l、ACα，BDβ.
求证：AC和BD是异面直线.
证明：假设AC与BD共面于γ
∵A、D、C既在γ内又在α内，且A、D、C三点不共线
∴α与γ重合.
∵A、B、D既在γ内又在β内，且A、B、D三点不共线.
∴β与γ重合.
综上α与β重合，这与α∩β＝l矛盾.
∴假设错误，故AC和BD是异面直线.
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了异面直线的证明，应用的方法是反证法，请同学们注意，反证法证题的三步曲是：第一步，假设结论的反面成立；第二步，在假设的基础上，按照正确的推理，推出矛盾；第三步，否定假设，肯定结论.三步曲中，关键是第二步，它是反证法证题的核心所在，至于与什么矛盾，要认真做好分析，不能盲目乱推，造成到处碰壁的局面.关于哪些命题宜用反证法来证.这里又补充进了一个内容：异面直线的证明一般用反证法来证.
Ⅴ.课后作业
(一)补充
1.a、b是异面直线，且分别在平面α、β内，α∩β＝l.求证：a、b至少有一条与l相交.
证明：假设a、b都与l不相交.
∵aα，lα，∴a∥l同理b∥l
∴a∥b，这与a、b是异面直线矛盾.
∴假设错误，故a、b中至少有一条与l相交.
2.如图，a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，E、F分别
是线段AC和BD的中点，判断EF与a、EF与b的位置关系，
并证明你的结论.
证明：假设EF与a共面于α
则EFα，ABα ∴A、B、E、F∈α
∴EA、FBα，则A、B、C、D∈α
∴CDα，ABα，即a、b共面
这与已知a、b是异面直线矛盾.
∴假设错误，故EF与a是异面直线.
同理可证：EF与b也是异面直线
3.求证：空间四边形的两条对角线是异面直线.
已知：ABCD是空间四边形.
求证：AC、BD是异面直线.
证明：假设AC、BD不是异面直线，即AC、BD共面于α
则ACα，BDα
∴A、B、C、D∈α
即A、B、C、D都在平面α内.
这与ABCD是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)相矛盾.
∴假设错误，故AC、BD是异面直线.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是正方形ABB1A1、BCC1B1的中心.
(1)求证：A1Q与D1P是异面直线；
(2)求异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值.
(1)证明：连结A1B、BC1、A1C1，
则P∈A1B，Q∈BC1 ∴A1Q面A1BC1
∵P∈A1B，A1B面A1BC1 ∴P∈面A1BC1
又D1面A1BC1，PA1Q.
由过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
∴D1P与A1Q是异面直线.
(2)解：设BQ的中点为R，连结PR，
则PR∥A1Q
∴D1P与PR所成的锐角(或直角)为异面直线D1P与A1Q所成的角.
连结D1R，在Rt△D1C1R中
D1R2＝D1C12＋C1R2
设正方体的棱长为a.
则D1R2＝a2＋(a)2＝a2(因为Q是BC1的中点，R是BQ的中点)
在Rt△D1A1P中，
D1P2＝D1A12＋A1P2＝a2＋(a)2＝a2
在Rt△A1QB中，
A1Q＝
而D、R分别为A1B、BQ的中点
∴PR＝A1Q＝a
∴cosD1PR＝＜0.
故异面直线A1Q与D1P所成角的余弦值为 .
5.S是矩形ABCD所在平面外的一点，SA⊥BC、SB⊥CD、SA与CD成60°角，SD与BC成30°角，SA＝a.
(1)求证：AD是异面直线SA、CD的公垂线段，
并求SA与CD之间的距离；
(2)求证：AB是异面直线SB、AD的公垂线段，
并求SB与AD之间的距离.
证明：(1)在矩形ABCD中，BC∥AD
∵SA⊥BC，∴SA⊥AD. 又CD⊥AD，
∴AD是异面直线SA与CD的公垂线段.
其长度为异面直线SA与CD的距离.
在Rt△SAD中，
∵∠SDA是SD与BC所成的角 ∴∠SDA＝30°
又SA＝a ∴AD＝a.
(2)在矩形ABCD中，AB∥CD
∵SB⊥CD，∴SB⊥AB 又AB⊥AD
∴AB是异面直线SB、AD的公垂线段.
其长度为异面直线SB与AD的距离.
在Rt△SBA中，∵∠SAB是SA与CD所成的角
∴∠SAB＝60° 又SA＝a
∴AB＝acos60°＝a
即直线SB与AD的距离为 a.
(二)1.预习课本直线与平面的位置关系、直线和平面平行的判定至例1结束.
2.预习提纲
(1)直线和平面平行的定义是什么？
(2)直线和平面的位置关系有几种？各有什么特征？
(3)直线在平面外是不是可以断定直线和平面平行？
(4)直线和平面的各种位置关系用图形语言怎样表示？用符号语言怎样表示？
(5)直线与平面平行的判定定理是什么？
(6)直线与平面平行应具备几个条件？第2课时 圆柱、圆锥、圆台和球
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾高一数学月考试卷 12.17
说明：试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知U＝{x∈R|－1≤x≤3}，A＝{x∈R|x2－2x－3＜0}，B＝{x∈R|x2－2x－3＝0}，C＝{x|－1≤x＜3}，则有
A.CUA＝B B.CUB＝C C.CUAC D.AC
2.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为
A.18 B.30 C. D.28
3.在直角坐标系中，函数y＝|x|的图象
A.关于对称轴、原点均不对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
4.若f(x)＝ ，则方程f(4x)＝x的根是
A. B.－ C.2 D.－2
5.设函数f(x)是（－∞，+∞）上的减函数，则
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)6.已知函数y＝f(x)(x∈［a，b］)，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈［a，b］}∩{(x，y)|x＝2}中所含元素的个数为
A.1 B.0 C.0或1 D.1或2
7.函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是
A. R B.［8，+ C.(－∞，－ D.［－3，+∞)
8.设有两个命题①关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，②函数f(x)＝
－(5－2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是
A.(－2，2) B.(－∞，2) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2］
9.下列说法正确的是
A.平面α和平面β只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面
C.不共面的四点中，任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合
10.在立体几何，以下命题中真命题个数为
①垂直于同一直线的两直线平行 ②到定点距离等于定长的点的轨迹是圆 ③有三个角是直角的四边形是矩形 ④自一点向一已知直线引垂线有且只有一条
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.若Rt∠ABC的边AB与平面α平行，另一边BC与α斜交，则∠ABC在α上的射影是
A.钝角 B.直角 C.锐角 D.一条射线
12.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是
A.过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行
B.过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交
C.过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行
D.过a可以并且只可以作一平面与b平行
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13.函数y＝的最大值是______.
14.若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.
15.方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝______.
16.当x∈(1，2)，不等式(x－1)217.已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出两组判断：第一组①a⊥b②a∥b;第二组③c⊥d④c∥d，分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题 .
18.α、β、γ是三个平面，a、b是两直线，有下列三个条件
①α∥γ，bβ ②a∥γ，b∥β ③b∥β，aγ
命题“α∩β＝a，bγ，且 ，则a∥b”是真命题，则所有可以在横线处填入的条件的序号是 .
三、解答题（本大题共5小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分12分）（1）已知x+x＝3，求的值
（2）已知lg(x＋y)＋lg(2x＋3y)－lg3＝lg4＋lgx＋lgy，求 值
20.（本小题满分13分）已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α
（2）若AB＝4，EF＝，CD＝2，求AB与CD所成角大小.
21.（本小题满分13分）某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具 途中速度（千米/小时） 途中费用（元/千米） 装卸时间（小时） 装卸费用
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 1800
问如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小.
22.（本小题满分14分）如图，几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点.求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD.
23.(本小题满分14分)已知y＝log4(2x＋3－x2)
（1）求定义域；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
高一数学月考试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D A D C C D C A B D
二、填空题
13. 4 14. －＜a＜ 15. －1 16. (1，2) 17. 若a∥b，则c∥d 18. ①③
三、解答题：
19．（1）已知x+x＝3，求的值
（2）已知lg(x＋y)＋lg(2x＋3y)－lg3＝lg4＋lgx＋lgy，求 值
【解】（1） ∵x＋x＝3
∴x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝33－3×3＝18
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝［(x＋x)2－2］2－2＝(32－2)2－2＝47
∴原式＝＝
（2）由题意可得x>0，y>0，由对数运算法则得
lg(x＋y)(2x＋3y)＝lg(12xy) 则(x＋y)(2x＋3y)＝12xy
(2x－y)(x－3y)＝0 即2x＝y或x＝3y
故 ＝或 ＝3
20.已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α
（2）若AB＝4，EF＝，CD＝2，求AB与CD所成角大小.
（1）【证明】 连结AD交α于G，连GF
∵AB∥α，面ADB∩α＝GFAB∥GF
又∵F为BD中点 ∴G为AD中点
又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α＝EG
E为AC中点，G为AD中点
∴EG∥CD
（2）【解】 由（1）证明可知：
∵AB＝4，GF＝2，CD＝2
∴EG＝1，EF＝
在△EGF中，由余弦定理得：cosEGF＝－
∴∠EGF＝120° ∴AB、CD所成角为60°
21.某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具 途中速度（千米/小时） 途中费用（元/千米） 装卸时间（小时） 装卸费用
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 1800
问如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小.
考查函数的实际应用及解决问题的能力.
【解】 设两地相距x公里，汽车总费用为y1元，火车总费用y2元，则
y1＝(＋2)300＋8x＋1000＝14x＋1600
y2＝(＋4)300＋4x＋1800＝7x＋3000
又y1－y2＝7x－1400,故
（1）当x>200时，y1－y2>0，y1>y2，选火车
（2）当0（3）当x＝200时，y1＝y2，费用一样
22.如图，几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点.求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD.
【证明】 （1）取AB中点G，连结CG、FG.
∵F为EB中点，
∴四边形FGCD为平行四边形
∴DF∥CG，又CG面ABCDF∥面ABC
（2）∵△ABC为正三角形，G为AB中点.
23.已知y＝log4(2x＋3－x2)
（1）求定义域；（2）求f(x)的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.
考查对数函数、二次函数的单调性、最值.
【解】 （1）由2x+3－x2>0，解得－1∴f(x)定义域为{x|－1(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u
由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4
再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,
又y＝log4u为(0，+∞)增函数，
故该函数单调递增区间为（－1，1），减区间为［1，3］
（3）∵u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4
∴y＝log4u≤log44＝1
故当x＝1时，u取最大值4时，y取最大值1.3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线经过两点,求直线的方程.（2）已知两点其中，求通过这两点的直线方程。 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）（2）教师指出：当时，方程可以写成由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
2、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？ 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：。
问 题 设计意图 师生活动
3、例3 教学 已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程： 教师指出：的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
5、课堂练习 第102页第1、2、3题。 学生独立完成，教师检查、反馈。
6、小结 增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。 教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。 学生课后完成两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
(一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(二)能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
(三)学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94 练习 1. 2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
布置作业
P94 习题3.1 5. 8.
