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第23章旋转23.1图形的旋转（中考真题专练）
一、单选题
1．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
3．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（
）
A．点M
B．格点N
C．格点P
D．格点Q
4．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（
）.
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
7．如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且，
C．应补充：且
D．应补充：且，
8．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．或
9．下列命题是真命题的是（
）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
D．旋转改变图形的形状和大小
二、填空题
10．如图，Rt△ABC的斜边AB=16,
Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为
.
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为
．
12．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．
13．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
14．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
16．△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=__________．
三、解答题
17．如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
（1）求证：;
（2）若AB=2，,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
18．如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）如图（2），△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．
20．如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
21．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点，点B的对应点为点，请画出平移后的线段；
（2）将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为点，请画出旋转后的线段；
（3）连接、，求的面积．
22．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
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第23章旋转23.1图形的旋转（中考真题专练）
一、单选题
1．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则
，，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．
2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
【答案】C
【解析】根据勾股定理求解.
【详解】设小方格的边长为1，得，
OC=
，AO=
，AC=4，
∵OC2+AO2==16，
AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选C．
【点睛】考点：勾股定理逆定理.
3．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（
）
A．点M
B．格点N
C．格点P
D．格点Q
【答案】B
【解析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选B．
【点睛】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
4．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．
【详解】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
5．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出．
【详解】解：∵
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知：，且，
∴为等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
6．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（
）.
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】C
【解析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选C．
7．如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（
）
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且，
C．应补充：且
D．应补充：且，
【答案】B
【解析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．
【详解】根据旋转的性质得：
CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.
【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO==OC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.
9．下列命题是真命题的是（
）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形
D．旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
二、填空题
10．如图，Rt△ABC的斜边AB=16,
Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为
.
【答案】8．
【解析】∵Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到，∴Rt△ABC≌．∴=AB=16．
∵是斜边上的中线，∴==8．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为
．
【答案】2α
【解析】分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α．
由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α．
∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α，即旋转角的大小为2α．
12．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．
【答案】1.6
【解析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．
故答案为1.6．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
13．如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
【答案】
【解析】根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度．
【详解】解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处，
∵是由ABC旋转得到，∴，而，
根据勾股定理：，
又∵，且，∴为等边三角形，
∴旋转角，
∴，且，故也是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
14．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
【答案】（-4，3）
【解析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．
故答案为：（-4，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____．
【答案】（4，）
【解析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案．
【详解】解：在中，令x=0得，y=4，
令y=0，得，解得x=，
∴A（，0），B（0，4），
由旋转可得△AOB
≌△A1O1B，∠ABA1=90°，
∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4，
∴∠OBO1=90°，
∴O1B∥x轴，
∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为4=；
横坐标为O1B=OB=4，
故点A1的坐标是（4，），
故答案为：（4，）．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．
16．△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=__________．
【答案】
【解析】过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过解直角三角形即可求得AB长度．
【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴，
∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2，
∴HE=1，CH=3，
∴AC=CE=，
∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3，
∴BC=，
∴AB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
17．如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
（1）求证：;
（2）若AB=2，,当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2
【解析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，最后根据BF=BD-DF求出答案.
【详解】（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC
∴AE=AD，AB=AC
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
∴∠CAE=∠DAB
∴△AEC≌△ADB
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°
∴∠DBA=∠BAC=45°
由（1）得AB=AD
∴∠DBA=∠BDA=45°
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形
∴BD=2
又∵四边形ADFC是菱形
∴AD=DF=FC=AC=AB=2
∴BF=BD-DF=2-2
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
18．如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）如图（2），△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析
【解析】（1）要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；
（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．
【详解】（1）∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△BCF和△ECH中，
∵,
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF=CH；
（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM是菱形，
理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠ACE=∠DCB=45°．
∵∠E=45°，
∴∠ACE
=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°-∠A=135°，
又∵∠A=∠D=45°，
∴∠AMH+∠D=135°+45°=180，
∴AM∥CD，
∴四边形ACDM是平行四边形；
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．
【点睛】本题考查的是旋转的性质以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B2（4，－2），C2（1，－3）．
【解析】试题分析：（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
试题解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
20．如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
【答案】（1）90°；（2）①，证明详见解析；②详见解析
【解析】（1）根据旋转的性质，得出，进而得出,求出结果；
（2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可；
②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②过点作交于点，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
21．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点，点B的对应点为点，请画出平移后的线段；
（2）将线段绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为点，请画出旋转后的线段；
（3）连接、，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）根据网格结构找出点、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点的位置，然后连接即可；
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】（1）线段如图所示；
（2）线段如图所示；
（3）．
【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
【答案】见解析.
【解析】（1）在△CBF和△DBG中，根据SAS即可证得两个三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可证得.
（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解.
【详解】解：（1）证明：∵△ABC旋转60°后为△EBD.
∴.
∵在△CBF和△DBG中，，
∴△CBF≌△DBG（SAS）
∴CF=DG.
（2）∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG
又∵∠CFB=∠DFH
∵∠BCF+∠CFB=180°-∠CBF
∠BDG+∠DFH=180°-∠DHF
∴∠DHF=∠CBF=60°
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
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