(共41张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.2 事件的关系和运算
课标阐释
思维脉络
1.理解有限样本空间、样本空间、样本点的概念.(数学抽象)
2.理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件的含义及其关系.(数学抽象)
3.理解事件A与事件B之间的关
系,及并事件、交事件、事件互斥、事件互为对立等相关概念.(数学抽象)
激趣诱思
知识点拨
体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同的小球标上号码,分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球,观察该球的号码,那么这个试验的结果共有多少种情况?如何表示这些结果?如果改为抽取时先抽出一球,放回后再抽出一球,观察该球的号码,那么这个试验的结果共有多少种情况?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、有限样本空间的相关概念
1.随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
说明:本节中我们研究的是具有以下特点的随机试验.
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
激趣诱思
知识点拨
2.样本点:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,一般用ω表示样本点.
3.样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间,一般用
Ω表示样本空间.
4.有限样本空间:
如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间,也就是说Ω为有限集的情况即为有限样本空间.
名师点析
样本点与样本空间的关系可联想元素与集合的关系来理解记忆.注意:试验不同,对应的样本空间也不同;同一试验,若试验的目的不同,则对应的样本空间也不同.
激趣诱思
知识点拨
微思考
抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上面的点数情况,你能写出该试验的样本空间吗?
提示:可以考虑用有序数对(a,b)来表示试验的结果.其中a表示其中一枚骰子的点数,b表示另一枚骰子的点数,则有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N
},当然Ω还可以用列举法进行表示,该样本空间中有36个样本点.
激趣诱思
知识点拨
微练习
袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的样本空间.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
解:(1)Ω={红,白,黄,黑}.
(2)若记(红,白)表示一次试验中取出的是红球与白球,则Ω={(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、事件的概念及分类
1.随机事件:样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.
2.基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件.
3.事件A发生:在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
4.必然事件:Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
5.不可能事件:空间?不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称?为不可能事件.
说明:(1)为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.
(2)每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
应该注意事件发生的结果是相对应于“一定条件”而言的.故要弄清某一随机事件,必须明确何为事件发生的条件.随机事件发生有可能性大小之分.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知集合A是集合B的真子集,则下列关于非空集合A,B的四个说法:①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;②若任取x?A,则x∈B是不可能事件;③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;④若任取x?B,则x?A是必然事件.其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
①从集合的角度看,事件?与事件Ω的关系为??Ω.( )
②必然事件也可能不发生,不可能事件一定不能发生.( )
③只有当A中的样本点都发生了,事件A才发生.( )
答案:①√ ②× ③×
激趣诱思
知识点拨
知识点三、利用集合的知识研究随机事件
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)掷一颗骰子,统计正面向上的点数.
记“出现5点”=A,“出现3点”=B,“出现1点”=C,
则“出现奇数点”这一事件可表示为 .事件A∪B与事件C是否互为对立事件, (填“是”或“否”).?
答案:A∪B∪C 否
(2)有甲、乙两台机床,记“甲正常工作”=A,“乙正常工作”=B,则AB表示 ,“甲不能正常工作”可记为 .?
答案:“甲、乙同时正常工作”
激趣诱思
知识点拨
(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
③事件A,B,C至少有两个发生可表示为A∪B∪C.( )
④若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B一定为互斥事件.( )
答案:①√ ②√ ③× ④√
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
试验的样本空间
例1某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
分析利用列举法按照一定的顺序逐个列举即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)当x=1时,y=2,3,4;
当x=2时,y=1,3,4;
当x=3时,y=1,2,4;
当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的样本空间是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
反思感悟
随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清某一随机事件的结果,首先必须明确事件发生的条件.在写试验结果时,要按照一定的顺序采用列举法写出,注意不能重复也不能遗漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
1若将本例中的条件改为有放回地取两个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,看清编号后放回盒子摇匀,再取一个小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).试写出这个试验的样本空间.
解:当x=1时,y可取1,2,3,4.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有4个.
所以这个试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
2若将本例中的条件改为无放回地取三个小球呢?每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,最后取的小球的标号为z,这样构成有序实数对(x,y,z).试写出这个试验的样本空间.
解:当x=1时,y可取2,3,4.
若y=2,则z可取3,4;
若y=3,则z可取2,4;
若y=4,则z可取2,3.
同理,x=2,3,4时,对应的不同的试验结果也有6个.
所以,这个试验的样本空间是
Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
随机事件的概念及分类
例2(1)(2020辽宁高一期末)以下的随机事件中不是必然事件的是( )
A.标准大气压下,水加热到100
℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
(2)(2020辽宁鞍山一中高一期末)下列事件中,是必然事件的是( )
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.12个人中有两个人生肖相同
C.买了一注彩票中一等奖
D.实数a+b=b+a
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100
℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
答案:(1)C (2)D
反思感悟
1.要判断一个事件是必然事件、随机事件,还是不可能事件,要从定义出发.