板书设计第9课时 平行直线（二）
教学目标：
使学生了解并掌握等角定理及其推论；通过对等角定理证题思路的分析，帮助同学进一步熟悉分析法、综合法，提高同学的解题能力；会应用等角定理及其推论证明简单的几何问题；使学生认识事物之间的相似性和变异性，培养学生科学的严谨态度。
教学重点、难点：
等角定理及其推论.
等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法。
教学过程：
1．复习回顾：
［师］上节课我们讨论了空间两条直线的位置关系和平行公理，请同学们回忆一下，空间两条直线的位置关系有几种，其特征各是什么？平行公理的具体内容是怎样的？
［生甲］空间两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、异面，它们各自的特征是：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.
［生乙］平行公理是：平行于第三条直线的两条直线互相平行.
［师］好！同学们的回答完全正确.我们来看这样一个问题：
（如图）在正方体AC1中，求证BC1 AD1.
分析：要想证明BC1 AD1，只要证明——
［生］只要证明四边形ABC1D1是平行四边形就
行了.（学生若答不出来，教师可做必要的提示、诱导）.
［师］怎样证明四边形ABC1D1是平行四边形呢？
［生］只要证明C1D1 AB就行了.
［师］怎样证明C1D1 AB呢？
［生］因为C1D1 A1B1,AB A1B1，由平行公理C1D1 AB.
［师］至此，我们找到了证明的思路，请一位同学在黑板上写出证明过程，其余同学在下面自己整理，写出证明.
证明： eq \b\lc\{(\a\al(C1D1 A1B1 ,AB A1B1)) C1D1 AB四边形ABC1D1是平行四边形BC1 AD1
［师］通过刚才的分析与证明，我们是否可类似地说正方体中AB1 DC1呢？
［生］（观察，答）可以.
［师］为什么？
［生］道理与刚才的证明相同.
［师］可不可以说，正方体相对两个面上的同向或逆向的两条对角线平行且相等呢？
［生］可以.
［师］大家再观察一下，正方体上的哪些棱是平行且相等的呢？
［生］……（让学生答一答是有好处的）.
［师］到今天为止，我们学习立体几何已有好几天了，大家是否想过：直线有长短吗？平面有大小吗？
［生］直线没有长短，它是向两个方向无限伸长的，平面没有大小，它是向四面无限扩展的.
［师］直线不仅没有长短，而且没有粗细；平面不仅没有大小，而且没有厚薄，同样的点没有大小.大家再考虑一下，确定一条直线的条件是什么？确定一个平面的条件是什么？
［生］两点确定一条直线；不在同一直线上的三点确定一个平面，直线与它外面的一点确定一个平面，两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面.
［师］很好！平行的传递性在平面内是成立的，在空间也是成立的，这就是我们学行公理，也可以说平行的传递性从平面推广到空间仍是成立的.
在平面几何中，顺次连结四边形各边的中点，可以得到一个平行四边形，昨天我们做的一个作业题，顺次连结空间四边形各边的中点，同样也可以得到一个平行四边形，这个可不可以说也是从平面到空间的一个推广呢？
［生］可以.
［师］从上面的这些例子可以看出，有些平面图形的性质，可以推广到空间图形中来，这种根据事物的特性，由已知性质推导出未知性质的方法叫类比法，类比法是人类发现真理的一种重要方法.
［师］大家再来看这样一个问题：在平面几何中，我们学过这样一个定理：“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”，这个定理能不能推广到空间图形呢？
（学生不知该怎样回答）
［师］今天我们就来讨论这个问题.
2．新课讨论：
［师］请大家先用竹签比试比试.看这两个角是否相等.
（学生动手、观察）
［师］一艘大货轮与一只小船在大海中都向东北方向航行，他们前行的方位角怎样呢？
（学生思考，通过动手演示、观察，实例思考，不难从感性上对这个命题加以肯定）.
［师］我们已观察到“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，（板书定理）现在让我们从理论上对这个命题加以证明.
已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥
A′B′且方向相同，即的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即
的方向相同）.
求证：∠BAC＝∠B′A′C′.
分析：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，
在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个
角不在同一平面内的情形.
［师］在平面几何中，要证明两个角相等，我们用过哪些方法？
（学生回忆、思考、发言）
［生］对顶角相等；
同腰三角形的两底角相等；
平行线中的同位角（或内错角）相等；
全等三角形的对应角相等；
相似三角形的对应角相等，等等.
［师］现在∠BAC与∠B′A′C′是不在同一平面内的两个角，如何证明它们相等呢？
（同学们议论、发言）
［生］因为它们不是对顶角，也不是同一个三角形的两个角，因而不能用“对顶角相等”或“等腰三角形的两底角相等”来证明，它们不在同一平面内，因而也不可能是同位角或内错角，因此也就不能用平行线的性质去证明.考虑能不能用全等三角形或相似三角形的性质来证.
［师］××同学的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性质证.首先得有三角形，而现在的图中仅是两个角，为此需要以这两个角为基础，构造出两个三角形，既然是要构造三角形，干脆从全等考虑好了.
在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结DE、
D′E′，得到△ADE和△A′D′E′
我们来看这两个三角形是否全等.
［生］这两个三角形已经有两条边对应相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一个条件两个三角形就能全等了.
［师］再找个什么条件呢？找角虽然不可能.若能，我们的问题就解决了，还麻烦什么呢？那就只有集中精力证DE＝D′E′了.大家看怎样来证明DE＝D′E′呢？DE、
D′E′孤零零的两条线段，没有联系，怎样证呢？
［生］（受到孤零零，找联系的启示）添辅助线将DE、D′E′联系起来，连结
DD′、EE′，若能证明DEE′D′是平行四边形就好了
［师］怎样证明四边形DEE′D′是平行四边形呢？大家再想想办法看.
［生］只要证明DD′EE′就行了.
［师］要想证明DD′EE′，还得再找一个“媒介”.能否再找到一条线段，使DD′、EE′都和它平行并且相等呢？
（同学们观察图形、思考分析）
［生］连结AA′.在四边形AA′E′E中，因为AE=A′E′，AE∥A′E′,所以四边形AA′E′E是平行四边形，所以EE′AA′，同样道理
可得DD′AA′，由平行公理DD′EE′.
［师］至此，问题得到解决，请同学们再把思路理一理，写出定理的证明过程.
（学生再看题，理顺思路，整理信息，请一位同学将证明过程板书于黑板上）
证明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分别截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，连DE、
D′E′，连DD′、EE′、AA′.
［师］通过理论上的证明.我们说“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等”，无论在平面，还是在空间都是成立的.
把上面两个角的两边都反向延长，可得出下面的推论：
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行.那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
［师］请同学们注意：这个定理及其推论对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的.平面图形的性质可以推广到空间图形的例子，尽管我们举了数个，但并不是所有平面图形的性质都可以推广到空间图形中来.例如，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，但在空间，垂直于同一条直线的两直线可以平行，也可以相交，还可以是异面直线.以后当我们学习了更多的空间图形的性质就会发现，还有许多平面图形的性质不能推广到空间图形.由此可见，根据事物的相似性，我们可以用类比的方法推导出许多新的性质.但又不能滥用类比，若忽视了事物的变异性，就会产生错误的推理，这是在推理过程中需要特别注意的地方.一般地说，要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。
3．课堂练习：
课本P26练习.
4．课堂小结：
本节课我们讨论了等角定理及其推论，它是我们学习后续知识的基础.对于等角定理，特别要注意条件的把握——对应的两边分别平行并且方向相同.（方向完全相反、方向一同一反，结论是怎样的，请同学们下去自行探讨）另外要注意，平面图形的性质并不是都可以推广到空间的，这点绝不能忽视.
5．课后作业：
1、E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设AC＋BD＝a，AC·BD＝b，求EG2＋FH2的值。
2、如图，已知棱长为a的正方体ABCD——A1B1C1D1中，M、N分别是DC、DA的中点。
（1）求证：四边形MNA1C1是梯形
（2）求四边形MNA1C1的面积。
1.预习课本P26~P28
2.预习提纲
（1）异面直线的概念.
（2）异面直线怎样画、关键显示什么？
（3）异面直线所成角的定义是什么？
（4）异面直线所成角的范围是怎样的？
（5）怎样的两条异面直线互相垂直？
（6）互相垂直的两异面直线怎样表示？
（7）两条异面直线的公垂线的定义是什么？
（8）两条异面直线的公垂线有什么特征？
（9）两条异面直线的公垂线有几条？
（10）两条异面直线的距离的定义是什么？
思考与练习：
1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，但方向都相反，这两个角关系怎样？试画图并证明.
提示：证明方法与等角定理的证法相同.
2.空间的两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是_______.
答案：相等或互补
3.在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角的大小关系是_______.
答案：不能确定
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相同？
∠CBB1的两边与哪个角的两边平行且方向相反？∠CBB1的两边和哪个角的两边平行，且一边方向相同而另一边方向相反？
答案：∠CBB1与∠DAA1的两边平行且方向相同；
∠CBB1与∠DD1A1、∠CC1B1的两边平行且方向相反；
∠CBB1与∠ADD1、∠AA1D1的两边平行，
且一边方向相同而另一边方向相反.
5.如图，已知线段AA′、BB′、CC′相交于O，
且.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∽△AOB
△ABC∽△A′B′C′.4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ 启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课． 师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课．生：看图，并说出自己的看法．
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？ 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想．
问 题 设计意图 师生活动
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系．
3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力． 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？ 抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法． 师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．
5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？ 体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系． 师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．
6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤． 生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？ 进一步深化“数形结合”的数学思想． 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．通过例2的学习，你发现了什么？ 明确弦长的运算方法． 师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4． 巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系． 师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
作业：习题4．2A组：1、3．第25课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（一）
教学目标：
使学生在掌握定理的基础上，充分发挥空间想象能力，联系所学内容进行推理、论证，培养学生严密的推理能力。
教学重点、难点：
问题的分析、论证。
教学过程：
复习有关的定义、定理。
例1：已知两条异面直线a、b所成角为θ，其公垂线段AA1＝d，在a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求EF的长。
解析：设经b而与a平行的平面为α，线AA1及线a确定的平
面为β
α∩β＝c
∵a∥α，∴a∥c
那么b、c所成角就是异面直线a、b成角.
∵AA1⊥a，AA1⊥c，则AA1⊥α
故α⊥β
经E作EG⊥C于G，则EG⊥α
连GF、EG⊥GF，EG＝AA1＝d
那么在△GAF中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ
在△EGF中，EF2＝EG2＋FG2＝d2＋FG2
故EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ
当F在另一侧（AA1另一侧）
EF2＝d2＋m2＋n2－2mncos（180°－θ）
＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ
故EF＝.
评述：在该题解决过程中，从平面的性质，到面面垂直、线面垂直涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任两点距离问题，通过平面α、平面β转化为平面问题.
公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的.
