(共21张PPT)
2.1
等式性质与不等式性质
第二课时
创设情境
相等关系
不等关系
不等式性质？
等式性质
现实世界
创设情境
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0那么
＝
．
自身的特性
运算的不变性
新知探究
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
性质4：如果a＞b，那么ac＞bc；
性质5：如果a＞b，c≠0，那么
＞
．
自身的特性
运算的不变性
思考：这些结论正确吗？
问题1 类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质1证明：∵a＞b，∴a－b＞0，
又由于正数的相反数是负数，
∴－（a－b）＜0，即b－a
＜0
∴b＜a
新知探究
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质2证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0
根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，
∴a－c＞0，∴a＞c．
新知探究
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，
所得不等式与原不等式同向．
几何解释：
B
B1
A1
A1
B1
B
A
A
b
b
a
a
a+c
a+c
b+c
b+c
新知探究
新知探究
结论：如果a＋b＞c，那么a＞c－b．
问题2 在等式中，如果a＋b＝c，那么a＝c－b，你会利用性质3得到不等式中的移项的结论吗？
性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
运算的不变性，规律性
证明：∵a＞b，∴a－b＞0，
∵ac－bc＝（a－b）c，
若c＞0，则（a－b）c＞0，ac＞bc
若c＜0，则（a－b）c＜0，ac＜bc
新知探究
问题3 如果a＞b，那么ac＞bc，这个结论正确吗？如何修正？
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
运算的不变性，规律性
性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
文字语言：
不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；
不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．
新知探究
性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
证明（法1）：∵a＞b，c＞d，
∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．
∴a＋c＞b＋d．
证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b；
由性质2，得a＋c＞b＋d．
∴a－b＞0，c－d＞0．
运算的不变性，规律性
新知探究
问题4 利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？
令性质6中的c＝a，d＝b，则a2＞b2．
运算的不变性，规律性
性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．
性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N
，n≥2）．
新知探究
运算的不变性，规律性
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；
性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；
性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N
，n≥2）．
新知探究
知识应用
证明：∵a＞b＞0，
∴ab＞0，
，
于是
，即
．
又由c＜0，得
．
例1 已知a＞b＞0，c＜0，求证：
．
思考：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？
归纳小结
前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思
归纳小结
作业：习题2.1第5，7，8，11，12题．
作业布置
目标检测
（1）如果a＞b，c＜d，那么a－c____b－d；
（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac____bd；
（3）如果a＞b＞0，那么
；
（4）如果a＞b＞c＞0，那么
．
＞
＜
＜
＜
用不等号“＞”或“＜”填空：
1
目标检测
证明：∵a＞b＞0，
∴ab＞0，
，
∴
，即
．
又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：
．
2
目标检测
答案：2x＋y的取值范围为[8，15]，
x－3y的取值范围为[－18，－2]，
的取值范围为[
，2]
已知3＜x＜4，2＜y＜7，求2x＋y，x－3y及 的取值范围．
3
再见(共16张PPT)
2.1
等式性质与不等式性质
第一课时
整体感知
问题1 请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？
整体感知
新知探究
（1）某路段限速40
km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
新知探究
（1）某路段限速40
km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）设速度为v
km/h，则0＜v≤40；
（2）
新知探究
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（3）设△ABC的三条边为a，b，c，
则a＋b＞c，a－b＜c；
（4）设C是线段AB外任意一点，
CD⊥AB，垂足为D，
E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE．
解：设提价后每本杂志的定价为x元，
则销售总收入为
万元．
于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为
≥20．①．
求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．
新知探究
问题3 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？
a＞b
a－b＞0；
a－b
a－b＝0；
a＜b
a－b＜0．
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了标杆．
新知探究
问题4 若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实．如何比较两个式的大小关系呢？
解：因为（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）
所以（x＋2）（x＋3）＞
（x＋1）（x＋4）．
＝（x2＋5x＋6）－（x2＋5x＋4）＝2＞0，
新知探究
例1 比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）大小．
探究 下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
新知探究
重要不等式：
如果a，b∈R，则a2＋b2≥2ab．
当且仅当a＝b时，等号成立．
证明：∵a2＋b2－2ab＝（
a－b）2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
新知探究
归纳小结
现实问题
数学问题
解不等式
不等式性质
两个实数大小关系的基本事实
问题解决
理论
证明
比较代数式的大小
应用
重要不等式：
如果a，b∈R，则a2＋b2≥2ab．
当且仅当a＝b时，等号成立．
问题6 本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？
作业：教科书习题2.1第2，3，4，9，10题．
作业布置
目标检测
（1）某高速公路规定通过车辆的车货高度h从地面算起不超过4
m；
（2）a与b的和是非负实数；
（3）如图，在一个面积小于350
m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍．
仓库
5
m
5
m
5
m
5
m
答案：（1）h≤4，
（2）a＋b≥0，
（3）
用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
1
目标检测
答案：
（x＋3）（x＋7）＜（x＋4）（x＋6）
已知a＞b，证明
．
证明：
∵a＞b，
∴
．
∴
比较（x＋3）（x＋7）和（x＋4）（x＋6）的大小．
2
3
再见
