(共25张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课标阐释
思维脉络
1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.(数学抽象)
2.理解复数的有关概念.(数学抽象)
3.掌握复数相等的充要条件及其应用.(数学运算、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
虚数的单位i最早是由欧拉引入的,他取imaginary(想象的,假想的)一词的词头作为虚数单位,
,于是一切虚数都具有bi的形式.但虚数的确定要归功于18世纪两位业余数学家,一位是挪威的测绘员威赛尔,另一位是巴黎的会计师阿尔干.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的概念及其表示
1.复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.规定i·i=i2=-1.
2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
名师点析
(1)z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.
(2)实数也是复数,但是复数z=a+bi(a,b∈R)不一定是实数.当b≠0时,它叫做虚数;当a=0且b≠0时,它叫做纯虚数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)复数z=2+5i的实部等于 ,虚部等于 .?
(2)若复数z=(2a-1)+(3+a)i(a∈R)的实部与虚部相等,则a= .?
解析:(1)复数z=2+5i的实部等于2,虚部等于5.
(2)由已知得2a-1=3+a,所以a=4.
答案:(1)2 5 (2)4
(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
若复数z=x+yi,则复数z的实部与虚部分别为x,y.( )
答案:×
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
名师点析
(1)根据两个复数相等的定义知,在a=c且b=d两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
(2)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.
(3)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这种数学思想方法的体现.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y= .?
解析:因为x+3i=(y-2)i,
所以x+y=5.
答案:5
激趣诱思
知识点拨
知识点三、复数的分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系:
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对复数相关概念的理解
例1(多选题)下列说法中,错误的是( )
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数
分析根据复数及其相关概念进行分析判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.
D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.
答案:ABD
反思感悟
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列说法中,正确的是( )
A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a>b,则a+i>b+i
解析:由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B项错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C项错误;a+i与b+i不能比较大小,故D项错误.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的分类及其应用
(1)z是实数?(2)z是虚数?(3)z是纯虚数?
分析根据复数分类的标准及条件,建立关于实数m的方程或不等式(组),求解m满足的条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
已知m∈R,复数z=lg
m+(m2-1)i,当m满足何条件时,
(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数相等的充要条件及应用
例3已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
分析M∪P=P→M?P→(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i→列出方程组可求得m的值
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:∵M∪P=P,∴M?P,
∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或
(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
若(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数相等问题的解题技巧
(1)复数必须是z=a+bi(a,b∈R)的形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)若5-12i=xi+y(x,y∈R),则x= ,y= .?
(2)已知x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数x,y的值.
(1)解析:由复数相等的条件知x=-12,y=5.
答案:-12 5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对复数相关概念的理解
典例给出下列说法:(1)若x+yi=0,则x=y=0;(2)若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;(3)若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;(4)若3x+mi<0,则有x<0.其中正确的序号是 .?
解析:(1)和(2)都是错误的,原因是没有x,y∈R,a,b∈R的限制条件,因此相应结论都是错误的;(3)也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是
答案:(4)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
复数中的许多结论,都是建立在复数为z=a+bi(a,b∈R)的形式这一条件下的,在复数z=a+bi中,a,b∈R是必不可少的条件,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0?a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+di?a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i为纯虚数,则实数k等于 .?
答案:3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:D
2.“a=-2”是“复数z=(a2-4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:a=-2时,z=(22-4)+(-2+1)i=-i是纯虚数;z为纯虚数时,a2-4=0,且a+1≠0,即a=±2.
∴“a=2”可以推出“z为纯虚数”,反之不成立.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下面结论正确的是( )
A.A∪B=C
B.?UA=B
C.A∩(?UB)=?
D.B∪(?UB)=C
解析:由复数的分类可知D项正确.
答案:D
4.若x,y∈R,且3x+y+3=(x-y-3)i,则x= ,y= .?
答案:0 -3
5.若x,y∈R,且(x-1)+yi>2x,求x,y的取值或取值范围.
