23.1 图形的旋转（简答题专练）

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第23章旋转23.1图形的旋转（简答题专练）
1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点.
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的绕点B顺时针旋转，使点O的对应点AM恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点.
①求证：；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点，在绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）.
2．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是
．
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．
3．如图，在网格纸中，每个小方格都为正方形，三角形ABC的三个顶点都在小方格的顶点上．
（1）请在图中画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的三角形A1B1C1．
（2）图中的旋转角有　
　．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．
（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．
①求证：MA＝MC；
②求MN的长；
（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积
5．如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合.
（1）旋转中心是点
，旋转了
度；
（2）如果，，求的长.
6．如图（1），的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合.
（1）若正方形的边长为，用含的代数式表示：正方形的周长等于_______，的面积等于_______.
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，边和正方形的边交于点.连结，设旋转角.
①试说明；
②若有一个内角等于，求的值.
7．如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC=90?，将三角形ABC绕着点B逆时针旋转一定角度得到三角形BEF，EF交BC于点G．
（1）若，当∠ABE等于多少度时，；
（2）若，，，当时，
①求BG的长；
②连接AF交BE于点O，连接AE（如图2），设三角形EOF的面积为m，求三角形AEO的面积（用含m的代数式表示）
8．如图1，在等腰直角三角形中，∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，此时有BD＝CE，BD⊥CE．
(1)如图1中△ADE绕点A旋转至如图2时上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直，直线BD交CE于点F，若AB＝20，AD＝5，请画出图形，并求出BF的长．
9．（操作发现）
（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______．
（类比探究）
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由．
（解决问题）
（3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB．
10．
已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H
（1）观察猜想
如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　
　；∠AHB＝　
　．
（2）探究证明
如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．
11．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：_____________________
．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，
BC＝2，
求的值．
12．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：
（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；
（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；
（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
13．在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：．
14．在四边形中，，，垂足为，，且，请用旋转图形的方法求四边形的面积．
15．如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
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第23章旋转23.1图形的旋转（简答题专练）
1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点.
（Ⅰ）如图①，求AB的长；
（Ⅱ）如图②，把图①中的绕点B顺时针旋转，使点O的对应点AM恰好落在OA延长线上，N是点A旋转后的对应点.
①求证：；②求点N的坐标；
（Ⅲ）点C是OB的中点，点D为线段OA上的动点，在绕点B顺时针旋转过程中，点D的对应点是P，求线段CP长的取值范围（直接写出结果）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析，②；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）过A作，垂足为C，根据点，点得出AC和BC的长，再根据勾股得出AB的长
（Ⅱ）①根据旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而得出，继而得出结论
②过N作轴，垂足为E.连接AN，根据旋转的性质和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AOBN是平行四边形，得出，再根据勾股定理求出BE，从而求出点N的坐标；
（Ⅲ）过B作CP⊥AO于P，以B为圆心BP为半径画圆交BC于P1，和以B为圆心BO为半径画圆交OB的延长线于P2，得出CP的最大和最小值解答即可；
【详解】解：（Ⅰ）过A作，垂足为C，
，
.
在中，
（Ⅱ）①由（I）得
由旋转得
②过N作轴，垂足为E.连接AN
，
∴四边形AOBN是平行四边形．
在中，.
（III）如图，过B作CP⊥AO于P，以B为圆心BP为半径画圆交BC于P1，
CP1有最小值，
此时
∴BP=，∴BP1=，
∴CP1的最小值为
-3=；
以B为圆心BO为半径画圆交OB的延长线于P2，，CP
2有最大值；
此时CP2=BC
+BP2=3+6=9．
线段CP长的取值范围:
.
