中小学教育资源及组卷应用平台
第23章旋转23.1图形的旋转（填空题专练）
1．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到．
若，则EF的长为__________．
【答案】
【解析】先根据SAS证明△DEF≌△DMF，得EF＝MF，再设EF＝MF＝x，分别表示出BE和BF，然后在Rt△BEF中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即得结果.
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，
∴F，C，M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∵DF=DF
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝4－x，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2＋BF2＝EF2，
即22＋(4－x)2＝x2，
解得x＝，
即EF＝．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题时注意旋转前后的对应关系和方程思想的应用.
2．如图，点P为线段AB外一动点，PA=2，AB=3，以P为直角顶点作等腰Rt△MPB，（△MPB的三个顶点按顺时针顺序排列为P、M、B），则线段AM长的最大值为
【答案】
【详解】如图，以P为圆心，2为半径作圆交AM于Q，
当∠APQ=90°时AM最大．
此时∠MPB=∠APQ=90°，
∴∠MPQ=∠BPA，
∵PM=PB，PQ=PA，
∴△MPQ≌△BPA，
∴MQ=BA=3，
∵PQ=PA=2，∠APQ=90°，
∴AQ=，
∴AM=AQ+MQ=．
故答案为．
【点睛】解答本题的关键是找出点P的位置，然后利用全等三角形的性质和勾股定理解答．
3．如图，将正五边形
ABCDE
的
C
点固定，并按顺时针方向旋转一定的角度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的
顶点
D′落在直线
BC
上，则旋转的角度是______________度.
【答案】72°
【解析】由于正五边形的每一个外角都是72°，所以将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72°，就可使新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上．
【详解】解：将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上．
故答案为：72．
【点睛】本题考查正多边形的外角及旋转的性质：
（1）任何正多边形的外角和是360°；
（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
4．如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点A旋转，使点B落在AC上的点E处，得正方形AEFG，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积是_____．
【答案】4﹣4．
【解析】阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．
【详解】
∵△ADC是直角三角形,AD=CD=2,
∴S△ACD
=AD?CD=×2×2=2；
AC=AD=2，
则EC=2?2，
∵△MEC是等腰直角三角形，
∴S△MEC
=ME?EC=
=6?4，
∴阴影部分的面积=
S△ACD
?
S△MEC
=2?(6?4)=4?4.
故答案是：4?4.
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的质，将不规则图形转化为规则图形的和（差）是解题的关键
5．如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是_____．
【答案】（1，1）或（4，4）．
【解析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑:①当点A的对应点为点C时,
连接AC、
BD,
分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E,
点E即为旋转中心;②当点A的对应点为点D时,
连接AD、
BC,
分别作线段AD、
BC的垂直平分线交于点M,
点M即为旋转中心.
此题得解.
【详解】解：①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD
的垂直平分线交于点E,如图1所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),
E点的坐标为(1,1);
②当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,
如图②所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),M点的坐标为(4,4).
综上所述:
这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为:(1,1)或(4,4).
【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转.
6．绕一定点旋转后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．如图，小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：________．
【答案】或
【解析】作出六边形的一边的两个顶点到中心的连线,则这两条线与这一边组成的三角形是等边三角形,那么只要六边形绕着它的中心旋转60或120,也可以使它与原来的正六边形重合.
【详解】解:根据分析可知:只要六边形绕着它的中心旋转60或120,也可以使它与原来的正六边形重合.
【点睛】本题考查了旋转对称图形的概念和性质.
7．如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
【答案】150°
【解析】首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接PQ，
由题意可知△ABP≌△CBQ
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）．
【解析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置进而得出答案；
(2)直接利用（1）中所求进而得出答案.
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）．
【点睛】本题主要考查图形旋转具有的性质.
9．如图，正方形
ABCD
的边长为
2，点
E,F
分别在边AD,CD
上，若EBF
45
，则EDF
的周长等于_____.
【答案】4
【解析】根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠EBG=∠ABC=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCD=90°，
∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，
∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠BCG=90°，
∴点G在DC的延长线上，
∵∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°，
∴∠FBG=∠FBE，
在△FBG和△EBF中，
，
∴△FBG≌△FBE（SAS），
∴FG=EF，
而FG=FC+CG=CF+AE，
∴EF=CF+AE，
∴△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4
故答案为4．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
10．一副三角板如图摆放，点F是
45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当
30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点
M，
N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN
长度的最小值为
2；④四边形CMFN的面积保持不变；
⑤△CMN面积的最大值为
2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
【答案】①②④⑤
【解析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【详解】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
∴②∵F是AB中点，△ABC是等腰直角三角形，
,
当M，N分别是AC，BC中点时，,
CF=MN，故正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CMFN是正方形．
∵△AMF≌△CNF，
∴S△AMF=S△CNF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当FM最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，FM最小，此时，
，
当△CMN面积最大时，此时△FMN的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，
故⑤正确．
【点睛】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
11．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【答案】60或300
【解析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
12．如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．
【答案】9
【解析】根据旋转前后对应角相等可知:△FHP∽△FED,
又点P为斜面中点,FP=6cm,
在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长;把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差,
并且这两个三角形都与△ABC相似,
根据∠A=90,
∠C=30,BC=12cm,
求出对应边的长,
再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可.
