(共44张PPT)
9.2.1 总体取值规律的估计
9.2.2 总体百分位数的估计
课标阐释
思维脉络
1.通过具体实例,理解用样本估计总体的思想方法.(数学抽象)
2.掌握频率分布直方图的绘制和其中相关的运算.(直观想象、数学运算)
3.理解频率分布表、折线图、条形图、扇形图的作用和识读.
(直观想象)
4.理解第p百分位数的定义及作用.(数学运算)
激趣诱思
知识点拨
与传统相机比较,在数码相机中,有一种十分实用的功能,这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具,通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况,在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、频率分布表
为了能直观地显示样本的频率分布情况,通常将分组、频数累计、频数、频率列在一张表中,这张表叫做频率分布表.
名师点析
列出一组样本数据的频率分布表的基本步骤
第一步,求极差.
第二步,决定组距与组数.
第三步,将数据分组.
第四步,列频率分布表.
激趣诱思
知识点拨
微思考
什么叫频数与频率?
提示:将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以样本容量得到的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本中所占比例的大小.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、频率分布直方图
为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来,常画出频率分布直方图.画图时,应以横轴表示分组、纵轴表示各组
,以各个组距为底,以
为高,画成小长方形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
画频率分布直方图的步骤
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)在样本频率分布直方图中,某个小长方形的面积是其他小长方形的面积之和的
,已知样本量是80,则该组的频数为( )
A.20
B.16
C.30
D.35
解析:设该组的频数为x,则其他组的频数之和为4x,由样本量是80,得x+4x=80,解得x=16,即该组的频数为16,故选B.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①频率分布直方图中的纵轴表示频率.( )
②频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率.
( )
③频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1.( )
答案:①× ②√ ③√
激趣诱思
知识点拨
知识点三、第p百分位数
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数:
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)数据1,3,8,5的中位数是 ,第50百分位数是 ,第75百分位数是 .?
答案:4 4 6.5
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的.( )
②第25百分位数也可以称为第一四分位数或上四分位数.( )
答案:①√ ②×
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
频率分布直方图的绘制
例1某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
分析先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数,然后按频率分布直方图的画法绘制图形.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为
=11.
(1)频率分布表如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
注:表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
绘制频率分布直方图的关注点
(1)在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系:
(2)组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:
[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图;
(3)根据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几;
(4)估计数据小于11.20的可能性是百分之几.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65]
2
0.02
合计
100
1.00
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.
(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,则(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,从而估计数据小于11.20的可能性是54%.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
对折线图、扇形图、条形图的识读
例2某中学初中部共有120名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )
A.128
B.144
C.174
D.167
分析根据女教师的百分比,分别计算初中部和高中部女教师的人数即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:初中部女教师的人数为120×70%=84,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=150×40%=60,则该校女教师的人数为84+60=144.
答案:B
反思感悟
对于折线图、扇形图、条形图一定要注意每种图示的作用和含义,其次要看清所标记数据和单位,最后要抓住各种图示中所体现的信息“密码”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2调查机构对某高科技行业进行调查统计,得到该行业从业者学历分布扇形图、从事该行业岗位分布条形图,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
给出下列三种说法:①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上;②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%;③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生.其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:在①中,由该行业从业者学历分布扇形图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%,故①正确;
在②中,由从事该行业岗位分布条形图知该高科技行业中从事技术岗位的人数占39.6%,超过总人数的30%,故②正确;
在③中,由题中的两个图无法得到从事运营岗位的人员主要是本科生,故③错误.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
频率分布直方图中的相关计算问题
例3在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是( )
A.210
B.205
C.200
D.195
分析由频率分布直方图先求出在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率,由此能求出在该次测验中成绩不低于100分的学生人数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,
∴在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
频率分布直方图中相关计算的求解策略
(1)因为小长方形的面积=组距×
=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.
(4)在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
在例3中若将“不低于100分”改为“不高于120分”结论又如何?
解:由图可知成绩不高于120分的频率为1-0.006×10=1-0.06=0.94.
∴满足要求的学生人数为500×0.94=470.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.
(1)求样本在[15,18)内的频率;
(2)求样本量;
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:由样本频率分布直方图可知组距为3.
(3)在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又因为在[15,18)内的频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
总体百分位数的应用
例4有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.
解:(1)∵i=50%×11=5.5,
∴第50百分位数是第6项的值3520.