【点睛】此题考查了几何变换旋转问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积等知识，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答，属于中考压轴题．
2．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．
（1）当旋转至如图②位置，点B（E），C,D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是
．
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．
【答案】（1）∠AFD=∠DCA（或相等）；（2）∠AFD=∠DCA（或成立）；（3）BO⊥AD．
【解析】（1）要证∠AFD＝∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；
（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF＝∠EDC，推出∠AFD＝∠DCA；
（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA＝BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA，继而证得∠OAD＝∠ODA，OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．
【详解】（1）∠AFD＝∠DCA．证明如下：
∵AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DCA；
（2）∠AFD＝∠DCA（或成立），理由如下：
由（1）得：△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠ABC﹣∠CBF＝∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF＝∠DEC．
在△ABF和△DEC中，∵，∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF＝∠EDC，∴∠BAC﹣∠BAF＝∠EDF﹣∠EDC，即∠FAC＝∠CDF．
∵∠AOD＝∠FAC+∠AFD＝∠CDF+∠DCA，∴∠AFD＝∠DCA；
（3）如图，BO⊥AD．证明如下：
由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC＝∠BDF，BA＝BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD＝∠BDA．
∵∠OAD＝∠BAD﹣∠BAC，∠ODA＝∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．
【点睛】本题综合考查全等三角形、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定定理和旋转的有关知识．注意对三角形全等知识的综合应用．
3．如图，在网格纸中，每个小方格都为正方形，三角形ABC的三个顶点都在小方格的顶点上．
（1）请在图中画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的三角形A1B1C1．
（2）图中的旋转角有　
　．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACA1和∠BCB1．
【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1，从而得到A1B1C1．
（2）利用旋转角的定义即可找到．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）旋转角有∠ACA1和∠BCB1．
故答案为∠ACA1和∠BCB1．
【点睛】利用网格可以帮我们找到90°的旋转角，由每组对应点和旋转中心即可确定旋转角
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG．
（1）如图1，若在旋转过程中，点E落在对角线AC上，AF，EF分别交DC于点M，N．
①求证：MA＝MC；
②求MN的长；
（2）如图2，在旋转过程中，若直线AE经过线段BG的中点P，连接BE，GE，求△BEG的面积
【答案】（1）①见解析；②；（2）△BEG的面积为48﹣6或48+6
【解析】（1）①由矩形的性质得出，得出，由旋转的性质得：，证出，即可得出；
②设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得：，在中，由勾股定理得出，得出，证出，得出即可；
（2）分情况讨论：①过点作于，证明，得出，，在中，由勾股定理得出，得出，得出，得出的面积的面积；
②同①得：，，得出，得出的面积的面积即可．
【详解】（1）①证明：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
；
②解：设，则，
在中，，
解得：，
在中，，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：分情况讨论：
①如图2所示：过点作于，则，
在和中，，
，
，，
在中，，
，
，
的面积的面积；
②如图3所示：
同①得：，，
，
的面积的面积；
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
5．如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合.
（1）旋转中心是点
，旋转了
度；
（2）如果，，求的长.
【答案】（1）A，90；（2）.
【解析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；
（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC=
BC=6．
故答案为（1）A，90；（2）.
【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；
旋转方向；
旋转角度．也考查了正方形的性质．
6．如图（1），的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合.
（1）若正方形的边长为，用含的代数式表示：正方形的周长等于_______，的面积等于_______.
（2）如图2，将绕点顺时针旋转，边和正方形的边交于点.连结，设旋转角.
①试说明；
②若有一个内角等于，求的值.
【答案】（1），；（2）①见解析；②β=15°.
【解析】（1）根据正方形的周长和等腰直角三角形的计算公式计算即可；
（2）①根据∠ECF和∠ACD都是45°即可说明；②首先判定△CAE是等腰三角形，明确∠β=∠ACE，再对的内角展开讨论，即可求得结果.
【详解】解：（1）正方形的周长等于，的面积等于.
故答案为，；
（2）①如图，∵的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合，
∴是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，
即∠ACF+∠1=45°，∠DCP+∠1=45°，
∴.
②∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA，且∠CAE＜90°，
若∠PAE=60°，则∠CAE=45°+60°=105°>90°，不符合题意；
若∠APE=60°，则∠APC=120°，∴∠1=180°―120°―45°=15°，∴∠BCF=∠1=15°，即旋转角β=15°；
若∠AEP=60°，则∠CAE=60°，所以∠1=60°>45°，此时点P在AD的延长线上，与题意中“边和正方形的边交于点”相矛盾，不符合题意；
综上，旋转角β=15°.
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质和三角形的内角和，并考查了分类的数学思想，弄清题意，正确分类，熟练运用相关知识是解题的关键.
7．如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC=90?，将三角形ABC绕着点B逆时针旋转一定角度得到三角形BEF，EF交BC于点G．
（1）若，当∠ABE等于多少度时，；
（2）若，，，当时，
①求BG的长；
②连接AF交BE于点O，连接AE（如图2），设三角形EOF的面积为m，求三角形AEO的面积（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）①；②三角形AOE的面积为.
【解析】（1）利用平行线的性质解决问题即可．
（2）①首先证明BG⊥EF，利用勾股定理求出EF，再利用面积法求出BG即可．
②证明△AEF和△BEF的面积相等，即可解决问题．
【详解】解：（1）（已知），
∴（两直线平行内错角相等）.
又（旋转的性质），
（等量代换）；
（2）①（已知），
（两直线平行同旁内角互补）.
又∵（已知），
∴，
∵三角形BEF是由三角形ABC旋转得到的，
∴，，，，
三角形BEF的面积，
即，
求得.
②（已知），
（同底等高的两个三角形面积相等），
∴当三角形OEF的面积为m时，三角形AOE的面积为.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图1，在等腰直角三角形中，∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，此时有BD＝CE，BD⊥CE．
(1)如图1中△ADE绕点A旋转至如图2时上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直，直线BD交CE于点F，若AB＝20，AD＝5，请画出图形，并求出BF的长．
【答案】(1)仍然成立；(2)画图见解析；长为或.
【解析】（1）结论：BD＝CE，BD⊥CE．如图1中，延长BD交CE的延长线于H．证明△BAD≌△CAE（SAS），即可解决问题；（2）分两种中情况分别求解①当逆时针旋转角度是45°时，②当逆时针旋转角度是225°时，先证明△ABD≌△ACE（SAS），从而求解DE，EC
的边长，再通过角的代换证明BF⊥EC，再证明Rt△DEF∽Rt△CEG，通过对应边成比例，求出FC的长度，最后再直角三角形△BCF用勾股定理求得BF的长度．
【详解】解：(1)
仍然成立
延长交于点，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)如图，长为或，
∵DE与直线AC垂直，
①当逆时针旋转角度是45°时，如图2：
在△ABD和△ACE中，
AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝45°，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝EC，
∵AB＝20，AD＝5，
∴AC＝20，AE＝5，
∵∠DAE＝90°，
∴DE＝10，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴AG＝GE＝5，
∴GC＝15，
在直角三角形GEC中，EC＝5，
又∵∠ABD＝∠ACE，∠BCA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠DBC+∠BCA+∠ACE＝90°，
∴BF⊥EC，
∵∠EFD＝∠EGC＝90°，∠EDF＝∠ECG，
∴Rt△DEF∽Rt△CEG，
∴
，
∴，
∴EF＝，
∴FC＝4，
在Rt△ABC中，BC＝20，
在Rt△BCF中，BF＝；
②当逆时针旋转角度是225°时，如图3，
在△ABD和△ACE中，
AE＝AD，BAD＝∠CAE＝45°，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝EC，
∵AB＝20，AD＝5，
∴AC＝20，AE＝5，
∵∠DAE＝90°，
∴DE＝10，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴AG＝GE＝5，
∴GC＝25，
在直角三角形GEC中，EC＝5，
又∵∠ABD＝∠ACE，∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，
∴∠DBA+∠ABC+∠ACE＝90°，
∴BF⊥EC，
∵∠EFD＝∠EGC＝90°，∠EDF＝∠ECG，
∴Rt△DEF∽Rt△CEG，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴FC＝，
在Rt△ABC中，BC＝20，
在Rt△BCF中，BF＝；
【点睛】本题考查三角形的旋转，三角形的相似判定与性质，三角形的全等判定与性质，直角三角形勾股定理；通过旋转判断线的垂直关系，通过相似和全等求得边与角的关系是解题的关键．
9．（操作发现）
（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______．
（类比探究）
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由．
（解决问题）
（3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB．
【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)
见解析．
【解析】（1）由题意可知AB=AD,
∠BAD=90°,所以可求∠ABD的度数;
（2）根据旋转得出△ACP′≌△ABP，根据全等得出∠AP′C=∠APB=1350，由(1)可知∠AP’P=450，求出∠BP’C=900即可．
(3)
将绕顶点逆时针旋转得到.在中，，即可证得.
