(共29张PPT)
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课标阐释
思维脉络
1.掌握复数的加法、减法运算法则.(数学抽象)
2.理解复数加法、减法运算的几何意义.(直观想象)
3.能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题.(逻辑推理、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
任何两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即a,b,c∈R时,必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的加、减运算
1.复数加法、减法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法的运算律
设z1,z2,z3∈C,则有:
交换律:z1+z2=z2+z1;
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2= .?
(2)(5-5i)-3i= .?
解析:(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.
(2)(5-5i)-3i=5-8i.
答案:(1)1+2i (2)5-8i
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数加法的几何意义
激趣诱思
知识点拨
微练习
解析:(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.
答案:0
激趣诱思
知识点拨
知识点三、复数减法的几何意义
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:-1-7i
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的加、减运算
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.
分析(1)可根据复数的加、减法法则计算.
(2)可设z=x+yi(x,y∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)解:(方法一)设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)= .?
(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z= .?
解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
答案:(1)-2-4i (2)5+5i
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数加、减运算的几何意义
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
用复数加、减运算的几何意义解题的策略
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量
对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
复数模的最值问题
例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
(1)解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数模的问题的求解策略
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.
(2)若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数形结合思想在复数中的应用
典例复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD,求
.
分析首先由A,C两点坐标求解出AC的中点坐标,然后再由点B的坐标求解出点D的坐标.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形,然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.
(2)复数的几何意义包括三个方面:复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法,即通过几何图形来研究代数问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=( )
答案:B
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.
答案:B
探究一
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当堂检测
答案:C
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .?
解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π.
答案:9π
探究一
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素养形成
当堂检测
5.设z为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值.(共27张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
课标阐释
思维脉络
1.掌握复数乘、除运算的法则,能够进行复数的乘、除运算.(数学运算)
2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算.(数学运算)
3.能在复数范围内解有关方程问题.(逻辑推理、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们知道,两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的乘法及其运算律
1.复数乘法的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1z2=z2z1
结合律
(z1z2)z3=z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
(2)两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
in(n∈N
)有什么规律?
提示:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N
),即是以4为周期循环出现的.
微练习
(1)(4-i)(3+2i)= .?
(2)(-3+2i)2= .?
解析:(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.
(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.
答案:(1)14+5i (2)5-12i
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数的除法
在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di,化简可得(a+bi)÷(c+di)=
(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
激趣诱思
知识点拨
知识点三、复数范围内一元二次方程的解法
1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式为
2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.
激趣诱思
知识点拨
微思考
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根?
提示:①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根;
若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的乘法与除法运算
例1计算下列各题:
分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.复数乘法运算的技巧
(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
(2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.
(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.
(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式
=zmn(m,n∈Z)进行转化求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.复数除法运算的技巧
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1计算下列各题:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
i幂值的周期性及其应用
例2计算下列各式的值:
(1)i2
016; (2)(1+i)12+(1-i)12;
(3)1+i+i2+…+i2
016.
分析根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.
解:(1)i2
016=i4×504=i4=1.
(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6
=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.
(3)1+i+i2+…+i2
016
=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…
+(i2
012+i2
013+i2
014+i2
015)+i2
016=0×504+i2
016=1.
探究一
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素养形成
当堂检测
反思感悟
利用i幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.
(2)对于n∈N
,有in+in+1+in+2+in+3=0.
探究一
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探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2若
,则集合A的子集的个数为( )
A.3
B.4
C.8
D.16
解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A=
,故A有4个子集.
答案:B
探究一
探究二
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当堂检测
与复数有关的方程问题
例3设关于x的方程x2-(tan
θ+i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角θ以及实数根分别为( )
分析可将实数根设出,代入,利用复数相等的充要条件求解.
解析:设方程的实根为a,则a2-a(tan
θ+i)-(2+i)=0,
即a2-atan
θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan
θ∈R,
答案:C
探究一
探究二
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当堂检测
反思感悟
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b,求实数a,b的值.
解:∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
解得a=b=3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
共轭复数及其应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛(1)由比较复杂的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.
(2)注意共轭复数的简单性质的运用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
2.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.(2019江苏高考)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .?
解析:∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,其实部为0,
∴a-2=0,∴a=2.
答案:2