(2)∵i=0.75×11=
=8.25,
∴第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练4为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:由题意知分别落在各区间上的频数为
在[80,90)上有60×0.15=9,
在[90,100)上有60×0.25=15,
在[100,110)上有60×0.3=18,
在[110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
频率分布直方图的实际应用
典例某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比,规定作品上交的时间为5月1日到31日,逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:
(1)本次活动共有多少件作品参加评比?
(2)哪组上交的作品数最多,有多少件?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件,2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x,x.设参加评比的作品总数为a件,
故本次活动共有60件作品参加评比.
(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有6x×5×a=18(件).
(3)第四组和第六组上交的作品数分别为18件,3件,
所以第六组的获奖率较高.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛(1)根据条件,从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,计算参加评比的作品总数;(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多,再由本组的频率计算频数;(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数,再计算获奖率.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56
B.60
C.120
D.140
解析:自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占
,那么不少于3万元的项目投资共有( )
A.56万元
B.65万元
C.91万元
D.147万元
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.对“小康县”的经济评价标准如下:
①年人均收入不小于7
000元;
②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人,调查数据如下:
年人均
收入/元
0
2
000
4
000
6
000
8
000
10
000
12
000
16
000
人数/万人
6
3
5
5
6
7
5
3
则该县( )
A.是小康县
B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县
C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县
D.两个标准都未达到,不是小康县
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:由图表计算可知全县年人均收入为7
050元>7
000元,达到了标准①;全县年人均食品支出为2
695元,而年人均食品支出占收入的
×100%≈38.2%>35%,未达到标准②,所以不是小康县.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.已知有8个样本数据分别为4,7,8,11,13,15,20,22,则估计该组数据的总体的第三四分位数为 .?
答案:17.5
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:
则样本数据落在[10,40)上的频率为 .?
解析:样本数据落在[10,40)上频数为13+24+15=52.
则样本数据落在[10,40)上的频率为
=0.52.
答案:0.52
分组
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7(共42张PPT)
9.2.3 总体集中趋势的估计
9.2.4 总体离散程度的估计
课标阐释
思维脉络
1.掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征及其在刻画数据中各自的作用.(数学抽象)
2.理解平均数和中位数在频率分布直方图中的关系.(直观想象)
3.理解标准差、方差公式的基本性质.(数学运算)
4.通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的,以及它们之间的内在联系.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
藏宝图只能够标出宝藏所在的具体位置及路线图,但真正探索宝藏的秘密还有很多工作要做,统计图表能够把所有的信息都表述出来吗?还有哪些关键性的特征是我们迫切需要的呢?杂乱无章的数据仅用统计图表来分析显然是不全面的,不同的数字特征往往具有不同的意义和作用,本节介绍数据的数字特征,根据不同问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、众数、中位数、平均数
1.众数
(1)定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
(2)特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.
2.中位数
(1)定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
(2)特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.
激趣诱思
知识点拨
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的
(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
三种数字特征的优缺点
名称
优点
缺点
众数
(1)体现了样本数据的最大集中点;(2)容易得到
(1)它只能表达样本数据中很少的一部分信息;(2)无法客观地反映总体特征
中位数
(1)不受少数几个极端数据,即排序靠前或靠后的几个数据的影响;(2)容易得到,便于利用中间数据的信息
对极端值不敏感
平均数
能反映出更多关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
解析:将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平均数a=
×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位数b=15,众数c=17,显然a答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二、探索图表中的中位数与平均数数值规律
平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系?
一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图1),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(图2),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(图3),那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
激趣诱思
知识点拨
微练习
AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良”
B.这12天中空气质量最好的是4月9日
C.这12天的AQI指数值的中位数是90
D.从4日到9日,空气质量越来越好
激趣诱思
知识点拨
解析:这12天中,空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92,共6天,故A正确;这12天中空气质量最好的是4月9日,AQI指数值为67,故B正确;这12天的AQI指数值的中位数是
=99.5,故C不正确;从4日到9日,AQI指数值越来越小,表示空气质量越来越好,故D正确.故选C.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、方差、标准差
激趣诱思
知识点拨
由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据不一致.为了使二者单位一致,我们对方差开平方,取它的算术平方根,即
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;反之,标准差越大,表明各样本数据在样本平均数的周围越分散.(2)若样本数据都相等,则s=0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时,就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征,而样本数据的离散程度,就由标准差来衡量.(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感;方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小.(5)标准差的大小不会越过极差.(6)方差、标准差、极差的取值范围为[0,+∞).当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
激趣诱思
知识点拨
(7)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般采用标准差.(8)在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样,通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中,样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.