例2：已知α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ
求证：l⊥γ
证明：在l上取点P，过P作l′⊥γ
∵α∩β＝l ∴P∈α，P∈β
又：α⊥γ，β⊥γ
∴l′α，l′β
∴l′＝α∩β 而α∩β＝l
∴l′与l重合 ∴l⊥γ
证法二：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，分别在α、β内作a⊥m，b⊥n，且a、b都过所在平面内l外一点
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a⊥γ，b⊥γ
∴a∥b 又：a eq \o(,\\)β，bβ
∴a∥β 又：aα，α∩β＝l
∴a∥l ∴l⊥γ
证法三：证法二中过l上一点P作a、b，则可证a、b重合。
证法四：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，
在γ内取一点P，并在γ内过P分别作m、n的垂线a、b
∵α⊥γ，β⊥γ ∴a⊥α，b⊥β
∴l⊥a，l⊥b
又：a∩b＝P，a、b γ ∴l⊥γ
例3：如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）求二面角C－BD－A的余弦值。
（1）证法一：由题设知AD＝CD＝BD
作DO⊥平面ABC，O为垂足，
则OA＝OB＝OC
∴O是△ABC的外心，即AB的中点
∴O∈AB，即O∈平面ABD
∴OD平面ABD ∴平面ABD⊥平面ABC
证法二：取AB中点O，连结OD，OC
则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C－AB－D的平面角。
设AC＝a，则：OC＝OD＝a
又：CD＝AD＝AC ∴CD＝a
∴△COD是Rt△，即∠COD＝900
∴二面角是直二面角，即面面垂直。
（2）取BD中点E，连结CE、OE、OC
∵△BCD为正三角形， ∴CE⊥BD
又△BOD为等腰直角三角形 ∴OE⊥BD
∴∠OEC为二面角C－BD－A的平面角
同（1）可证OC⊥平面ABD
∴OC⊥OE ∴△COE为直角三角形
设BC＝a，则CE＝a，OE＝a
∴cos∠OEC＝＝ 即为所求
课堂小结：
熟练运用定义、定理的内容，并由此进行分析、论证。
课后作业：
课本P48 10，11，12第21课时 两个平面平行的判定和性质
教学目标：
使学生掌握两个平面的位置关系，两个平面平行的判定方法及性质，并利用性质证明问题；注意等价转化思想在解决问题中的运用，通过问题解决、提高空间想象能力；通过问题的证明，寻求事物的统一性，了解事物之间可以相互转化，通过证明问题、树立创新意识。
教学重点：
两个平面的位置关系，两个平面平行的判定和性质。
教学难点：
判定定理、例题的证明，性质定理的正确运用。
教学过程：
1．复习回顾：
师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理.
性质定理 归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题.
立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题，二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会.
下面继续研究面面位置关系.
2．讲授新课：
1.两个平面的位置关系
除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系.
［师］观察教室前后两个面，左、右两个面及上下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的.
［师］打开教材一个是竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线.
观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线.
结合生观察教室的结论、引导其寻找平面公共点，然后给出定义.
定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行.
如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线.
两个平面的位置关系只有两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线.
［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β
2.两个平面平行的判定
判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何.
［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.
另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？
下面我们共同学习定理.
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：
若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β.
利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：
①有两条直线平行于另一个平面，
②这两条直线必须相交.
［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行?面面平行.
［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理.
例1：求证：垂直于同一直线的两个平面平行
已知：α⊥AA′,β⊥AA′
求证：α∥β.
分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线
与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键.
如果这样的线能找到问题也就解决啦.
诱导学生思考怎样找线.
［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题、证明如下：
证明：设经过AA′的两个平面γ、θ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′
∵AA′⊥α，AA′⊥β
∴AA′⊥a,AA′⊥a′
又aγ,a′γ ∴a∥a′, 于是a′∥a
同理可证b′∥a 又a′∩b′=A′ ∴α∥β.
［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有：这两个平面平行.用符号语言就可以表示为：
l⊥α，l⊥βα∥β.
此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义.2°判定定理.3°例1结论.
［师］请同学思考：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一面具有什么关系？
［生］通过作图可以发现，若平面α和平面β平行，则两面无公共点，那么也就意味着平面α内任一直线a和平面β也无公共点，即直线a和平面β平行.
用式子可表示为：α∥β，aαa∥β
用语言表述就是：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
［师］归纳总结.
此结论在以后的解决问题过程中可直接运用，既是面面平行的性质定理，又是线面平行的判定定理.
［师］如图，设α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我们研究两条交线a、b的位置关系.
［生］观察、分析可发现
因为α∥β，所以a、b没有公共点，
而a、b又同在平面γ内，于是有a∥b
［师］下面给出两个平面平行的性质定理.
两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b
求证：a∥b.
分析：师生共同活动
通过前面的学习，我们知道判定两线平行的途径有：
（1）利用定义：在同一平面内没有公共点的两条直线平行.
（2）运用公理：证明这两直线平行于同一直线.
（3）依据性质定理：线面平行的性质定理，如果一条直线平行于一个平面、经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行，线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行.
而题目中证明a∥b，a、b又同在平面γ内，且分别在两个平行平面内，因此本题的证明可利用方法（1）.
证明：∵平面α∥平面β
∴平面α和平面β没有公共点
又aα，bβ
∴直线a、b没有公共点
又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b
∴aγ，bγ
∴a∥b.
［师］同学们接下来研究两个平行平面内的所有直线是否都平行.
已知两个平面平行，依据性质定理：
一个平面内的任何直线都平行另一平面.
依据性质定理：若有第三个平面和两个平行平面相交，那么它们的交线平行，但是，能不能说两个平行平面内的所有直线都是互相平行的呢？如上图，α∥β，aα，bβ，可以看出：只有当a、b确定平面时，依据性质定理，a与b才平行，否则就不平行，直线a与b能相交吗？
［生］不能.这是因为，若a∩b=A ∵aα, ∴A∈α
又bβ，∴A∈β ∴α与β必相交
因此a、b不可能相交.
由此在两个平行平面内的直线，它们可能是平行直线，也可能是异面直线.
师引导学生得出结论：两个平行平面的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解决的问题是；在什么样的条件下两个平面平行，性质定理说明的问题是；在什么样的条件下两条直线平行，前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法.
［师］下面以例题说明性质定理在解决问题时作用.
例2：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A
求证：l⊥β.
［设法创造条件，找到平面γ，使之与平面α和平面β相交，使之可利用性质定理解决问题.］
证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a
因为b是平面α内任意一条直线，所以根据直线与平面垂直的定义，可知l⊥β.
［师］上述例2所证明的命题用符号表示就是α∥β,l⊥αl⊥β.
用转化的思想可解释为
面面平行、线面垂直?线面垂直
这是一个关于两个平面平行的性质的一个命题，可以用来判断直线与平面垂直.
4.两个平行平面的距离
［师］由线面距离，进一步研究面面距离，请同学归纳表述.
［生］（1）两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段. α∥β
如果AA′,BB′都是它们的公垂线段
那么AA′∥ΒΒ′
依两个平面平行的性质定理
有A′B′∥AB
那么四边形ABB′A′是平行四边形，AA′＝BB′
由此我们得到，两个平面平行，这两个平面的公垂线段都相等.
（2）两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
3．课堂练习：
课本P41练习1，2，3，4
4．课时小结：
本节课主要研究如何证明两个平面平行？其途径可以选择从公共点的角度考虑.但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”“平行”要求.例1也可作为结论直接运用；两个平面平行，即面面平行，可得，其中一面内的线平行于另一个平面，即线面平行；两个平面平行，即面面平行，可得，两个平面与第三平面相交，交线平行，即线线平行；求面与面距离可转化为线面距离，进而转化为点面距离。
5．课后作业：
课本P47 习题1、2、3、4、5.第20课时 斜线在平面内的射影习题课
教学目标：
使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。
教学重点、难点：
问题的分析、论证。
教学过程：
复习定义、定理。
例1：已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。
证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D
∵A A′⊥α，BCα
∴A A′⊥BC ∴BC⊥ A′D
∵tan∠BAD＝＜tan∠BA′D＝
tan∠CAD＝＜tan∠CA′D＝
∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D
∴∠BAC＜∠BA′C， 即∠BA′C是钝角。
推广：
（1）图中，若∠ABC、∠ACB均为钝角，则射影角较大。
（2）若∠ABC、∠ACB中有一钝角，则射影角较小。
（3）锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。
（4）角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。
例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且A A1＝5，B B1＝4，C C1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。
解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1
则△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且
CD＝CF＝BE设为a，
∴BC2＝a 2＋4，AC2＝a 2＋1，AB2＝a 2＋1
得：a 2＝2
∴BC＝＝
例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正切值。
解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心
作QP⊥OD
∵QP∥AO ∴QP⊥面BCD
连结CP，则∠QCP即为所求的角
设四面体的棱长为a，则：
正△ACD中，Q是AD的中点 ∴CQ＝a
∵QP∥AO，Q是AD的中点
∴QP＝AO＝ eq \r(a 2－(a)2) ＝a＝a
得：sin∠QCP＝＝
练习题：
如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α成300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝2，AB＝6
（1）求证：AB∥α；（2）求MN的长。
（1）证明：作A、B在
平面α上的射影A′、B′
连结MA′、NB′、
