(共27张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
课标阐释
思维脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量.(数学抽象、数学运算)
3.理解平面向量正交分解以及坐标表示的意义.(数学抽象、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
音乐是人们在休闲时候的一种选择,不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐,还是高雅的古典音乐,它们都给了人们不同的享受.事实上,音乐有基本音符:do re mi fa sol la si,所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合,音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面向量基本定理
定理
条件
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
名师点析
对平面向量基本定理的理解
(1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的.
(2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0.
(3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归.
激趣诱思
知识点拨
微思考
a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1,λ2是否唯一?
提示:当e1,e2不共线时,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;当e1,e2共线时,λ1,λ2不唯一.
微练习
下列说法正确的是( )
A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2表示
B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2表示
C.零向量可以作为基底中的向量
D.平面内的基底是不唯一的
解析:根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
(1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.
(2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做a在
x轴上的坐标,y叫做向量a在
y轴上的坐标.
(3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.
(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
激趣诱思
知识点拨
微思考
在直角坐标平面内,O为原点,向量
的坐标与点A的坐标有什么关系?
微练面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是 , , .?
答案:(2,-6) (0,5) (-4,0)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对平面向量基本定理的理解
例1给出下列说法:
①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;
②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;
③若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.
其中正确说法的序号是 .?
解析:①错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
②错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.
答案:③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
平面向量基本定理的四个要点
①不共线的向量e1,e2;
②平面内的任意向量a;
③存在唯一一对实数λ1,λ2;
④a=λ1e1+λ2e2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面向量基本定理的应用
例2在△ABC中.
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面向量的坐标表示
例3已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.
分析将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式.
解:因为a=3i-2j,b=-i+5j,
所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐标为(-1,18).
反思感悟
求平面向量坐标的方法
(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
巧用直线的向量参数方程式解题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则( )
A.零向量不能用e1,e2表示
B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
解析:由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知
=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作为基底,则k等于 .?
答案:1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共33张PPT)
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标阐释
思维脉络
1.掌握平面向量加法、减法、数乘的坐标运算法则,能够进行向量的坐标运算.(数学运算、逻辑推理)
2.掌握平面向量共线的坐标表示方法.(数学运算、逻辑推理)
3.能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题.
(数学运算、数学抽象)
激趣诱思
知识点拨
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面向量运算的坐标表示
平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则
?
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量坐
标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若a=(3,-2),b=(-1,4),则2a+3b= .?
答案:(1)(3,8) (2)(2,10) (-2,-10)
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面向量共线的坐标表示
前提条件
a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0
结论
向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0
名师点析
若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即为
即对应坐标成比例.
若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0.
这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线.
激趣诱思
知识点拨
微思考
平面向量共线定理的内容是什么?
提示:向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
微练习
(1)下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x= .?
解析:(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线.
(2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
答案:(1)C (2)-6
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
向量的坐标运算
分析(1)可直接运用坐标运算法则进行计算.(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量坐标运算要注意的问题
(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
向量坐标运算的应用
分析(1)可直接设点M,N的坐标,通过已知条件
列方程组求解;也可将题中所给向量式中向量的起点全都转化为以原点O为起点,再利用其终点坐标就是向量坐标这一性质求解.(2)可利用平面向量基本定理建立等量关系,代入坐标利用向量相等得到参数的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
平面向量坐标运算应用技巧
(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
(2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
共线向量的判断与证明
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
根据向量共线求参数值
例4已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值.
分析首先求出向量2a+b与向量3a-2b的坐标,然后根据向量共线的坐标表示建立方程求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:因为a=(-1,x),b=(x-2,-3),
所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).
因为向量2a+b与向量3a-2b共线,
所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),
整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.
故实数x的值是3或-1.
反思感悟
根据向量共线求参数值的方法
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或
(y1y2≠0)直接求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?
解:(方法一)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.
当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3.
(方法二)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,
所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),
因为λ<0,所以取x=3,故实数x的值为3.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
利用共线向量证明三点共线
反思感悟
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成:
①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
线段定比分点的坐标公式及应用
1.线段定比分点的定义
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
2.定比分点的坐标表示
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
1.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( )
A.(-12,5)
B.(12,5)
C.(-12,-5)
D.(12,-5)
解析:2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
2.(多选题)下列各组向量中,不能作为基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)
解析:A,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,所以可作为一组基底.
答案:ACD
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(7,5)
4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:4
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(1)点P在第一、第三象限角平分线上?
(2)点P在第三象限内?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测(共29张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标阐释
思维脉络
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.(数学运算)
2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.(数学运算、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于
它们对应坐标的乘积的和.
2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
名师点析
已知两个非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2).
a∥b?a1b2-a2b1=0;a⊥b?a1b1+a2b2=0.
这两个结论容易混淆,可分别简记为“纵横交错积的差为零,横横纵纵积的和为零”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b= .?
(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x= .?
解析:(1)a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.
(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.
答案:(1)8 (2)1
激趣诱思
知识点拨
知识点二、平面向量的模与夹角的坐标表示
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|?
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)设a=(-2,3),则|a|= .?
(2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于 .?
(3)已知A(2,6),B(4,7),则
= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数量积的坐标运算
角度1 数量积的基础坐标运算
例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),
∴a-b=(-4,0).
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(方法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先将向量用基底表示,再利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用坐标运算解决夹角与垂直问题
例4已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
分析(1)根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解;(2)根据两向量的夹角公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
解:由已知得c=(4,-3),
所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),
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探究二
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向量夹角的综合问题
典例已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
答案:B
方法点睛对非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角?cos
θ>0,且cos
θ≠1?a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角?cos
θ<0,且cos
θ≠-1?a·b<0,且a≠mb(m<0);θ为直角?cos
θ=0?a·b=0.
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变式训练(1)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.
(2)将本例中的条件“锐角”改为“
”,求k的值.
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答案:D
2.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .?
解析:∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,
∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.
答案:8
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3.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|= .?
解析:因为a⊥b,所以-2+2n=0.
于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),
所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5
.
答案:5
4.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是 .?
解析:∵向量a与向量b的夹角是锐角,
∴a·b=2m+6>0,即m>-3.
当a与b共线时,
,∴m=12,此时a与b同向,夹角为0°.
∴实数m的取值范围是(-3,12)∪(12,+∞).
答案:(-3,12)∪(12,+∞)
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5.(2019四川广元高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-3,4).
(1)求|3a-b|的值;
(2)若a⊥(a+λb),求λ的值.
解:(1)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则3a-b=(6,2),
(2)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则a+λb=(1-3λ,2+4λ),若a⊥(a+λb),则a·(a+λb)=1×(1-3λ)+2×(2+4λ)=5+5λ=0,解得λ=-1.