【详解】(1)
由题意可知AB=AD,
∠BAD=90°,
∴∠ABD
=．
(2)．
理由：∵绕顶点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴．
∴，
∴，
∴点、、在同一直线上．
∵，，
∴，
∴．
(3)如图，将绕顶点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
连接，∵，
∴．
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似.
10．已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H
（1）观察猜想
如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　
　；∠AHB＝　
　．
（2）探究证明
如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．
【答案】（1），45°；（2）不成立，理由见解析；（3）
.
【解析】（1）由正方形的性质，可得
,∠ACB＝∠GEC＝45°，求得△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质得到，∠CAB＝＝45°，又因为∠CBA＝90°，所以∠AHB＝45°.
（2）由矩形的性质，及∠ACB＝∠ECF＝30°，得到△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质可得∠CAE＝∠CBF，,则∠CAB＝60°，又因为∠CBA＝90°，
求得∠AHB＝30°，故不成立.
（3）分两种情况讨论：①作BM⊥AE于M，因为A、E、F三点共线，及∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，进而求得AC和EF
，根据勾股定理求得AF，则AE＝AF﹣EF，再由（2）得：
,所以BF＝3﹣3，故BM＝
.
②如图3所示：作BM⊥AE于M，由A、E、F三点共线，得：AE＝6+2，BF＝3+3，则BM＝.
【详解】解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴
,∠ACB＝∠GEC＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，，
∴，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，
∵∠CBA＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
故答案为，45°；
（2）不成立；理由如下：
∵四边形ABCD和EFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，
∴，∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，,
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，
∵∠CBA＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（3）分两种情况：
①如图2所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，
由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CEF中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，
∴AC＝，EF＝CF×tan30°＝6×
＝2
，
在Rt△ACF中，AF＝
,
∴AE＝AF﹣EF＝6
﹣2，
由（2）得：
,
∴BF＝
（6﹣2）＝3﹣3，
在△BFM中，∵∠AFB＝30°，
∴BM＝BF＝
；
②如图3所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，
同（2）得：AE＝6+2，BF＝3+3，
则BM＝BF＝；
综上所述，当A、E、F三点共线时，点B到直线AE的距离为．
【点睛】本题考察正方形的性质和矩形的性质以及三点共线，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，知道分类讨论三点共线问题是解题的关键.本题属于中等偏难.
11．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：_____________________
．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，
BC＝2，
求的值．
【答案】(1)相等且垂直；(2)成立；(3)40
【解析】（1）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACM=∠DCB=90°，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC+∠DBC=90°，进而得出AM⊥BD；
（2）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACD=∠MCB=90°，通过等量相加即可得到∠ACM=∠DCB，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC=∠BDC，设AM与CD交于点P，即可证出∠DPM+∠BDC=90°，进而得出AM⊥BD；
（3）连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，根据AM⊥BD，即可利用勾股定理求出答案.