A′B′。
（1） （2）
在Rt△AMA′中，AM＝6，∠AMA′＝300，AA′⊥A′M
∴AA′＝AM＝3，同理：BB′＝BN＝3
∴AA′＝BB′且AA′∥BB′
∴四边形AA′B′B为平行四边形
∵AB∥A′B′，且AB eq \o(,\\)α ∴AB∥α
（2）解：∵AM⊥AB，AB∥A′B′ ∴A′B′⊥AM
又：A′B′⊥AA′，AM∩AA′＝A
∴A′B′⊥面AMA′ ∴A′B′⊥A′M
同理：A′B′⊥B′N ∴MA′∥NB′
又：MA′＝AM·cos300＝3
NB′＝BN·cos600＝
由（1）知，A′B′＝AB＝6
如图（1），则MN＝＝4
如图（2），则MN＝＝2
课堂小结：
注意空间想象和空间问题转化为平面问题的方法，并紧密联系有关的定义、定理等。
课后作业：第一章 立体几何初步
第一课时 棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
观察下面的几何体，它们有什么共同特点？
它们分别由一平面多边形按一定的方向平移而得《数学必修模块2教学研究》
海南省国兴中学 颜仁海 陆臻 许启良 韩勋
一、教学实录
（一）在本模块的教学中，对课标和教材所作的研究内容：
为了更好地组织实施好本模块的教学，我们高一年级数学备课组成员以问题为载体，主要对如下课题进行了研究：（1）课标中所提倡的教育理念是什么？；（2）新课标与原来的教学大纲有什么不同？（3）本模块的教学内容包括哪些，每一部分的教学内容是如何展开和深入的，它所需要达到的三维目标是什么？（4）新教材与旧教材比较，在内容和结构特征上都发生了哪些变化？为什么这样变化，它所要达到的目的是什么？（5）如何把握立体几何初步和平面解析几何初步的教学难度？
（二）本模块教学实际上所花费的时间及其原因
包括考试在内，完成《数学2》教学，我们一共花了44课时，比课程标准的要求多了8课时．其中的主要原因有：（1）学生基础薄弱；（2）教科书整体编排内容覆盖面过广且容量大；（3）虽然学生经过第一个学段的学习后，学习方式有了转变，但转变的幅度还不够大，还不能完全适应新课程的需要．为了面向全体学生，夯实学生基础，我们只好增加课时，稍微放慢了教学进度，尽可能让每个学生不但学会，而且会学和乐学．
（三）教学体会
第一 通过对《数学2》的教学，我们深切体会到它具有如下特色：
1、在内容安排上，通过研读课标和作新旧教材的如下对比，我们发现新课程《数学2》
中立体几何初步的内容体现了从整体到局部，从具体到抽象的原则．而旧教材这部分的内容遵循的是从局部到整体的原则．
全日制普通高级中学教科书（实验修订本．必修） 人教A数学2
第九章 直线、平面、简单几何体 一 空间直线和平面9．1 平面9．2 空间直线9．3 直线和平面平行的判定和性质9．4 直线和平面垂直的判定和性质9．5 两个平面平行的判定和性质9．6 两个平面垂直的判定和性质9．7 棱柱9．8 棱锥研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现9．9 球小结与复习 第一章 空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考 画法几何与蒙日1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题
同时在内容的难度要求上,《数学2》与旧教材比较，难度进行了降低，并且引入了合情推理．
《数学2》中解析几何初步的内容安排遵循了阶段性、螺旋式上行的原则，而旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则．
全日制普通高级中学教科书（实验修订本．必修） 人教A数学2
第七章 直线和圆的方程7．1 直线的倾斜角和斜率7．2 直线的方程7．3 两条直线的位置关系7．4 简单的线性规划7．5 研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用7．6 曲线和方程7．7 圆的方程7．8 小结与复习第八章 圆锥曲线方程一 椭圆二 双曲线三 抛物线 第三章 直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率探究与发现 魔术师的地毯3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考 笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章 圆与方程4．1圆的方程阅读与思考 坐标法与机器证明4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹（圆）小结复习参考题
2、突显“数学探究”和“数学文化”．从上表中我们不难发现《数学2》的这个特点．
3、所选择的素材贴近学生的生活实际，激发了学生学习数学的兴趣，并且在生活中自觉树立起了数学意识．如在第一章空间几何体中，习题1．2 B组第1题：右图是一个哑铃，说出它的几何结构特征，并画出它的三视图；1．3．2 球的体积和表面积中的例5：图1．3-10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花？；本章复习参教题A组第7题： 为了欢度新年，高一（1）班订购了一个三层大蛋糕，如果蛋糕外层均匀包裹着厚度为0．1cm，密度为0．7g/cm3的奶油,那么全班同学约吃掉多少克奶油？；又如4．2直线、圆的位置关系的引例问题：一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否受到台风的影响．4．2．3直线与圆的方程的应用一节中的例4以及课后练习题的第2和3题．这些素材，都较好地反映了学生的生活实际，我们发现学生通过学习《数学2》了以后，学生的应用意识得到进一步增强，实践能力得到进一步提高．
4、注重与各学科之间的融合．如
（1）与信息技术的．在教材中多处提到用信息技术探索数学问题，如习题3．1第6题：经过点（0，-1）作直线，若直线与连结A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，借助信息技术工具，找出直线的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．习题3．2B组第6题：用信息技术工具画出直线：，并在平面上取若干点，度量它们的坐标，将这些点的坐标代入，求它的值，观察有什么规律．习题4．1B组第3题：已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，先利用信息技术手段，探求点M的轨迹，然后求出它的方程．第四章复习参考题B组第6题：
已知圆C：直线．
①求证：直线过定点．
②运用信息技术，判断直线被圆C载得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值，以及最短长度．
在阅读材料中，根据需要穿插了“信息技术应用”栏目．
通过与信息技术的融合，提高了学生探索、发现和解决数学问题的能力，有利于学生认识数学的本质．
（2）与物理和化学的融合．如习题3．2A组的第6、第7和第11题等．通过与其他学科的融合，帮助学生在学习的过程中，自觉树立起了联系的观点，拓展了学生对问题的认识深度和广度，有利于学生体验数学作为基础学科的价值．
5、在教科书中，各节根据需要，开设了“思考”、“观察”和“探究”等栏目，把学生作为学习的主体来编排内容，符合新课程的理念．有利于学生开展自主和合作学习，实现教师教学和学生学习双重行为方式的转变．
6、在教材中所穿插的“阅读与思考”等内容，能很好地反映数学的历史、数学的应用和发展的最新信息，有利于帮助学生认识数学是人类文化的重要组成部分．
7、在编排方面．在每章均有章头图和引言，作为本章内容的导入，使学生对该章学习的内容产生悬念，发生兴趣，从而初步了解学习该章内容的必要性．
8、增加了教材旁注，并且多处提到解决问题的基本数学思想方法．如直线与平面平行判定定理的旁注：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）．紧跟着例1完了以后，又指出：今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可以断定已知直线与这个平面平行．这有利于提高学生自主学习的能力，使学生不但学会数学，而且会学数学．
第二 根据新课程的特色，我们积极探索和实践，转变教学方式，努力实现新课程理念和编者的意图：
1、认真研读课标，站在一个整体、全局的高度把握好教学的深浅度．
（1）从整套教材来看，几何教学、学习的要求不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的．
一共分为三个阶段：
第一阶段 必修课程: 数学2：
立体几何初步、解析几何初步．
第二阶段 选修系列1和系列2 ：
系列1和系列2：圆锥曲线与方程；
系列2：空间向量与立体几何．
第三阶段 选修系列3，4
系列3-1，数学史选讲中的部分专题：
2．古希腊数学
毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题．
欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响．
阿基米德的工作：求积法．
4．平面解析几何的产生——数与形的结合
函数与曲线．
笛卡儿方法论的意义．
7．千古谜题——伽罗瓦的解答
几何作图三大难题
系列3-3，球面上的几何；
系列3-5，欧拉公式与闭曲面分类；
系列3-6，三等分角与数域扩充；
系列4-1，几何证明选讲；
系列4-4，坐标系与参数方程
立体几何的学习也是分层次的：
第一层次：对几何体的认识，依赖于学生的直观感受，不做 任何推理的要求．
第二层次：以长方体为载体（包括其它的实物模型、身边的实际例子）
对图形（模型）进行观察、实验和说理．引入合情推理．
第三层次：严格的推理证明．如线面平行、垂直的性质定理的证明 ．
第四层次：空间向量与立体几何，用代数的方法研究几何问题．
为此，我们在教学时必须进行分阶段，分层次，多角度地教学，更多地关注学生学习的情感，防止学生对立体几何和解析几何的学习出现畏惧心理，丧失学习的信心．
（2）正确理解立体几何初步中，较容易处理的问题采用合情推理和综合方法处理，而较难处理的问题放在后面采用代数的方法（选修部分-空间向量与立体几何）的目的．一是有利于刚开始把更多的时间和精力放在培养学生空间感和对数学思想方法的掌握上．二是有利于化难为易，改变学生对立体几何的态度，建立起学生学好立体几何的信心．三是有利于加强了几何与代数的联系，培养学生数形结合的思想，完善学生对数学的认知结构．
2、在立体几何初步的教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想．
3、注重结合教材中的的阅读与思考，加强对学生进行数学文化的熏陶，开拓学生的视野，培养学生学习数学的热情。
4、利用“思考”、“观察”和“探究”等栏目，培养学生自主学习的能力和合作学习的精神，增强学生创新的意识．
第三 教师的教学和学生的学习所遇到的困难及克服方法
在本模块的教学和学习中，师生所遇到的困难主要有：1、教与学的深浅度不好把握；2、学生的课外辅导用书很多与课标的要求不相符合；3、整体编排内容覆盖面过广且容量大与课时少之间的矛盾；4、学生学习方式和方法还不能适应高中新课程的要求；5、学生用信息技术解决数学问题的能力比较弱．
所采取的克服方法：关于第1个困难的克服，上述已经谈及；关于第2个困难的克服，主要是向学生推荐好的学习资料；关于第3个困难的克服，主要抓住教学内容的本质、重点、难点和关键，正确把握好教学深浅度，有放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力，其次利用星期六进行适当辅导；关于第4个困难的克服，主要是通过开设学习方法讲座，向学生介绍自主学习的方式及方法；介绍高中数学的特点及应采取的学习方法；大力开展研究性学习活动；关于第5个困难的克服，主要是利用课余时间，加强对学生使用数学软件能力的培训．特别是让学生学会使用《几何画板》．
海南省国兴中学04级高一年级模块终结性考试
数学（2）
说明：本卷分第一卷和第二卷两部分．第一卷为选择题，第二卷为非选择题．考试时间：120分钟．全卷满分150分．
一、选择题（每小题4分，共48分，每小题只有一个正确答案）
1、直线的倾斜角是( )
（A）30° （B）120° （C）60° （D）150°
2、如图，平面不能用（ ） 表示．
（A） 平面α （B）平面AB
（C）平面AC （D）平面ABCD
3、点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是（ ）
（A） （B） （C）2 （D）
4、直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上，则k的值为（ ）
（A）1（B）2（C）（D）0
5、有下列四个命题：
1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面 4）两个相交平面把空间分成四个区域
其中错误命题的序号是（ ）．
（A）1）和2） （B）1）和3） （C）2）和4） （D）2）和3）
6、下列命题正确的是（ ）．
A、一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直
B、两条异面直线不能同时垂直于一个平面
C、直线倾斜角的取值范围是：0°<θ≤180°
D、两异面直线所成的角的取值范围是：0<θ<90°．
7、直线L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若L1∥L2,则a=( )
A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或-2
8、两直线3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．视M而定
9、如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，
那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．异面 D．相交但不垂直
10、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD
在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直
C． 异面 D．相交成60°
11、圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，
则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（ ）
A．1:(-1) B．1:2 C．1: D．1:4
12、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线方程是( )