2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
互斥事件、对立事件的判断
例3(2020山东潍坊高一检测)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件
B.互斥但不对立事件
C.不可能事件
D.以上都不对
分析由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:根据题意,把红、黄、蓝、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人,
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.一般判断互斥事件或对立事件从集合的角度来认识,若A∪B=Ω,A∩B=?,则称事件A与事件B互为对立;若A∩B=?,则称事件A与事件B互斥(互不相容).对于本例中的问题,
要把样本空间明确,再进行分析.
2.判互斥事件的步骤
(1)确定每个事件包含的结果;
(2)确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生,若是,则两事件不互斥,否则就是互斥的.
3.判对立事件的步骤
(1)判断是互斥事件;
(2)确定两个事件必然有一个发生,否则只有互斥,但不对立.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( )
A.取出2个红球和1个白球
B.取出的3个球全是红球
C.取出的3个球中既有红球也有白球
D.取出的3个球中不止一个红球
解析:从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
用简单事件的和或积表示复杂事件
例4已知电路图
,其中记A1=“开关K1合上”,A2=“开关K2合上”.则A1A2表示的含义是 .?
答案:开关K1,K2同时合上
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
例5盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”.问:
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
分析事件间运算的类型:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个均为红球,故C∩A=A.
反思感悟
进行事件运算时应注意的问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3在掷质地均匀的骰子的试验中,可以定义许多事件.例如:
C1=“出现1点”,C2=“出现2点”,C3=“出现3点”,
C4=“出现4点”,C5=“出现5点”,C6=“出现6点”,
D1=“出现的点数不大于1”,D2=“出现的点数大于3”,
D3=“出现的点数小于5”,E=“出现的点数小于7”,
F=“出现的点数为偶数”,G=“出现的点数为奇数”,
请根据上述定义的事件,回答下列问题.
(1)请列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为D2=“出现的点数大于3”=“出现4点或出现5点或出现6点”,所以D2=C4∪C5∪C6,所以事件D2为和事件.同理可得事件D3,事件E,事件F,事件G均为和事件.
探究一
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探究三
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变式训练4(2020全国高一课时练习)从一批100件的产品中每次取出一个(取后不放回),假设100件产品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),试用A1,A2,A3表示下列事件.
(1)三次全取到次品;
(2)只有第一次取到次品;
(3)三次中至少有一次取到次品;
(4)三次中恰有两次取到次品;
(5)三次中至多有一次取到次品.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论与数形结合思想的应用
典例先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则:
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有几种?
解:(1)(方法一)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”4种不同的结果.
(方法二)借助树状图列出试验所有可能结果.
共4种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.
方法点睛
(1)把握随机试验的实质,明确一次试验的含义.
(2)按一定的顺序用有序数组的形式写出,要不重不漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
解析:随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结果,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020全国高一课时练习)下列事件:
①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;
②走到十字路口,遇到绿灯;
③异性电荷相互吸引;
④掷一石块,下落.
其中是随机事件的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由随机事件的概念可知①②是随机事件,③④是必然事件,也属于随机事件的极端情形.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是( )
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
解析:抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则
为至多抽到一件次品.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.一箱产品中有正品4件,次品3次,从中任取2件,下列四组事件:
①恰有一件次品和恰有两件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中两个事件互斥的是 .(填序号)?
解析:∵从一箱产品中任取2件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于2件,
∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的,∴①④是互斥事件.
答案:①④
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.下列事件是随机事件的有 .(填序号)?
①北京每年1月1日刮西北风;
②当x为实数时,2x+1>0;
③手电筒的电池没电,灯泡发亮;
④函数f(x)=3x没有零点.
解析:①②是随机事件,③是不可能事件,属于随机事件的极端情形,④是必然事件,也属于随机事件的极端情形.
答案:①②③④
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一个基本事件.
(1)“a+b=5”这一事件包含哪几个基本事件?“a<3且b>1”呢?
(2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件?“a=b”呢?
解:这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)“a+b=5”这一事件包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1).
“a=b”这一事件包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).(共40张PPT)
10.1.3 古典概型
课标阐释
思维脉络
1.了解随机事件概率的含义及表示.(数学抽象)
2.理解古典概型的特点和概率公式.(数学抽象、逻辑推理)
3.了解古典概型的一般求解思路和策略.(数学抽象、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
古典概型也叫传统概率,其定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的.如果一个随机试验所包含的样本点是有限的,且每个样本点发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型.古典概型是概率论中最直观和最简单的模型,概率的许多运算规则,也是在这种模型下得到的.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、古典概型
1.有限性:样本空间的样本点只有有限个;
2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
名师点析
(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
激趣诱思
知识点拨
微思考
请根据试验一、试验二的要求完成下列问题.
