(共30张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
课标阐释
思维脉络
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.(数学抽象、数学运算)
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.(数学运算、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
4.三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:
(1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点;
(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质
区别有两个:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求两个向量的和向量?
提示:当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形:
①同向
激趣诱思
知识点拨
②反向
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向
量.( )
(2)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同.( )
(3)若a+b=0,则a=0且b=0.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
知识点二、向量加法的运算律
1.向量加法的交换律:a+b=b+a.
2.向量加法的结合律:a+(b+c)=(a+b)+c.
微练习
激趣诱思
知识点拨
知识点三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系
对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.
微练习
解析:根据公式|a+b|≤|a|+|b|直接计算可得.
答案:13
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知向量作和向量
例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
分析利用三角形法则或平行四边形法则→先作出两个向量的和向量→再作出三个向量的和向量
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将两向量平移到首尾相接,从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量加法运算或化简
分析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.
反思感悟
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.试求:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量加法法则解决实际问题
例3在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?
解:如图,由点C作垂线,垂足为D,
因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中,CD=ACsin
10°=800
sin
10°(km).即往正南方向飞行800
sin
10°
km,即可由此按正西方向飞回A地.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛(1)本题主要考查向量加法的多边形法则和零向量.由于正n边形绕圆心O旋转
角度时,虽然各向量方向都改变了,但模没有改变,正n边形的位置不变,其和向量也没有改变,由此判断和向量为0.
(2)零向量的方向是任意的,且零向量的模为0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若向量a表示向东北方向走5
km,向量b表示向西北方向走5
km,则向量a+b表示( )
A.向正北方向走5
km
B.向正北方向走5
km
C.向正南方向走5
km
D.向正南方向走5
km
解析:由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走5
km.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.如图所示,设O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式:(共27张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
课标阐释
思维脉络
1.理解相反向量的概念.(数学抽象)
2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义.
(数学抽象、直观想象)
3.能运用向量的加法与减法解决相关问题.
(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机从台北到香港,再从香港到上海,若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a,b,c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、相反向量
定义
与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量
性质
①零向量的相反向量仍是零向量
②a+(-a)=(-a)+a=0
③如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,四边形ABCD
是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是( )
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点二、向量减法运算及其几何意义
定义
a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.如图所示
几何意义
如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)若向量a,b为非零不共线向量,则a,b与a-b围成三角形,故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则.
(2)求两个向量的差就是要把两个向量的始点放在一起,它们的差是以减向量的终点为始点,以被减向量的终点为终点的向量,可简记为“共始点,连终点,指向被减.”
激趣诱思
知识点拨
微思考
当两个非零向量a,b共线时,如何作图得a-b?
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,
则有:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量减法的几何意义
例1(1)如图①所示,四边形ABCD中,
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图②所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的加法与减法运算
例2化简下列各向量的表达式:
分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时,必须保证两个向量的起点相同.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2化简下列向量表达式:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量减法几何意义的应用
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.不确定
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.
(2)转化为向量问题,进行向量运算.
(3)将向量问题还原为平面几何问题.
2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
(2)根据图形灵活运用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用已知向量表示未知向量
典例如图,解答下列各题:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键
关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)三点注意
①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是
( )
A.a∥b
B.a≠b
C.|a|≠|b|
D.b=-a
解析:根据相反向量的定义,大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.
答案:C
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是( )
答案:C
答案:0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共30张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
课标阐释
思维脉络
1.理解向量数乘的定义及几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握共线向量定理,会判断或证明两个向量共线.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?这说明声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.
若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880
000v2.对于880
000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880
000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.
那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、向量的数乘运算
定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa
长度
|λa|=|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向相同
λ<0
λa的方向与a的方向相反
规定
当λ=0或a=0时,λa=0
名师点析
(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.
(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
知识点二、数乘向量的运算律
1.数乘向量的运算律
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.
(1)3(2a)=6a; (2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点三、共线向量定理
1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.
名师点析
该定理中a≠0的原因
(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.
(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有 .(填序号)?
①a=2e1,b=-2e1;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.
答案:①②③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的线性运算
例1(1)化简下列各向量表达式:
(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,试用a,b表示x,y.
分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数乘运算的方法
向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用已知向量表示未知向量
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用已知向量表示其他向量的一般步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量共线问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.证明或判断三点共线的方法
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解决三角形的四心问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )
A.a与λa的方向相同
B.a与-λa的方向相反
C.a与λ2a的方向相同
D.|λa|=λ|a|
解析:因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.
答案:C
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于( )
A.a-2b
B.a
C.a-6b
D.a-8b
解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.
解:因为ka+3b与2a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),
即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共44张PPT)
6.2.4 向量的数量积
课标阐释
思维脉络
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(数学抽象)
2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)
3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律.(数学运算、逻辑推理)
4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题.(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.于是猴子高兴地飞奔回去,立刻把刀放在一块石头上拼命地磨.直到它发现刀口和刀背差不多厚了,便停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.
物理学当中的做功在数学中叫做什么,是如何表示的呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、向量数量积的定义
1.向量a与向量b的夹角
(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作
激趣诱思
知识点拨
2.向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos
θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,
即a·b=|a||b|cos
θ.
(2)零向量与任一向量的数量积为0.
(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
名师点析
两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.
激趣诱思
知识点拨
微思考
两个向量的数量积结果是向量还是数量?
提示:是数量.
微练习
答案:(1)-2 (2)8
激趣诱思
知识点拨
知识点二、向量a在向量b上的投影向量
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为 .?
(2)若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为 .?
激趣诱思
知识点拨
知识点三、平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos
θ.
(2)a⊥b?a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知|a|=7,则a·a= .?
解析:a·a=|a|2=72=49.
答案:49
激趣诱思
知识点拨
知识点四、平面向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
数乘的结合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
名师点析
(1)向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·c
b=c.
(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:(1)A (2)A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).
分析依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos
120°-3|b|2=8-15-27=-34.
反思感悟
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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角度2 几何图形中向量数量积的计算
例2(2019天津高考)在四边形ABCD中,
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:-1
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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反思感悟
平面向量的数量积在平面几何中的应用
(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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求向量的投影向量
例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
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向量模的相关问题
角度1 利用数量积求向量的模
例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
向量模的求解方法
根据数量积的定义a·a=|a||a|cos
0°=|a|2,得
这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.
解:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,
所以a2+2a·b+b2=16.①
因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
探究一
探究二
探究三
探究四
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角度2 与模有关的最值问题
例5(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是( )
(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
向量模的最值问题的求法
涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为( )
答案:B
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利用数量积解决向量的夹角与垂直问题
例6(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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(1)解析:因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,
所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,
则2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
又|a|=|b|,所以2|b|2cos
θ+|b|2=0,
因此cos
θ=-
,从而θ=120°.选C.
答案:C
探究一
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探究一
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探究三
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反思感悟
求平面向量夹角的方法
(1)求向量的夹角,主要是利用公式cos
θ=
求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
探究一
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延伸探究
本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
探究一
探究二
探究三
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利用向量的数量积判断几何图形的形状
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
探究一
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探究三
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答案:(1)B (2)A
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反思感悟
能够将
,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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答案:B
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b上的投影向量的模为( )
答案:C
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答案:B
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4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( )
A.2
B.4
C.6
D.12
解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,
所以a2-a·b-6b2=-72,
即|a|2-|a||b|cos
60°-6|b|2=-72,
所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.
答案:C
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5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ= .?
解析:∵(2a+b)⊥(a+λb),
∴(2a+b)·(a+λb)=0,
∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.
∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,
探究一
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答案:22