A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0
C．3x-2y+1=0 D．x+2y+3=0
二、填空题（每小题4分，共4小题16分）
13、已知三点A（a,2） B(5,1) C(-4,2a)在同一条直线上，
则a= ．
14、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是 ．
15、在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,
沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为 ．
16、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．
三、解答题（共6大题，共74分）
17、(12 分 )写出过两点A(5,0)、B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．
18、(12 分 )已知，α∩β=m,b?α,c?β,b∩m=A,c∥m求证：b,c是异面直线．
19、(12 分 )△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
20、(12 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形
的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗
请用你的计算数据说明理由．
21、(12 分 )．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥平面B1D1DB;
求证：BD1⊥平面ACB1
求三棱锥B-ACB1体积．
22、为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m．
求直线EF的方程(4 分 )．
应如何设计才能使草坪的占地面积最大？(10 分 )．
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数学（2）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C D B B C B C D A A
二、填空题（每小题4分，共4小题16分）
13．2或 14． 3
15． 60° ， 16． 3:1:2
三、解答题（共6大题，共74分）
17、(12 分 )写出过两点A(5,0)、B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．
解：两点式方程：；
点斜式方程：，即；
斜截式方程：，即；
截距式方程：；
一般式方程：．
18、(12 分 )已知，α∩β=m,b?α,c?β,b∩m=A,c∥m求证：b,c是异面直线．
证明：假设与共面，则或与相交．
①若，由得，平行，这与矛盾
②若，∵，，故，，故必在、的交线上，即与相交于点，这与矛盾，故也与不相交．
综合①②知与是异面直线．
19、(12 分 )△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形．
解：作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系．
设，，，．
因为，
所以，由距离公式可得，
所以，为等腰三角形．
20、(12 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形
的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗
请用你的计算数据说明理由．
解：因为
因为
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
21、(12 分 )．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥平面B1D1DB;
求证：BD1⊥平面ACB1
求三棱锥B-ACB1体积．
(答案略)
22、为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m．
求直线EF的方程(4 分 )．
应如何设计才能使草坪的占地面积最大？(10 分 )．
解：（1）如图，在线段EF上任取一点Q，分别向BC,CD作垂线．
由题意，直线EF的方程为：
+=1
（2）设Q（x,20-x）,则长方形的面积
S=（100-x）[80-（20-x）] (0≤x≤30)
化简，得 S= -x2+x+6000 (0≤x≤30)
配方，易得x=5,y=时，S最大，其最大值为6017m2
试卷分析
本试题是以高考命制为基准，全卷满分150分，其中选择题12题共60分，填空题4小题共16分，解答题6小题共74分．
一、学生得分情况
本次考试共有599人参加，平均分为84．1分，90分以上有275人，及格率为45．9%，学生分段成绩及人数如下表：
分数段 50分以下 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100- 109 110- 119 120- 129 130- 139 140- 149 150
人 数 64 40 80 74 66 94 72 55 35 14 3 2
累 计 64 104 184 258 324 418 490 545 580 594 597 599
分数段人数条形统计图如下：
二、学生答卷情况
选择题答卷情况较好，大部分学生都能拿到40分以上，填空题的平均分为8分，第17题是考察学生对直线的方程形式的认识与应用，答题较好；第18题是考察学生对立体几何的掌握情况，大多数同学在解题过程中，不能准确应用立体几何语言阐述证题过程；第19题是考察学生对平面解析几何知识的初步应用，考生得分最低，原因是很多同学没有建立直角坐标系来解题；第20题是考察学生对几种几何体体积公式的理解与几何体间等体积的转化，效果较好；第21题是考察学生对立体几何中线与线、线与面间的关系的掌握情况，同时考察学生对几何体体积公式中各种元素对几何体体积的影响，第（1）、（2）小题答题较好，第（3）小题的答题情况一般，原因是学生不善于观察几何图形而苦苦寻找公式中的元素，故得分较低；第22题是考察学生构建函数解决现实问题的能力，学生得分较高．
三、反思
本次命题主要考察学生的运算、分析问题、空间想象、逻辑思维等等能力．在命题的过程中，我们试图通过试题的命制和考试来发现学生对基础知识掌握的情况，并以此为基础，重新给学生的学习能力进行定位，并通过考试成绩来制定下个学段的教学目标．有了这一层的指导思想，故在命题时，从易到难的方式进行命题，让学生在考试中能充分发挥自己的学，在考试中享受数学学习的乐趣．从整个试卷的问题设置来看，我们认为试卷的命题是成功的，它能反映出学生的各种数学能力，考试结果达到我们的预期目标，但从评卷后的成绩来看，低分段的学生大有人在，这说明了我们在命题时，没有完全考虑“差生”答题的能力，这可能会打击部分学生学习数学的积极性．
三、模块教学反思
（一） （一）经验教训
1、取得的经验，归纳起来主要有以下几点：
（1）备课时，认真研读《高中数学课程标准》中有关数学2的相关内容，做到心中有课标，以课标审视教材中所提供的素材是否符合要求，是否需要更换，即树立起正确的教材观：用教材教，而不是教教材．如球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式即可．为此，在教这一节时，我们只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解其证明过程．
（
（2）在教学内容与课时安排上，大胆突破小节与小节之间的框架结构束缚．如在“1．1．1柱、锥、台、球的结构”和“1．1．2简单组合体的结构特征”中，我们是这样安排课时的：第1课时安排学习“柱、锥的结构特征”，第2课时安排学习“台、球和简单体的结构特征”．
（3）抓住内容的本质和重点，有放矢地授课，培养学生自主学习和探究的能力．如“空间几何体的三视图”，由于来至非课改地区的学生在以前没有学过这部分知识，并且“柱、锥、台、球的三视图”是“简单组合体的三视图”的基础，因此在教学时，前部分的内容主要由教师引导学生完成学习，后一部分的内容则可由学生自主学习完成，教师给予检查反馈．又如在解析几何初步部分，重点是让学生掌握数形结合的思想，即懂得把“几何问题代数化”，又要懂得把“代数问题几何化”．为此，在讲完p112“例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．”后，我们把复习参考题P121 B组第7题，作为例题：设
求证：对于任意，
虽然此题的难度比较大，但通过这样的处理后，我们惊喜地发现学生对解析几何的基本思想和价值的认识更加全面，从而认识到坐标法不但解决几何问题的手段，也是解决代数问题的有力手段．
（4）善于通过多种途径和方法获取教学资源．
（5）在“第二章 点、直线、平面之间的位置关系”教学中，注意利用学生身边的实物模型进行教学，遵循由直观到抽象，由感性认识到理性认识，强调平面问题与空间问题之间的互相转化方法和思想．把重点放在引导学生如何学上．使学生的自学能力得到提高．
（6）学习掌握使用信息技术处理问题的方法
如第一章复习参考题B组第3题：你见过如图1所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？
（ 图1） （图2）
对于教材中的这道题，如果只靠学生的凭空思考，许多学生是无法解决的．为此，老师可以让学生利用几何画板做如下数学实验：
如图2，所示的正方体，棱长为1，其中O，O/分别为下底面和上底面中心．如果以OO/为轴，转动正方体．
（1）如果跟踪线段AA/，那么它留下的轨迹是什么图形？
（2）如果跟踪正方体的一条对角线，如AC/，那么它留下的轨迹是什么图形？
（3）你认为应跟踪哪一条线段，它所留下的轨迹才能得到纸篓面？随着正方体的转动和学生不断调整跟踪的线段，可以发现正方体侧面对角线留下的轨迹即是纸篓面．
此题也可以在A组第2题的基础上启发学生得出答案．但同样要借助《几何画板》演示．
（7）在教具方面，注意黑板、实物模型和多媒体三者之间的合理相互配合使用，发挥各具的优点．一般情况下，重要的定义、定理、数学基本思想方法等在教学的过程中学生后继需要用来帮助解题的内容，则应板书；需要动态演示的可用多媒体（如简单几何体的结构特征，异面直线所成的角等）；实物模型则更有利于学生观察，省去做课件的时间．
（8）在教学中注重强调自然语言、数学符号语言和图形语言的使用．特别是图形语言的使用，应让学生养成习惯．图形语言有诸多优点．
2、应吸取的教训
在“1．3．2球的体积和表面积”这一小节的教学过程中，由于把重点放在公式的推导，而不是公式的使用，使本来应2课时完成的教学任务，实际用了3课时．今后在教学中，对两个公式的推导，只需让学生了解公式推导过程所含的数学思想方法即可，重点应放在公式的应用上．
（二）对教材的修订意见：
1、教材中的例题和课后所配套的有些练习题的深浅度反差过大，与课标结合得不够紧，容易使学生对学习数学失去信心，造成心理障碍．如第36页复习参考题第3题，第121页复习参考题第5题，应删去．
2、教科书在结构方面需要调整修改的地方
（1）建议1．3．2球的体积和表面积的公式推导过程，作为学生的阅读材料；
（2）把第130页习题4．1A组第6题改为B组题，同时给出定比分点坐标公式．
（3）第146练习第4题改为习题4．3B组的题目．
（4）“经过直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面”和“经过两条相交直线，有且只有一个平面”这两个结论，从教学角度来考虑，我们认为把它们调整为平面公理2的推论更好一些，而不是作为课后的判断题．
（5）4．3空间直角坐标系在引入过程中，我们认为有必要向学生提出一些问题，如“如何确定一架飞机在空中的位置？需要多少个实数表示？”，使学生认识到学习本节的必要性．
3、素材的选择
所选择的素材都比较好，没有修改建议，只需根据社会的发展变化，及时更新素材，使它能体现时代性即可．
4、关于例题和习题的修改建议
①第152页复习参考题A组第2题，建议修改为“求圆心在直线上，并经过原点和点（4，1）的圆的方程；第36页B组第3题，建议删除．②如果没有信息技术辅助，学生无法想象得出来．
5、表述错误或不恰当的内容（包括印刷性错误）
①教科书在表述作线段时，多处使用“连接XX”，如第13页例1画法步骤（3）等，应改为“连结XX”；②第18页习题1．2A组第1题的图（2）可见线不能画成虚线；③第63页例5的图（2）直线不能全画成实线．第71页倒数第二段“二面角的平面角”后应加句号；④第128页顺数第3行，“当”应改为“”．⑤第112页例4，应先“先画出图形，写出已知和求证，然后加以分析，再给予证明”．
（三）课标理念
通过《数学2》教学，我们认为《数学2》从编写所选择的素材，编排的内容、结构和设计等方面是比较科学、合理的，能很好地体现《高中数学课程标准》的要求和理念．但我们认为《课标》在课时安排上欠妥，主要反映为：没有考虑到全国各地教育水平的差异，硬性规定为36课时完成教学，实践证明与《数学2》所要完成的教学内容与规定的36课时产生的矛盾比较突出，普遍感到时间不够用，可弹性差．我们建议做什么事情都不能一刀切，应充分考虑到数学的基础性和重要性，以及各地教育水平的差距性．为此，我们认为《数学2》的课时安排应为每周5课时比较合理，给全国各地的教学留有一定的弹性．或者把第四章圆与方程的内容放到选修系列中．
C
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C
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B
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M
D
C
A
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R第13课时 直线与平面平行的判定和性质（一）
教学目标：
使学生理解直线与平面平行的定义，了解直线与平面的位置关系，能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力，通过运用化归与转化的数学思想方法，实现空间和平面的转换，使问题得以解决，提高学生分析问题和解决问题的能力；培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事仔细认真的习惯、实事求是的精神.
教学重点：
直线和平面平行的判定定理及应用.
教学难点：
直线和平面平行的判定定理的反证法证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们讨论了异面直线的证明，证明两条直线为异面直线常用的方法是反证法，同学们回忆一下，反证法证题的步骤是什么？
［生］反证法证题三步曲.
第一步假设结论的反面成立；
第二步在假设的前提下，按照正确的推理，推出矛盾；
第三步否定假设，肯定结论.