(1)试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
(2)试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录朝上一面出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.
问题①:根据两个模拟试验的结果,完成下表.
?
试验材料
试验中出现的各种结果
各结果之间有何关系
试验一
质地均匀的硬币
?
?
试验二
质地均匀的骰子
?
?
激趣诱思
知识点拨
问题②:上述试验中出现的结果有什么特点?
提示:问题①:{正面向上,反面向上} 互斥 {1,2,3,4,5,6} 互斥
问题②:试验中所有可能出现的结果只有有限个;每个结果出现的可能性相等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有④是古典概型.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
知识点三、古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
名师点析
求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
激趣诱思
知识点拨
微思考
某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗?
提示:共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
样本点的计数问题
例1(2020山东潍坊高一检测)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则:
(1)一共有几个样本点?
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点?
分析先列出所有的样本点,再确定个数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(方法一)
(1)用(x,y)表示样本点,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的样本空间:
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
共36个样本点.
(2)设A=“出现的点数之和大于8”,则A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},包含10个样本点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,样本点与所描点一一对应.
(1)由图知,样本点的总数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法三)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示.
(1)由图知,共36个样本点.
(2)“出现的点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.在列出样本点时,应先确定样本点是否与顺序有关.写样本点时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写.
2.求样本点总数的常用方法
(1)列举法:适合于较简单的问题.
(2)列表法:适合求较复杂问题中的样本点数.
(3)树形图法:适合较复杂问题中样本点的探求.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球,这4个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1个球,求样本点的个数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图表示如图:
共24个样本点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
古典概型的多种求解策略
例2一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y).
(1)求所得两球标号的和为6的概率;
(2)求所得两球标号的和是3的倍数的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:列出所有的样本点,共25个,如图所示.
(1)设A=“所得两球标号的和为6”,则由图可直观地看出A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},故所求概率为
(2)设B=“两球标号的和为3的倍数”,则B={(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4)},共9个样本点,故所求概率为
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求解古典概型“四步法”
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.列表法求解样本点个数的思路
列表法就是利用表格的形式列出所有的样本点,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果比较多的问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简洁、不易出错.
3.用坐标系来表示样本点多用于二维或三维问题,并且往往表达含有顺序问题的样本点,但要求元素不宜过多.
4.树形图可以清晰准确地列出所有的样本点,画树形图求概率的基本步骤:
(1)明确一次试验的几个步骤及顺序;
(2)画树形图列举一次试验的所有可能结果;
(3)明确样本点,数出n(A),n(Ω);
(4)计算随机事件的概率P(A)=
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C、D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求:
(1)取出的3张卡片中恰好有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少?
(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:根据题意,可画出如下树形图:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
古典概型与其他统计知识的交汇问题
例3(2019湖南高一期末)某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示.
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数
(结果精确到0.1).
(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层随机抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)由频率分布直方图能求出众数、中位数.
(2)先求出成绩为[70,80),[80,90),[90,100)这三组的频率,由此能求出[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数.
(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.由此利用列举法能求出成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
成绩在[50,70)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,
成绩在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,
(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,
∴[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.用x1,x2表示从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示这个试验的一个样本点.
∴设A=“从抽取的6人中选出正、副2个小组长”,则A={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(a,e),(e,a),(a,f),(f,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(b,e),(e,b),(b,f),(f,b),(c,d),(d,c),(c,e),(e,c),(c,f),(f,c),(d,e),(e,d),(d,f),(f,d),(e,f),(f,e)}.
记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,则事件Q包含的样本点有18个,
∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在
155
cm到195
cm之间),将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高
位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:由频率分布直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195)的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B,设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点,M=“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”,若x,y∈[180,185],则M={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6种情况;若x,y∈[190,195],则M={AB},共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),则M={(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,B),(d,B)},共8种情况.所以样本点的总数为6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点数为6+1=7,故P(|x-y|≤5)=
.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想的应用
典例(2020江苏徐州一中高二开学考试)《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每卦有三根线组成(“
”表示一根阳线,“
”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:记八卦分别为1,2,3,4,5,6,7,8,则从八卦中任取两卦,可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),
(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),共28种取法.
若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算:
当有一卦阳、阴线的根数为3,0时,另一卦阳、阴线的根数为0,3,共有1种取法.
当有一卦阳、阴线的根数为2,1时,另一卦阳、阴线的根数为1,2,共有3×3=9(种)取法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10(种).