激趣诱思
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微思考
(1)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?
提示:通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.
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激趣诱思
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知识点四、有关平均数、方差的重要结论
激趣诱思
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微练习
答案:11 8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平均数、众数、中位数的求法
例1对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列结论:
①这组数据的众数是3;
②这组数据的众数与中位数的数值不相等;
③这组数据的中位数与平均数的数值相等;
④这组数据的平均数与众数的数值相等.
其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:在这一组数据中,3出现次数最多,有6次,故众数是3;将数据按从小到大顺序排列后,最中间的数据是3,故中位数是3;平均数
答案:A
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反思感悟
平均数、众数、中位数的求解策略
(1)求平均数时要注意数据的个数,不要重计或漏计.
(2)求中位数时一定要先对数据按大小排序,若最中间有两个数据,则中位数是这两数据的平均数.
(3)若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.
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探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满足100分)如下:
甲:79 78 80 x 85 92 96
乙:72 81 81 y 91 91 96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85,则x+y的值为( )
A.152
B.168
C.190
D.170
解析:由数据知,乙班成绩的中位数是y=85.
又甲班学生成绩的平均分为85,即79+78+80+x+85+92+96=85×7,解得x=85,∴x+y=170.故选D.
答案:D
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方差和标准差的计算及应用
例2甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件,为检验质量,从中抽取6件测量数据为:
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.
分析
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探究三
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反思感悟
方差的计算与性质的应用
在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定.
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变式训练2某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下:
求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
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当堂检测
频率分布直方图(频率分布折线图)中的“隐藏”的数据信息
例3如图为学生身高频率分布直方图.
(1)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出众数的值?
(2)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出中位数的值?
(3)如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值?
(4)从样本数据可知,该样本的众数是166,172,中位数是171,平均数是170.1,这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗?
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解:(1)众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高小长方形的中点的横坐标.由直方图可估计学生身高众数应为174.5.
如图,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位数落在
区间[167,172)内.
设中位数是x,由0.08+0.22+(x-167)×
=0.5,解得x≈171.55.所以学生身高的中位数约为171.55.
(2)在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中,中位数使得在它左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值,
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(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,是频率分布直方图的平衡点,因此,每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数.由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得学生身高的平均数为170.6.
(4)因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状,从直方图本身得不出原始的数据内容,也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据的信息,得到的是一个估计值,且所得估计值与数据分组有关,所以估计的值有一定的偏差.
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反思感悟
1.利用直方图或折线图求得的众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
2.利用频率分布直方图求数字特征:
(1)众数是最高小长方形的底边中点的横坐标;
(2)中位数使得在它左、右两侧直方图的面积相等;
(3)平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
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变式训练3甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示.
请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
(1)从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩好些);
(2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
(3)从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
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解:根据各问情况作如下统计表.
∴甲的成绩比乙好.
(2)∵平均数相同,甲的中位数<乙的中位数,
∴乙的成绩比甲好.
(3)∵平均数相同,且乙命中9环及9环以上次数比甲多,∴乙的成绩比甲好.
(4)∵甲的成绩在平均线上下波动;而乙处于上升趋势,从第四次以后就没有比甲少的情况发生,∴乙更有潜力.
?
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
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1.找齐法
在计算平均数时,如果这些数字都在某个数字左右摆动,就选取一个数字作为标准进行找齐.
典例1计算数据87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均数和方差.
分析这组数据都在85左右摆动,把每个数字都减去85后进行计算.
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典例2计算数据54,55,53,56,57,58的方差.
分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算.
方法点睛方差反映的是数据组偏离平均值的程度,因此把数据组中的每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小,当我们计算的数据较大时,这个方法能有效地简化运算.
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1.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x等于( )
A.21
B.22
C.20
D.23
解析:根据题意知,中位数22=
,则x=21.
答案:A
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2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1,x2,…,xn的平均值
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数
解析:在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在C中,最大值是一组数据中最大的量,故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故D不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度,故选B.
答案:B
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3.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本的方差为( )
答案:D
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4.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则以下选项判断不正确的有( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
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答案:ABD
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5.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是 .(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)?
解析:分析表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙.
答案:丙
?
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
