2020_2021学年新教材高中数学第七章复数7.3复数的三角表示课件（共25张PPT）新人教A版必修第二册

(共25张PPT)
7.3
　复数的三角表示
课标阐释
思维脉络
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.(数学抽象)
2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.(数学抽象)
3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算、直观想象)
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点一、复数的三角表示式
1.一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos
θ+isin
θ)的形式.其中,r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量
所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.r(cos
θ+isin
θ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.
2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常
3.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①复数0的辐角一定是0.(　　)
②一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.(　　)
③复数i的辐角可以为-
π.(　　)
答案:①×　②×　③√
(2)将下列复数表示为三角形式:
①-5i;②-10;③2-2i.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、复数三角形式乘法法则与几何意义
1.已知z1=r1(cos
θ1+isin
θ1),z2=r2(cos
θ2+isin
θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
2.复数乘法的几何意义
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
知识点三、复数三角形式除法法则与几何意义
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数除法的几何意义
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例1将下列复数表示成三角形式.
(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+
i.
分析先确定模长及辐角主值,再写成三角形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤是:
(3)写出复数的三角形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代数形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式:
分析利用复数三角形式的乘法法则计算即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:
(1)有限个复数相乘,结论亦成立.
即z1·z2·…·zn=r1(cos
θ1+isin
θ1)·r2(cos
θ2+isin
θ2)·…·rn(cos
θn+isin
θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].
(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos
θ+isin
θ)]n=rn(cos
nθ+isin
nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数三角形式的除法运算
例3计算下列各式:
反思感悟
进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数辐角减去除数的辐角当做商的辐角,即可得两个复数的除法结果.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3计算下列各式:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数形结合思想求复数的模及辐角范围
典例若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和arg
z范围.
分析结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.
解:由|z-2|≤1,知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离.
显然1≤|z|≤3,∴|z|max=3,|z|min=1,
设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
说明:本题在求解|z|的最大、最小值时,也可用代数形式,如下:设复数z=x+yi(x,y∈R),
则由|z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,
∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,
∴1≤4x-3≤9,∴1≤|z|≤3.∴|z|max=3,|z|min=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.复数z=-2+2i的三角形式是　　　　　.?
解析:原式=cos(-2π)+isin(-2π)=1.
答案:1
探究一
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探究三
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