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第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程（选择题专练）
1．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③
2．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结AC，现有一宽度为1，且长与y轴平行的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
6．抛物线与坐标轴的交点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3和5
D．3和﹣5
9．对于二次函数y=ax2-(2a-1)x+a-1(a≠0)，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，27）
D．（3，27）
11．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（
）
A．3
B．?3
C．?4
D．?5
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(?5,0),对称轴为直线x=?2,给出四个结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为(2,0)；④若点(?4,y1)、(?1,y2)为函数图象上的两点,则y1)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4ac﹣b2＞0；④2a+b=0，其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，（），则二次函数中，当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．或
15．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b+2a=0；③a-b0．其中正确的项有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
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第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程（选择题专练）
1．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③
【答案】A
【解析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．
【详解】①根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度，
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+，
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
2．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1?x2＝3，即可解答
【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x1，y1)，b(x2，y2)
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝3，
∴AB＝|x1﹣x2|＝
＝2；
故选B．
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.
3．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结AC，现有一宽度为1，且长与y轴平行的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN=DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．
【详解】解：如图，
当时，
解之得
x1=-3,x2=1,
∴A（-3，0），B（1，0），
∵OA=OC=3，作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN=DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．
∵MN=DE，MN∥DE，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DM=EN，
∴△ODE的周长=OD+DE+EO=DM+DE+OE=NE+OE+DE=ON+DE，
∵AC⊥OM，
∴MN⊥OM，
∴∠NMO=90°，
∵MN=DE=，OM=3，
∴ON=，
∴△ODE的周长的最小值为，
故选A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、轴对称等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
4．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案.
【详解】，
抛物线与轴没有公共点，
，解得，
抛物线的对称轴为直线
，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
5．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2
B．4＜x＜5
C．x＜-1或x＞5
D．x＜-1或x＞4
【答案】D
【解析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
6．抛物线与坐标轴的交点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】由y=ax2+bx+c（a≠0）的图象结合二次函数的性质进行判断即可.
【详解】（1）由抛物线开口向下知道a<0,
因此判断①正确;
（2）对称轴在y轴左侧,
a＜0可得b<0,因此可以判断②错误;
（3）由图象与x轴有两个交点得到以>0,因此可以判断③正确;
（4）由图象可知当x=1时,
对应的函数值y=a+b+c＜0,
所以判断④正确.
故正确的选项有①③④，
故答案选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质.
8．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3和5
D．3和﹣5
【答案】D
【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可．
【详解】解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选D．
【点睛】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．
9．对于二次函数y=ax2-(2a-1)x+a-1(a≠0)，有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标，从而判断出①④正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出②错误；消掉a即可得到顶点所在的直线，判断出③正确．
【详解】令y=0，则ax2-(2a-1)x+a-1=0，即（x-1）[ax-（a-1）]=0，
解得x
=1，x
，
所以，函数图象与x轴的交点为（1，0），（，0），故①④正确；
当a<0时，
，
所以，函数在x>1时，y先随x的增大而增大，然后再减小，故②错误；
∵x=-
，
∴y=
即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=
上，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于令y=0，解方程求出抛物线与x轴的两个交点坐标.
10．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，27）
D．（3，27）
【答案】D
【解析】一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，可以求得b、c的关系，再观察二次函数y=2x2-bx-c，可以返现当x=3时，该函数中b和c的关系可以与前面统一，本题得以解决．
【详解】∵一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，
∴32+3b+c=0，
∴3b+c=-9，
∴当x=3时，y=2×32-3b-c=18-（3b+c）=18-（-9）=18+9=27，
∴二次函数y=2x2-bx-c的图象必过点（3，27），
故选D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（
）
A．3
B．?3
C．?4
D．?5
【答案】B
【解析】利用根与系数的关系可得：x1+x2=4，x1?x2=-k，所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4k，AB的长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到k的值．
【详解】设方程0=-x2-4x+c的两个根为x1和x2，
∴x1+x2=4，x1?x2=-c，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4c，
∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：，
又∵AB=2
∴=2，
解得，k=-3.
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(?5,0),对称轴为直线x=?2,给出四个结论：①b2>4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为(2,0)；④若点(?4,y1)、(?1,y2)为函数图象上的两点,则y1)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断;②根据抛物线对称轴可判断;③根据抛物线与x轴的另一个交点坐标可判断;④根据两点离对称轴远近可判断.
【详解】解:由函数图象可以知道抛物线与x轴有2个交点,
b-4ac>0即b>4ac,故①正确;
对称轴为直线x=-2,
=-2,即4a-b=0,故②错误;
抛物线与x轴的交点A坐标为(-5,0)且对称轴为x=-2,
抛物线与x轴的另一交点为(1,0),故③错误;
对称轴为x=-2,开口向下,
点(-4,
)比点(-1,)离对称轴远,
＜,故④正确;
综上,正确的结论是:①④,
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查二次函数一般式的图像、性质与应用，及二次函数的对称轴、二次函数与x
轴的交点，综合性大.
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4ac﹣b2＞0；④2a+b=0，其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】根据二次函数的图形与二次函数的性质进行判断可得答案.
【详解】解:①观察函数图象可得出a<0、c>0,＞0,
进而可得出b>0,
abc<0,①错误;
②由当x=-1时y<0,a-b+c＜0,
b>a+c,②错误;
③由抛物线与x轴有两个交点,可得出△=
b2-4ac>0,③错误;
④由抛物线的对称轴为直线x==1,可得出2a+b=0,④正确.
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数一般式的图像与性质及二次函数图像与系数的关系.
14．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，（），则二次函数中，当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】C
【解析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），
∴二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线的开口方向向上，
∴该二次函数的图象如图所示：
根据图示知，符合条件的x的取值范围是：a＜x＜b；
故选C．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．
15．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b+2a=0；③a-b0．其中正确的项有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】根据二次函数的图象与性质判断即可．
【详解】①由抛物线开口向上知:
a＞0;
抛物线与y轴的负半轴相交知c＜0;
对称轴在y轴的右侧知:b＞0;所以:abc<0,故①错误;
②对称轴为直线x=-1,，即b=2a,
所以b-2a=0.故②错误;
③由抛物线的性质可知，当x=-1时,y有最小值，
即a-b+c＜（），
即a﹣b＜m（am+b）（m≠﹣1），
故③正确；
④因为抛物线的对称轴为x=1,
且与x轴的一个交点的横坐标为1,
所以另一个交点的横坐标为-3.因此方程ax+bx+c=0的两根分别是1,-3.故④正确；
⑤由图像可得，当x=2时，y＞0，
即:
4a+2b+c＞0，
故⑤正确.
故正确选项有③④⑤，
故选B.
【点睛】本题二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键.
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