解:∵(x-1)+yi>2x,∴y=0且x-1>2x,∴x<-1,
∴x的取值范围为(-∞,-1),y=0.(共26张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
课标阐释
思维脉络
1.了解复平面的概念.(数学抽象)
2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
(逻辑推理)
3.掌握复数模的概念,会求复数的模.(数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说,数轴可以看成实数的一个几何模型.那么,能否为复数找一个几何模型呢?怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的几何意义
1.复平面
(1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;
(2)实轴:坐标系中的x轴叫做实轴,实轴上的点都表示实数;
(3)虚轴:坐标系中的y轴叫做虚轴,除了原点外,虚轴上的点都表示
纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应:
激趣诱思
知识点拨
名师点析
复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点,否则,不能建立一一对应关系.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)复数z=3-5i在复平面内对应的点的坐标是( )
A.(3,-5) B.(3,5)
C.(3,-5i)
D.(3,5i)
(2)若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数( )
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上,也不在虚轴上
解析:(1)复数z=3-5i在复平面内对应的点的坐标是(3,-5).
(2)向量OZ对应的复数为-3i,在虚轴上.
答案:(1)A (2)C
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数的模
3.模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)复数4-2i的模等于( )
A.2
B.2
C.25
D.20
答案:C
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①复数的模一定是正实数.( )
②两个复数相等,它们的模一定相等,反之也成立.( )
答案:①× ②×
激趣诱思
知识点拨
知识点三、共轭复数
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
名师点析
设z1=a+bi,对应的点为Z1(a,b),Z2=a-bi,对应的点为Z2(a,-b),点Z1与Z2关于实轴对称.
微练习
已知复数z=3+4i,则z的共轭复数的模为 .
?
答案:5
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数与复平面内点的对应
例1当复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的取值范围.
(1)点Z在复平面的第二象限内;
(2)点Z在复平面内的实轴上方.
分析确定z的实部、虚部→列方程(不等式组)→解参数值(范围)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中题设条件不变,求当复数z表示的点在实轴上时,实数a的值.
解:点Z在实轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时,点Z在实轴上.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数与复平面内向量的对应
例2在复平面上,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
分析根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.复数与复平面内向量的对应和转化
(1)对应:复数z与向量
是一一对应关系.
(2)转化:复数的有关问题转化为向量问题求解.
2.解决复数问题的主要思想方法
(1)转化思想:复数问题实数化;
(2)数形结合思想:利用复数的几何意义数形结合解决;
(3)整体化思想:利用复数的特征整体处理.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数的模及其应用
例3若复数z=(a+2)-2ai的模等于
,求实数a的值.
分析根据复数模的计算公式求解.
反思感悟
1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.
2.两个复数相等,其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.
3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=
,则复数z= .?
解析:依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),
解得a=±1,
故z=1+2i或z=-1-2i.
答案:1+2i或-1-2i
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
共轭复数及其应用
例4(2019全国Ⅱ高考)设z=-3+2i,则在复平面内
对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
分析先由定义写出
,再由复数的几何意义求解.
答案:C
反思感悟
共轭复数的关注点
本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知i是虚数单位,复数z=1+i,则
的实部与虚部之差为( )
A.1
B.0
C.-2
D.2
解析:
=1-i,实部为1,虚部为-1,
所以实部与虚部之差为1-(-1)=2.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数模的意义
典例已知|x|=3,对于下列条件,这个方程对应的图形各是什么?
(1)在数轴上;
(2)在复平面内,x∈C.
分析分别利用绝对值、复数的模的几何意义解答.
解:(1)在数轴上,|x|=3表示到原点的距离为3的两个点3和-3.
(2)在复平面内,|x|=3表示到原点的距离为3的复数的集合,即以原点为圆心,以3为半径的圆.
方法点睛
复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数
在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:复数z的共轭复数
=-2-i,在复平面内对应的点为(-2,-1),位于第三象限.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为( )
A.1或3
B.1
C.3
D.2
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.已知复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