【详解】解:
如图,
点P为斜边BC的中点,
PB=PC=BC=6,
△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90至△DEF的位置,
PF=PC=6,
∠FPC=90,
∠F=∠C=30,
PH=PF=6=2,
在Rt△CPM中,
∠C=30,
PM=PC=6=2,∠PMC=60,
∠FMN=∠PMC=60,
∠FNM=90,
而FM=PF-PM=6-2,
在Rt△FMN中,
∠F=30,
MN=FM=3-,
FN=MN=3-3,
△ABC与△DEF重叠部分的面积=-=62-(3-)(3-3)
=9
(cm).
【点睛】本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识,
有一定难度,
注意相似三角形性质的熟练运用.
13．如图，正方形ABCD的顶点B，C的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，0），将正方形ABCD沿x轴正半轴方向翻滚，翻滚90°为一次变换，如果这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点A的坐标为_____．
【答案】（2016，0）
【解析】由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，用2019÷4=504…3，推出A2019在x轴上，横坐标=504×4-2+2=2016．
【详解】由题意A1（0，1），A2（1，0），A3（1，0），A4（2，1），…，四次一个循环，
∵2019÷4=504…3，
∴A2019在x轴上，横坐标=504×4﹣2+2=2016，
∴A2019（2016，0）．
故答案为（2016，0）．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
14．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为_____．
【答案】5×
【解析】分别求出第1个正方形的面积，再求出第2个正方形的面积，以此类推，求出5个正方形的面积，然后寻找规律即可．
【详解】∵点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，BC＝AB＝AD＝5，
∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，
∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO，
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴，
∴，
∴
同理可得，A2B2＝5×，
同理可得，A3B3＝5×，…
按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为A4B4＝5×．
故答案为5×．
【点睛】本题属于开放性题目，寻找正方形面积的规律．
15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF＝DE时，∠DOF的大小是_____．
【答案】165°或15°．
【解析】如图1，连结CF、DE，根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，根据“SSS”可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF；如图2，同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF．
【详解】解：如图1，连结CF、DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC＝OD，∠COD＝90°，
∵△OEF为等边三角形，
∴OE＝OF，∠EOF＝60°，
在△ODE和△OCF中
，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE＝∠COF＝×（360°﹣90°﹣60°）＝105°，
∴∠DOF＝∠DOE+60°＝165°；
如图2，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（SSS），
∴∠DOE＝∠COF，
∴∠DOF＝∠COE，
∴∠DOF＝×（90°﹣60°）＝15°．
∴∠DOF的大小是165°或15°．
故答案为165°或15°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第23章旋转23.1图形的旋转（填空题专练）
1．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到．
若，则EF的长为__________．
2．如图，点P为线段AB外一动点，PA=2，AB=3，以P为直角顶点作等腰Rt△MPB，（△MPB的三个顶点按顺时针顺序排列为P、M、B），则线段AM长的最大值为
3．如图，将正五边形
ABCDE
的
C
点固定，并按顺时针方向旋转一定的角度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的
顶点
D′落在直线
BC
上，则旋转的角度是______________度.
4．如图，将边长为2的正方形ABCD绕顶点A旋转，使点B落在AC上的点E处，得正方形AEFG，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积是_____．
5．如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是_____．
6．绕一定点旋转后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．如图，小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：________．
7．如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,
PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
9．如图，正方形
ABCD
的边长为
2，点
E,F
分别在边AD,CD
上，若EBF
45
，则EDF
的周长等于_____.
10．一副三角板如图摆放，点F是
45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当
30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点
M，
N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN
长度的最小值为
2；④四边形CMFN的面积保持不变；
⑤△CMN面积的最大值为
2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
11．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
12．如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．
13．如图，正方形ABCD的顶点B，C的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，0），将正方形ABCD沿x轴正半轴方向翻滚，翻滚90°为一次变换，如果这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点A的坐标为_____．
14．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2；作第3个正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为_____．
15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF＝DE时，∠DOF的大小是_____．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