则从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
解析:如图:
样本点的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个,故所求概率
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.(2020江西高一月考)《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,x1表示从齐王的马匹中抽取的一匹马,x2表示从田忌的马匹中抽取的一匹马,则数组(x1,x2)表示这个试验的一个样本点,设A=“从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛”,B=“田忌获胜”,则A={(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c)},根据题意,其中B={(A,b),(A,c),(B,c)},则田忌获胜的概率为
.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为 .?
解析:∵试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈1,2,3,4,5,6},∴n(Ω)=36,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,∴n=3m,
满足这种条件的有(1,3),(2,6),共有2种结果,
∴向量p与q共线的概率
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为 .?
解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根有10种等可能结果,它们的长度恰好相差0.3
m的可能结果有两种,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.设x1,x2为从评分在[40,60)的受访职工中随机抽取的2人,则(x1,x2)表示一个样本点,A=“从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10种结果,又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,故所求的概率P=
.(共30张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
课标阐释
思维脉络
1.理解两个事件互斥、互为对立的含义.(数学抽象)
2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.(数学抽象)
3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
一般人或许认为生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比值应当是1∶1,可事实并非如此.公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统计.他根据伦敦、彼得堡、
柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值,比值是22∶21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745年到1784年整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比值25∶24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯感到困惑不解,于是,他进行了深入的调查研究,终于发现,当时巴黎人“重男轻女”,有抛弃女婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的事实真相,经过修正,巴黎的男婴和女婴的出生数的比值依然是22∶21.
激趣诱思
知识点拨
知识点、概率的基本性质
性质1
对任意的事件A,都有P(A)≥0
性质2
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0
性质3
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)
性质4
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),
P(A)=1-P(B)
性质5
如果A?B,那么P(A)≤P(B)
性质6
设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.
(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.
(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=?时,就是性质3.
激趣诱思
知识点拨
微思考
可以从哪些角度研究概率的性质?
提示:概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)(2020全国高一课时练习)下列说法正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件
B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B恰有一个发生的概率小
C.若P(A∪B)=1,则事件A与B是对立事件
D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
解析:根据对立事件和互斥事件的概念,可知对立事件一定是互斥事件,两个事件是互斥事件但不一定是对立事件,故A正确;设事件A发生的概率为0.5,事件B发生的概率为0.6,同时发生的概率为0.4,则恰有一个发生的概率为0.3,故B错误;若P(A∪B)=1,事件A与事件B不互斥,则不是对立事件,故C错误;当事件A与事件B互斥时,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故D错误.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
(2)(多选题)(2020江苏海安高级中学高一月考)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数大于3”为事件A,“向上的点数小于3”为事件B,“向上的点数小于4”为事件C,“向上的点数小于5”为事件D,则下列说法正确的有( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
解析:在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确;在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确;在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误;在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
答案:ABD
激趣诱思
知识点拨
(3)掷一枚均匀的正六面体骰子,设A=“出现3点”,B=“出现偶数点”,则P(A∪B)= .?
(4)甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 .?
解析:设事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.
答案:0.9
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
互斥、互为对立事件的判断
例1判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生;
(3)至少有1名男生和全是女生.
分析根据互斥事件、对立事件的定义来判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.
(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.
2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
在本例中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1),(2)的两个事件之间的关系.
解:(1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件;
两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不发生.
综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件.
(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”则包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
互斥事件的概率加法公式的应用
例2已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则P(F)= .?
分析由E,F互斥,得到P(F)=P(E∪F)-P(E),由此能求出结果.
解析:∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,
∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6.
答案:0.6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例3玻璃盒子装有各种颜色的球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从中任取1个球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”,且
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
分析先判断各事件间的关系,再用公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
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概率一般加法公式的应用
例4甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为
.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
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反思感悟
1.对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B,A,B,A∩B的含义进行求解.
2.若该模型不是古典概型,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值.
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变式训练2在所有的两位数(10~99)中,任取一个数恰好能被2或3整除的概率是( )
答案:C
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用逆向思维方法处理概率问题
典例甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
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解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.用y1,y2分别表示甲、乙抽到的题目,则数组(y1,y2)可表示样本点.样本空间的样本点数为20.
设A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,则A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6种;
B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,则B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共6种;
C=“甲、乙都抽到选择题”,则C={(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2)},共6种;
D=“甲、乙都抽到判断题”,则D={(p1,p2),(p2,p1)},共2种.
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方法点睛
在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P(
)来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
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1.(多选题)(2020全国高一课时练习)下列结论错误的是( )
A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0
B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥
C.若事件A与B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥
解析:若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;当A与B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C错误;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.
答案:CD
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2.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是
,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是( )
答案:C
3.若事件A,B满足A∩B=?,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)= .?
答案:0.7
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4.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是 .?
解析:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=0.85+0.74-0.63
=0.96.
答案:0.96
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5.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.
排队等候的人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概 率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
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解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.
(1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.