【详解】解：（1）在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACM=∠DCB=90°，CM=CB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠AMC=90°，
∴∠MAC+∠DBC=90°，
∴AM⊥BD；
故答案为相等且垂直；
（2）第（1）问中的结论仍然成立，即AM与BD的关系是：相等且垂直；
理由如下：
如图所示，设AM与CD交于点P，
在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACD=∠MCB=90°，CM=CB，
∴∠ACD+∠DCM=∠MCB+∠DCM,
即∠ACM=∠DCB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠APC=90°，
∴∠BDC+∠APC
=90°，
∵∠APC
=∠DPM，
∴∠BDC+∠DPM
=90°，
∴AM⊥BD；
∴AM与BD的关系是：相等且垂直；
（3）如图所示，
连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，
则AD2=42+42=32，BM2＝22+22＝8，
由（2）可知，AM⊥BD，
∴AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，
∴AB2+
DM2＝AQ2+BQ2+
DQ2+MQ2，
AD2+
BM2＝AQ2+DQ2+
BQ2+MQ2，
∴AB2+
DM2＝AD2+
BM2＝32+8＝40.
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.结合图形综合运用所学知识是解题的关键.
12．如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：
（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；
（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；
（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．
【答案】（1）∠BAE+∠CAD＝150°，理由见解析；（2）见解析；（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，∠MAN＝75°．
【解析】（1）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和差即可得到结论；
（2）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【详解】（1）∠BAE+∠CAD＝150°．理由如下：
∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°；
（2）∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；
（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化．理由如下：
如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD．
∵AM，AN分别是∠∠BAD和∠CAE的平分线，∴∠MAD∠BAD＝30°∠CAD，∠NAC∠CAE＝45°∠CAD．
∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°∠CAD+∠CAD+45°∠CAD＝75°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【解析】（1）由勾股定理可求DF=，由旋转的性质可得DF=CD=AB=，由勾股定理可求BE的长；
（2）过点A作AH∥DE，交FD的延长线于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，由平行线分线段成比例定理可得HD=DF，由中位线可得AH=2DG，由“AAS”可证△AHD≌△ECD，可得AH=EC，即可得结论．
【详解】（1）∵∠ADF=90°，，
∴DF=
∵将CD绕着点D逆时针旋转至DF，
∴DF=CD=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=
∵AE=2BE，且AB2=AE2+BE2，
∴180=5BE2，
∴BE=6
故答案为：6
（2）如图2，过点A作AH∥DE，交FD的延长线于点H，
∴∠HAD=∠ADE，∠H=∠EDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠B+∠C=180°，∠ADE=∠DEC，
∴∠HAD=∠DEC，
∵∠EDF+∠B=180°，
∴∠H=∠EDF=∠C，
∵DG∥AH，
∴，且AG=GF
∴HD=DF
∴HD=DF=CD，且AG=GF，
∴AH=2DG，
∵DH=DC，∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，
∴△AHD≌△ECD（AAS），
∴AH=EC，
∴EC=2DG，
∴BE=BC-EC=AD-2DG．
【点睛】本题考查了旋转的性质和用勾股定理求线段长，平行四边形、平行线和中位线的性质，全等三角形的判定和性质．
14．在四边形中，，，垂足为，，且，请用旋转图形的方法求四边形的面积．
【答案】25
【解析】把以绕按逆时针旋转,得，根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE'
,
易求四边形ABCD的面积.
【详解】解：把以绕按逆时针旋转，如图．
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴与重合，，．
在四边形中，∵，
∴；，
∴，
即点、、在同一直线上；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴．
故四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,
用旋转图形的方法将不规则图形转化为常见图形是数学中的一种解题思路,
本题难度不大,
学生主要牢固掌握基础知识即可解答.
15．如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
【答案】（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．
【解析】根据等边三角形的性质得CA=CB,∠ACB=60,由于△ACE旋转到△BCF的位置,则可得到旋转中心为C点;旋转角度为∠ACB,利用AC与BC是对应边,若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【详解】解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,
而△ACE旋转到△BCF的位置,
即CA旋转到CB,CE旋转到CF,
旋转中心为C点;
(2)
△ABC为等边三角形,
∠ACB=60,
CA旋转到CB,
旋转角度为∠ACB,即旋转了60;
(3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质.
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精品试卷·第
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