［师］好！三步曲中关键的一步是(学生接后音)
［生］第二步，对推出矛盾要认真分析，不能盲目乱推.
［师］很好！反证法是非常重要的一种证题方法.关于唯一的问题、关于无限的问题、关于否定形式的题目、关于结论以至多至少形式出现的题目、关于结论的反面较结论更明确、更具体、更简单的题目、关于异面直线的证明，都常用反证法来证.请同学们务必掌握这种证明方法.前面我们研究了两条直线的位置关系；相交、平行、异面，那么直线与平面的位置关系是怎样的呢？从这节课开始，我们就来研究这个问题.(板书课题)
Ⅱ.指导自学
［师］课下同学们已对直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定进行了预习，现在大家再把这部分内容快速浏览一遍，对照老师列下的预习提纲，把不清楚的地方提出来.
(生再看课本)
［师］直线与平面平行的定义是什么？
［生］如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行(学生回答，教师板书：直线和平面没有公共点叫做直线和平面平行)
［师］应该注意：这里所说的直线是向两方无限伸展的，平面是向四周无限扩展的.
［师］直线与平面的位置关系有几种？
［生］直线与平面的位置关系有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线与平面相交——有且只有一个公共点
③直线与平面平行——没有公共点
［师］我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外.今后凡谈到直线在平面外，则有两种情形：直线与平面相交，直线与平面平行.
［师］直线与平面的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？谁来画图表示一下和书写一下.
［生］(上讲台在黑板上画图)
直线a在面α内的
图形语言是
符号语言是aα.
直线a与面α相交的图形语言是
符号语言是a∩α＝A.
直线a与面α平行的图形语言是
符号语言是a∥α.
［师］好.应该注意：画直线在平面内时，要把直线画在表示平面的平行四边形内；画直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外.
［生］请问老师.直线a与平面α平行，按照其特征，符号语言能不能表示为a∩α＝.
［师］能！从理论上讲，这样表示完全正确.但习惯上直线a与平面α平行常用a∥α表示.
［师］直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？
［生］不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.
［师］直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
［师］(学生回答后，将此判定定理板书)回答得好！大家仔细分析一下，判定定理告诉我们直线与平面平行应具备几个条件？
［生］三个，分别是平面外的一条直线，这个平面内的一条直线，两直线平行.
［师］完整了吗？还有没有补充？
(教师这样一问，同学觉得似乎漏了点什么，再细观察、分析，发现没有什么补充)
［生］没有补充，完整啦！
［师］所述的三个条件，有没有哪一个是多余的？
［生］没有多余的.
［师］直线与平面平行应具备三个条件，三个条件缺一不可！谁来把这个判定定理用符号语言表达出来？
［生］(一位同学主动地到讲台上板书)
a∥α
［师］正确！这个判定定理可以简述为“线线平行则线面平行”，不过要注意，前面的线线位置有区别.
［生］一条在平面外，一条在平面内.
［师］很好！关于定理的证明，大家也进行了预习，对于证明过程有什么不清楚的地方吗？
(学生或许由于能看懂而不提什么，稍停片刻，突然一位学生冒出一个问题)
［生］请问老师，定理证明过程中，怎样突然用起了反证法，这究竟是一种什么证法？
［师］定理的证明实质上用的就是反证法，不过假设结论的反面成立，不是一开始，而是到了推理的一定程度，在运用反证法证题时，这样的做法也不是罕见的.
［生］为什么不开始就假设结论的反面成立呢？
［师］不存在为什么.一开始就假设结论的反面成立也行.证明这个定理，方法不是唯一的，课本上给出的证法，告诉了我们运用反证法证题的又一种格式.大家可以尽情的展开想象的翅膀，从不同角度，运用不同方法来证明.
［生］假设直线a与平面α有公共点P，那么P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P，这与a∥b矛盾.若Pb，则a、b是异面直线，这与a∥b也矛盾，所以假设错误，因而a∥α.
［师］若点Pb，则a、b是异面直线，为什么？
［生］从图形上看出来的.
［师］图形上观察到的，只能帮助我们分析问题，而不能作为推理的依据.这点大家学了平面几何，还不清楚吗？
［生］由上节课的例题知道的.
［师］例题的结论一段不能作为推理的依据.上节课的例1在旧教材中，是异面直线的判定定理，用上也可，但要注意表述方法，因为现行教材中没有把它作为定理，所以用的时候，表述要完整、清楚.
［生甲］老师，这样证行不行，因为aα，所以a与α相交或a∥α，再证明a与α不相交不就行了吗？
［师］继续讲下去！
［生甲］若a与α相交，设交点为P，则P∈b或Pb.若P∈b，则a∩b=P.这与a∥b矛盾(至此，该生不再继续讲下去了，他已意识到这与刚刚讨论的到一块了).
［生丙］也可以在假设a与α有公共点P之后，这样做：则P∈α，因a∥b，所以Pb，过P在面α再作一条直线c，使c∥b，则a∥c，这与a∩c=P矛盾，所以假设错误，从而肯定结论.
［师］很好.生丙同学的想法是又一种引出矛盾的思路.
［生乙］也可以直接证明a与α没有公共点，因为a∥b，所以a、b确定一个平面，设为β，则bβ，aβ，因为aα，aβ，所以α、β不是同一个平面，因为bβ、bα，所以α∩β＝b.因为a∥b，所以a与b没有公共点，进一步得到a与α没有公共点，所以a∥α.
［师］请详细说一下a与b没有公共点，怎样就能得到a与α没有公共点.
［生乙］因为α∩β＝b，aβ，如果a与α有公共点，这个公共点必在b上，这样a就与b相交，与已知矛盾，所以a与α没有公共点.
［师］生乙同学的解释大家明白了吗？他从a与b没有公共点，得到a与α没有公共点，实质上仍然是反证了一下，对吗？(生表示赞同).下面同学们把定理的证明整理一下(可让学生把不同的证法板书于黑板上)
证法一：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β. ∴aβ，bβ
∵aα，aβ ∴α和β是两个不同平面.
∵bα且bβ ∴α∩β＝b
假设a与α有公共点P
则P∈α∩β＝b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾
∴假设错误，故a∥α.
证法二：假设直线a与平面α有公共点P 则点P∈b或点Pb
若点P∈b，则a∩b＝P，这与a∥b矛盾.
若点Pb，又bα，a∩α＝P
由于与平面相交的直线和这个平面内不过交点的直线是异面直线
∴a、b异面，这与a∥b也矛盾
综上所述，假设错误，故a∥α.
证法三：假设a∩α＝P. ∵a∥b， ∴Pb
在面α内过P作c∥b
则c∥a，这与a∩c＝P矛盾.
∴假设错误，故a∥α.
证法四：∵a∥b，
∴a、b确定一个平面，设为β
∴aβ，bβ ∵aα，aβ
∴α、β是两个不同的平面
∵bα，又bβ ∴α∩β＝b
∵a与b没有公共点 ∴a与α没有公共点
(若有公共点，公共点必在b上，则与a∥b矛盾).
∴a∥α.
［师］上面同学们对定理的证明给出了四种证法.四种证明方法都是正确的.比较一下这几种证法，第三种比较简便，第四种证法虽然看起来也不复杂，且是直接证法，但其实质与证法一类同，第二种证法较繁.
［师］有了直线与平面平行的判定定理，我们便可以很方便地推证直线与平面的平行，但要注意，应用这个定理时，三个条件缺一不可.下面我们来看一个例子.
例：求证空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证：EF∥面BCD.
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD.只要证明
EF与面BCD内一条直线平行即可.EF与面BCD内哪一条直线
平行呢？连结BD立刻就清楚了.
证明：连结BD
EF∥面BCD
Ⅲ.课堂练习
课本P32练习1、2.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面的位置关系；直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.三种位置关系的特征分别是：直线在平面内——有无数个公共点、直线与平面相交——有且只有一个公共点、直线与平面平行——没有公共点，需要注意的是直线在平面外包含直线与平面相交、平行两种情形，同学们一定要记好了，即直线不在平面内，我们就说直线在平面外.关于直线与平面平行的判定定理，可以简记为“线线平行则线面平行”，要注意前面的线线：一条在平面外，一条在平面内.有了这个判定定理，我们可以很方便地判定直线是否与平面平行，但必须切记：三个条件缺一不可.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P37习题 1、2、3、4.
(二)1.预习课本P31直线和平面平行的性质定理.
2.预习提纲
(1)直线和平面平行的性质定理是什么？
(2)直线和平面平行的性质定理用符号语言怎样表示？
(3)定理证明中所谈到平面β是怎样的平面？这样的平面有几个？
思考与练习
一、选择题
1.a、b两直线平行于平面α，那么a、b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.可能平行、可能相交、可能异面
答案：D
2.直线a∥b，bα，则a与α的位置关系是( )
A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.aα
答案：C
3.直线m与平面α平行的充分条件是( )
A.nα、m∥n
B.mα、nα、m∥n
C.nα，l∥α，m∥n、m∥l
D.nα，M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n且MN＝PQ
答案：B
4.在以下的四个命题中，其中正确的是( )
①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行 ②直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零)，则直线与平面平行 ③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行 ④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
答案：B
二、填空题
1.过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条，过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 答案：1 无数
2.过两条异面直线中的一条可作_________个平面与另一条平行. 答案：1
3.过平面外一点，与这个平面平行的直线有_________条. 答案：无数
4.P是两条异面直线a、b外一点，过点P可作_________个平面与a、b都平行. 答案：1
三、解答题
1.在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.
画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在
面PBC内作MF∥BC交PB于F，连结E、F，则平面MNEF为
所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
BC∥平面MNEF.
2.已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.
证明：连结AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中，
∵E、F分别是AB、BC的中点
∴AC∥EF
又EF面EFG，AC面EFG
∴AC∥面EFG
同理可证BD∥面EFG.第4课时 直观图画法
教学目标：
使学生能够掌握并运用斜二测画法画直观图。
教学重点、难点：
如何画直观图。
教学过程：
1．引入：
把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图。
以正方体为例，说明其优越性：既富立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系。
正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影。
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图
2．讲授新课：
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
例1：画水平放置的正方形的直观图。
画法：1）在已知正方形ABCD中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，画对应的x′、y′轴，使∠x′o′y′＝450。
2）在x′轴上取点B′、D′，使O′B′＝OB，O′D′＝OD，并分别过点B′、
D′作B′C′平行于y′轴，D′C′平行于x′轴，交点为C′。
Ex：画水平放置的正六边形的直观图。
画法略
斜二测画法：
在已知图形中，（适当）选取互相垂直的轴ox、oy，画直观图时，把它画成对应的
o′x′、o′y′轴，使∠x′o′y′＝450。（或1350）
（它们确定的平面表示水平平面）
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。 （平行性不变）
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
例3：如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，哪一条线段最长。
二、直棱柱的直观图的画法
以正六棱柱为例，说明其画法：画轴，画底面，画侧棱，成图。
说明：建立三维坐标系，使平行于z′轴的线段的平行性和长度不变。
课堂练习：
课本P16 2（1），3（1）
课堂小结：
特别注意斜二侧画法中一般位置下的点的找法。
课后作业：
课本P16 2（2），3（2）4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．
2、过程与方法
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；
（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；
（5）当时，圆与圆内含；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流．
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
问 题 设计意图 师生活动
关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法．
3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生“数形结合”的意识． 教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养学生解决问题、分析问题的能力．利用判别式来探求两圆的位置关系． 师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发学生探求新知的精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．
6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题． 巩固方法，并培养学生解决问题的能力． 师：指导学生完成练习题．生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题．
问 题 设计意图 师生活动
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？ 得出两个圆的相交弦所在直线的方程． 师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法．生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程．
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？ 进一步验证相交弦的方程． 师：引导学生验证结论．生：互相讨论、交流，验证结论．
10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
作业：习题4．2A组：4、7．第6课时 平面的基本性质（二）
教学目标：
使学生进一步掌握平面的画法、表示方法；会用集合符号语言推证简单命题；掌握确定平面的依据。
教学重点：公理的理解与运用。
教学难点：用符号语言推证简单命题。
教学过程：
一、复习巩固：
1、复习公理1、2；
2、将下列命题改写成语言叙述，并判断它们是否正确：
⑴当A∈α，Bα时，线段ABα；
⑵Aα，Bα，CAB，则Cα；
⑶Aα，Aβ，Aа，则а=α∩β。
3、如图，△ABC的两边AB、AC分别与平面α交于点D、E，R若直线BC与平面α交于点F，请画出F的位置。
二、新课讲解：
1、公理3及三个推论：
（1）问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……。（注意“经过”的意思），四边形一定是平面图形吗？
（2）由上述讨论，归纳出
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（或叙述为：不共线的三点确定一个平面）。
强调：⑴“不共线”，⑵这个公理是确定一个平面的依据。
过A、B、C三点的平面又可记为“平面ABC”。
（3）推论：
推论一：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。
从“存在性”和“唯一性”两方面口述证明本推理的正确性，以及和公理3的关系。
证明：（1）存在性
点A是直线a外的一点，在a上任取两点B、C，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面，设为平面α。
因为点B、C都在平面α内，所以根据公理1，直线a在平面α内，即平面α是经过直线a和点A的平面。
（2）唯一性（反证法）
假设过直线a和点A还有另一个平面β，因为点B、C在直线a上，所以点B、C在平面β内，即不共线的三点A、B、C在平面β内，这样过不共线的三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾，所以过直线a和点A只有一个平面。
由（1）、（2）可知，命题成立。
说明：唯一性问题一般可以用反证法。
推论二：两条相交直线确定一个平面；
推论三：两条平行直线确定一个平面。（直接提出即可，也可证明）
说明：在立体几何中，平面几何中的定义、公理、定理等，对于同一个平面内的图形仍然成立。
2、“平面的基本性质”小结：
名 称 作 用
公理1 判定直线在平面内的依据
公理2 两个平面相交的依据
公理3以及三个推论 确定一个平面的依据
三、课堂练习：
教材P235
四、课堂小结：
确定平面的条件有四个：不共线的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线与直线外一点。
五、课后作业：
教材P281、2、3第7课时 平面的基本性质（三）
教学目标：
使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。
教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。
教学过程：
一、复习回顾：
三个公理及推论；各个公理及推论的作用。
二、新课讨论：
例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.
［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.
分析：两两相交，是说每两条直线都相交.
此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？
［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.
［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？
［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.
［师］生丁所述有道理吗？
［生］有道理，完全正确.
［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.
证明：∵AB、AC相交，
∴AB、AC确定一个平面，设为α
∵B∈AB,C∈AC
∴B∈α，C∈α
∴BCα
因此AB、AC、BC都在平面α内.
即AB、AC、BC共面.
注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.
［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？
［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.
［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）
［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.
［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.
证明：∵AB、AC相交
∴AB、AC确定一个平面α
∴点A、B、C∈α，且不共线
∵AB、BC相交
∴AB、BC确定一个平面β
∴点A、B、C∈β，且不共线
根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，
∴面α与面β重合
∴AB、AC、BC共面.
［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：
①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.
②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.
两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.
希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.
例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.
分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？
［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直
线上.
［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结
点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？
［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与
面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.
［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.
［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.
下面大家一起来写出此题的证明：
证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α
又AB平面ABC ∴P∈平面ABC
∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上
∴P、Q、R三点共线
例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.
已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点
证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，
∵l1β，l2β，且l1、l2不平行
∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P， ①
则P∈l1α,P∈l2γ
∴P∈α∩γ= l3 ②
∴l1、l2、l3相交于一点P.
例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：∵a∥b
∴a、b确定一个平面，设为α
又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α
又A∈l，B∈l ∴ABα，即lα
同理b、c确定一个平面β，lβ.
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
由推论2，两条相交直线确定一个平面.
∴α与β重合.
故l与a、b、c共面.
例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。
例6：如图正方体中，点C在与A、B不共面的其余8条棱上，画出过A、B、C三点的截面。
三、课堂练习：
课本P28习题6.
四、课堂小结：
本节课我们讨论了平面基本性质——三个公理及其推论的简单应用，讨论了共面、共线、共点问题的证明，请同学们注意：
对于共面问题的证明，一般地是先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内；
对于点共线问题的证明，只要证明这些点都是某两个平面的公共点即可；
对于线共点问题的证明，一般地是先证明某两条直线相交，然后再证明这个交点在其余直线上或者证明其余直线过这个交点.
无论怎样的问题的证明、推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏，绝对不能东拉西扯、杂乱无章.
五、课后作业：
补充：
1．不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内.
已知：直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点. （注意：两两相交的意思是，如果n条直线两两相交，那么任一条直线与另外（n－1）条直线都相交，都有公共点.）
求证：直线a、b、c、d共面.
(证明略)
2．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在面α的两侧，AC∩α＝Q，
BD∩α＝R. 求证：P、Q、R三点共线.
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P ∴AB∩CD＝P
∴AB、CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β
∴ACβ，BDβ，平面α、β相交，
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R
∴P、Q、R三点是平面α与平面β的公共点
∴P、Q、R都在α与β的交线上
故P、Q、R三点共线.
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、 BD交于M，
求证：C1、O、M三点共线.
证明：∵C1、O、M∈面BDC1
又C1、O、M∈面A1ACC1
由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.
∴C1、O、M三点共线.
4．已知：aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求证：PQα.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β，
∴P∈β，aβ，Pa
又P∈α，aα，Pa
由推论1：过P、a有且只有一个平面
∴α、β重合. ∴PQα.
5．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，
（1）画出l的位置；
（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.
解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，设DM∩D1A1=Q.
则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.
QN即为所求作的直线l.
（2）设QN∩A1B1＝P.
∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝a＝A1D1
∴A1是QD1的中点，又A1P∥D1N
∴A1P＝D1N＝C1D1＝a
∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a
（二）1.预习课本P24~P25空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线.
2.预习提纲
（1）空间两条直线的位置关系有几种？各有什么特征？
（2）怎样理解两条直线不同在任何一个平面？
（3）公理4的具体内容是什么？
（4）公理4用符号语言如何表示？直线与方程预习提纲
1．斜率及斜率公式：
倾斜角：
倾斜角与斜率的关系：
2．直线方程的五种形式
点斜式：
斜截式：
两点式：
截距式：
一般式：
3．两直线平行与垂直
4．方程组的解与交点个数的关系
直线系方程：
5．两点间距离公式：
中点公式：
点到直线的距离公式：
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
例26：求平行线和的距离.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
直线与方程教案
例1：已知直线l1的倾斜角α1＝300，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率。
解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan300＝
∵l2的倾斜角α2＝900＋300＝1200，
∴l2的斜率k2＝tanα2＝tan1200＝－tan600＝－
例2：一条直线经过点P1(－2，3)，倾斜角＝45°，求这条直线方程，并画出图形.
解：这条直线经过点P1(－2，3)，斜率是 k＝tan450＝1.
代入点斜式方程，得y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0
这就是所求的直线方程，图形略
例3：三角形的顶点是A(－5，0)、B（3，－3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
解：直线AB过A(－5，0)、B（3，－3）两点，由两点式得
＝
整理得：3x＋8y＋15＝0，即直线AB的方程.
直线BC过C(0，2)，斜率是k＝＝－,
由点斜式得: y－3＝－（x－0）
整理得: 5x＋3y－6＝0，即直线BC的方程.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得: ＝
整理得：2x－5y＋10＝0，即直线AC的方程.
例4：已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，求直线方程。
解：∵cosθ＝ ，0≤θ＜π
∴k ＝ tanθ＝，得y ＝ x－2
例5：求过点P（－5，－4），且与y轴夹角为 的直线方程。
x－y＋5－4= 0 或 x＋y＋5＋4= 0
例6：一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。
解法一：设直线方程为 ＋= 1，则有： eq \b\lc\{(\a\al(+= 1, ︱ab︱= 1))
解得a = －1，b = －2 或 a = 2，b = 1
∴直线方程为 ＋= 1或 ＋= 1
解法二：令y－2 = k（x＋2）
从y = 0得x = －－2
从x = 0得y = 2k＋2
∴︱（＋2）（2k＋2）︱＝1
得k = －或k = －2
例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。
解：设直线方程为 ＋= 1，则有：
＋= 1 得a = 5
∴直线方程为 ＋= 1
又：直线过原点 k = ∴y = x
例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。
解：设直线方程为y = kx＋b，则有：
b2＋= m2 即 b = ±
∴y = kx±
例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。
解：设直线方程为y－4 = k（x－4），则：
（4－，0），（0，4－4k）
∴4－= 4－4k＋6 得k = 2或k = －
即y－4 = 2（x－4）或y－4 = －（x－4）
例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为－,求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6，－4)并且斜率等于－的直线方程的点斜式是:
y＋4＝－（x－6）化成一般式，得4x＋3y－12＝0.
例11：把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
解：将原方程移项,得2y＝x＋6
两边除以2，得斜截式y＝x＋3
因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3，
在上面的方程中令y＝0，可得x＝－6，即直线l在x轴上的截距是－6.
由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（－6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）.
例12：直线l过P（3，2）且与l′：x＋3y－9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。
解法一：求k
解法二：求l与x轴的交点坐标
例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。
解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x1＞1），则直线l的方程为y－4 = (x－6)
∴ l与x轴的交点为R（，0）
S△＝
10x12－Sx1＋S = 0
由△≥0,得：S≥40
当S＝40时，x1＝2，此时：
x＋y－10 = 0
例14：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
解：设l：y = kx
由 得x = －
由 得x =
∴－＋= 0 k = －
得l：x＋6y = 0
例15：已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，证明l1∥l2
证明:把l1、l2的方程写成斜截式l1：y＝x＋，l2：y＝x＋
∥
例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.
解:已知直线的斜率是－,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是－.
根据点斜式,得到所求直线的方程是:
即.
例17：求与直线l1：Ax＋By＋C = 0平行的直线方程。
解:∵所求直线l的斜率k＝－
∴所求直线方程为：y = －x＋b
即：Ax＋By－Bb = 0
也就是Ax＋By＋b′= 0
例18：求和直线2x＋6y－11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。
解: 设所求直线方程为 2x＋6y＋b=0
则有：（0，－）,（－,0）
∴S = = 6
b2 = 144 b = ±12
即：2x＋6y＋12=0或2x＋6y－12=0
例19：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程。
解:∵kAC= = －
∴设l：y =－x＋b 且交AB于D
∵l平分△ABC的面积
∴= = = ＋1
∴D点坐标：x =,y =
则：= －＋b
得 b =
∴l：x＋2y－13＋5= 0
例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.
解:直线的斜率是-2,因为直线与已知直线垂直,所以它的斜率为:
根据点斜式,得到的方程:即.
解法二: 设所求直线方程为 x－2y＋b = 0
则：2－2×1＋b = 0 得b = 0
∴l：
例21：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。
解:∵kBH = 2 ∴kAC = －
∴lAC：y－2 = －（x＋10）
又 BC∥y轴 ∴C（6，－6）
解法二:∵kAB = ∴kCH = －8 又H（5，2）
∴lCH：y－2 = －8（x－5）
又BC∥y轴 ∴C（6，－6）
例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:
解:解方程组
所以, l1与l2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得,所以所求直线方程为
例23：已知两条直线l1：x＋my＋6=0，l2：（m－2）x＋3y＋2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合
解: 当= 时，= ，解得m = －1或m = 3
当= 时，= ，解得m = 3
∴（1）当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交
（2）当m =－1时，l1∥l2
（3）当m = 3时，l1与l2重合。
例24：已知两条直线l1：x＋m 2y＋6=0，l2：（m－2）x＋3my＋2m=0，问当m为何值时，
l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交
解: 当m = 0时，l1：x＋6 = 0，l2： x = 0，此时l1∥l2
当m≠0时，= 得m = 3或m = －1
= 得m = 3
∴（1）当m = 0或m = －1时，l1∥l2
（2）当m = 3时，l1与l2重合
（3）当m≠0，m≠－1且m≠3时，l1与l2相交。
例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：
（1）
解：（1）根据点到直线的距离公式得
（2）因为直线平行于y轴，所以
例26：求平行线和的距离.
解:在直线上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离.因此:
.
例27：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，求l1与l2间的距离。
略解：（0，－）∈l1
d =︱A·0＋B×(－)＋C 2︱/=︱C 2－C 1︱/
例28：求与直线3x－7y＋5 = 0的距离为2的直线方程。
解：设P（x，y）是所求直线上一点，则：
= 2
︱3x－7y＋5︱= 2
∴ 3x－7y＋5±2= 0
例29：求两直线l1：x＋y－2 = 0，l2：7x－y＋4 = 0所成角的平分线方程。
解一：设P（x,y）是角平分线上任意一点，则：
= 得 5（x＋y－2）＝±（7x－y＋4）
即：x－3y＋7 = 0（舍）或 6x＋2y－3 = 0
解二：∵k1= －1，k2= 7
∴ ＝ 得 k = （舍）或 k = －3
例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，－5）距离相等的直线l的方程。
解：∵l与x轴不垂直
∴可设l的方程为：y－2 = k (x－1) 即：kx－y＋2－k = 0
得：=
k = －或 k = －4
∴所求直线方程为：4x＋y－6 = 0 或 3x＋2y－7 = 0
例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4的直线方程。
解：∵两平行线间的距离为：= 4
∴所求直线与平行线的夹角为45 0，设其斜率为k，则：
︱ eq \f(k－,1＋k)︱= 1 解得k = －或 k = 7
所求直线方程为：y－1 = 7(x－1) 或 y－1 = －(x－1)
即：7x－y－6 = 0 或 x＋7y－8 = 0
例32：求经过两已知直线l1：x＋3y＋5 = 0和l2：x－2y＋7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。
略解：x＋3y＋5＋λ(x－2y＋7) = 0
将A（2，1）代入得：λ＝－
∴l：3x－41y＋35 = 0
例33：设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
略证：方程化为x－2y＋5＋m（2x＋3y－18）= 0
∴ 得（3，4）3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？ 使学生理解直线和二元一次方程的关系。 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论： 关于的二元一次方程，它都表示一条直线。 教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 使学生理解直线方程的一般式的与其他形 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：
问 题 设计意图 师生活动
式的不同点。 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。 使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。 教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学 已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。 使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点。 学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含项、含项、常数项顺序排列；项的系数为正；，的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形。 使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。 先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在轴上的截距。求直线与轴的截距，即求直线与轴交点的横坐标，为此可在方程中令=0，解出值，即为与直线与轴的截距。 在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？ 使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。 学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。
7、课堂练习 第105练习第2题和第3（2） 巩固所学知识和方法。 学生独立完成，教师检查、评价。
问 题 设计意图 师生活动
8、小结 使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。 （1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。 （2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 （3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业 第106页习题3.2第10题和第11题。 巩固课堂上所学的知识和方法。 学生课后独立思考完成。3.2.1 直线的点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
问 题 设计意图 师生活动
1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。 学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式。
2、直线经过点，且斜率为。设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。 培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。 学生根据斜率公式，可以得到，当时，，即 （1） 教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
3、（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。
问 题 设计意图 师生活动
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？ 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）.
4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。 学生分组互相讨论，然后说明理由。
5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ （3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ 进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。 教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。
6、例1的教学。 学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。
7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。 学生独立求出直线的方程： （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
8、观察方程，它的形式具有什么特点？ 深入理解和掌握斜截式方程的特点？ 学生讨论，教师及时给予评价。
问 题 设计意图 师生活动
9、直线在轴上的截距是什么？ 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。 学生思考回答，教师评价。
10、你如何从直线方程的角度认识一次函数？一次函数中和的几何意义是什么？你能说出一次函数图象的特点吗？ 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。
11、例2的教学。 掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中的几何意义。 教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论。思考（1）时， 有何关系？（2）时，有何关系？在此由学生得出结论：且；
12、课堂练习第100页练习第1，2，3，4题。 巩固本节课所学过的知识。 学生独立完成，教师检查反馈。
13、小结 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
14、布置作业：第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题 巩固深化 学生课后独立完成。第3课时 中心投影和平行投影
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾3．3．3两条直线的位置关系
―点到直线的距离公式
三维目标：
知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；??
能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学方法：学导式
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程
?一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：
.
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
可证明，当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：d=
例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
解：设AB边上的高为h，则
S=
，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=，
因此，S=
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：114页第1，2题。
4．拓展延伸，评价反思。
（1） 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为
又
即，∴d＝
的距离.
解法一：在直线上取一点P(４，0)，因为∥
例3 求两平行线：，：，所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：∥又.
由两平行线间的距离公式得
四、课堂练习：
已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求该直线方程。
五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.
14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：
15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
七．板书设计：略4.3.2空间两点间的距离公式
教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
情景设计
问题 问题设计意图 师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 通过类比，充分发挥学生的联想能力。 师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？[1] 从特殊的情况入手，化解难度 师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出
问题 问题设计意图 师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？ 任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。 师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。生：猜想说出理由
（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？[2] 人的认知是从特殊情况到一般情况的 师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。得出结论：第19课时 斜线在平面内的射影
教学目标：
使学生掌握等价转化思想，培养学生的空间想象能力，使学生学会分析事物之间关系，选择解决问题途径。
教学重点：
垂线段、斜线段、射影之间关系，直线和平面所成的角。
教学难点：
直线和平面成角性质的证明。
教学过程：
1．复习回顾：
1）直线和平面垂直的性质定理；
2）线面距离、点面距离；
3）等价转化思想的渗透.
［师］请同学依自己的理解复述上节内容.
［生］……
2．讲授新课：
斜线在平面内的射影
［师］通过预习我们将本节课将要学的概念归纳小结，注意发现其概念特点规律.
请同学们叙述下列概念：
点在平面内的射影，垂线段，斜线、斜足、斜线段，斜线的射影、斜线段的射影。
［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.
［师］请将立体图作出，使之符合上述叙说.
［生］（做图）如图，PQ⊥α，θ∈α，点Q是点P在α内的射影，PQ是点P到α的垂线段.
［师］请继续解释.
［生］斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线段：从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段，依上图，PR∩α=R,PR不垂直α，直线PR是α的一条斜线，点R是斜足，线段PR是点P到α的斜线段.
［师］那么射影是线或线段又如何解释.
［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
［生］AB⊥α，直线BC是斜线AC在α内的射影，线段BC是斜线段AC在α内的射影.
［师］从教材中注意发现其中两个重要结论.
［生］（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而
这点到这个平面的斜线段有无数条.
（2）斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上.
［师］观察右图，看能发现什么结论.
［生］经观察讨论，可得以下结论.
定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中.
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短.
［师］AO是平面α的垂线段，AB、AC是平面α的斜线段，OB、OC分别是AB、AC在平面α内的射影，这时有：
（1）OB＝OCAB＝AC OB＞OCAB＞AC
（2）AB＝ACOB＝OC AB＞ACOB＞OC
（3）AO＜AB，AO＜AC
［师］直线和平面所成的角、应分三种情况
通过前面学习我们知道：
直线与平面的位置关系从公共点的个数上分有：无数个、一个、没有；
［生］公共点无数个，称为直线在平面内；
公共点有一个，称直线和平面相交；
没有公共点，称直线与平面平行.
［师］直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条
相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条
直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的，为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.
那么：直线和平面所成角的定义如何叙述，请同学思考.
［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.
一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角.
如图，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意
一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′）
是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.
［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际
中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多
少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如：
铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？
［师］教材最后一段实际上是研究最小角，不妨称之为：
最小角定理.
斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.
证明：因在该图中l是平面α的斜线，A是l上任意的一点，
AB是平面α的垂线，B是垂足，直线OB是直线l在平面α内的射影，∠Q是斜线l与平面α所成的角.
设OC是平面α内与OB不同的任意一条直线AC⊥OC,垂足为C
因为垂线段AB小于斜线段AC
所以在有公共斜边DA的Rt△ABO,Rt△ACO中
sinθ＜sinAOC ∴∠θ＜∠AOC
因此，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角.
3．课堂练习：
（一）课本P37 1，2，3，4.
（二）补充练习
1.下列命题正确的个数为（ A ）
①两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等 ②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 ③若a是平面α的斜线，直线b垂直a在α内的射影，则b⊥α ④若直线a∥α，l为平面α的斜线，a⊥l，则a垂直于l在α的射影
A.1 B.2 C.3 D.4
2.斜线与平面α所成角为θ，则平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是（ B ）
A.［θ，π－θ］ B.［θ，］
C.（0，） D.（0，θ）
4．课时小结：
注意定理条件 定理的前提是“从平面外一点”，那么“从平面外不同点”是否也具有同样性质？最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件？两个定理运用时，细致分析条件是否具备？
5．课后作业：
课本P38 6，13，14.
