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第23章旋转23.2中心对称（简答题专练）
1．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上．
按要求在图①，图②，图③中画图．
（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）作AB的垂直平分线，垂直平分线在端点处的点即为顶点；
（2）如下图所示，满足面积条件和直角条件；
（3）以AB为对角线，绘制平行四边形即可
【详解】（1）如下图，过线段AB作垂直平分线，与网络交于格点C，则点C为等腰直角三角形顶点
根据勾股定理，可求得AB=，AC=BC=
根据勾股定理逆定理，可得△ABC是直角三角形，满足条件
（2）图形如下：
根据勾股定理，可求得：AB=，AC=，BC=
根据勾股定理逆定理，可判断△ACB是直角三角形
面积=×=2，成立
（3）平行四边形满足是中心对称图形，不是轴对称图形，图形如下：
(答案不唯一)
【点睛】本题考查格点问题，解题过程中，一方面需要结合几何特征，另一方面，还要敢于尝试
2．如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．
旋转中心是点________，旋转了________度；
如果，，求：四边形的面积．
【答案】（1）,；（2）详见解析.
【解析】(1)根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90,则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合;
(2)根据旋转的性质得BF=DE,=,利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8,再加上
CE=CD-DE=BC-DE=4,于是可计算出BC=6,所以==36.
【详解】解:(1)四边形ABCD为正方形,
AB=AD,∠BAD=90,
△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,
即旋转中心是点A,旋转了90度;
故答案为A,90;
(2)
△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,
BF=DE,
=,
而CF=CB+BF=8,
BC+DE=8,
CE=CD-DE=BC-DE=4,
BC=6,
==6=36
【点睛】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.旋转有三要素:旋转中心;
旋转方向;
旋转角度.也考查了正方形的性质.
3．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【答案】（1）六角星，八角星；（2）是；（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【解析】（1）根据中心对称图形的定义即可得到答案；
（2）根据题意，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，比如六角星，八角星，十角星，角的个数为偶数时就是中心对称图形，得到答案；
（3）根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，当角的个数为偶数时就是中心对称图形，可得答案．
【详解】解：（1）图中是中心对称图形的有六角星，八角星；
（2）由（1）知六角星，八角星，十角星，都是中心对称图形，由此可知，当角的个数为偶数个时，它是中心对称图形，因此36角星也是中心对称图形；
（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；
当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．
【答案】
【解析】根据A点坐标得到OB=4,AB=3,OA绕原点O顺时针旋转90得到OA'可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90得到Rt△OA'C,根据旋转的性质得到A'C=AB=3,
OC=OB=4,再写出A'点的坐标.
【详解】解：轴于，轴于，如图，，，
绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，
则，，
所以点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30,45,60,90,180.
5．如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．
【答案】解：（1）所画△A1B1C1如图所示．
（2）所画△A2B2C2如图所示．
【解析】（1）图形的整体平移就是点的平移，找到图形中几个关键的点，也就是A,B,C点，依次的依照题目的要求平移得到对应的点，然后连接得到的点从而得到对应的图形；
（2）在已知对称中心的前提下找到对应的对称图形，关键还是找点的对称点，找法是连接点与对称中心O点并延长相等的距离即为对称点的位置，最后将对称点依次连接得到关于O点成中心对称的图形。
【详解】解：（1）所画△A1B1C1如图所示．
（2）所画△A2B2C2如图所示．
【点睛】图形的平移就是点的平移，依次将点进行平移再连接得到的图形即为平移后得到图形；一定要区分中心对称和轴对称，中心对称的对称中心是一个点，将原图沿着对称中心旋转180°可与原图重合；轴对称是关于一条直线对称，可沿着直线折叠与原图重合。
6．如图所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图中，把，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图一样的图案：
（1）请你在图中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；
（2）你所用的变换方法是________（在以下变换方法中，选择一种正
确的填到横线上，也可以用自己的话表述）．
①将菱形向上平移；
②将菱形绕点旋转；
③将菱形绕点旋转．
【答案】（1）详见解析；（2）③．
【解析】首先分析①②的不同,变化前后,A、C的位置不变,只有B的位置由O的下方变为0的上方,据此即可作出判断.
【详解】解：(1)观察分析②的不同,变化前后,A、C的位置不变,而B的位置由由O的下方变为O的上方,进而可得两者对应点的连线交于点O,即进行了中心对称变化,变换方法是将菱形B绕点O旋转180,可作图得:
(2)变换方法是将菱形B绕点O旋转180°,即③.故答案为:③.
【点睛】本题考查几何变化的运用与作图，注意观察时要紧扣图形变换特点，认真判断其几何变化类型.
7．在四边形中，，，垂足为，，且，请用旋转图形的方法求四边形的面积．
【答案】25
【解析】把以绕按逆时针旋转,得，根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE'
,
易求四边形ABCD的面积.
【详解】解：把以绕按逆时针旋转，如图．
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴与重合，，．
在四边形中，∵，
∴；，
∴，
即点、、在同一直线上；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴．
故四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,
用旋转图形的方法将不规则图形转化为常见图形是数学中的一种解题思路,
本题难度不大,
学生主要牢固掌握基础知识即可解答.
8．如图，已知：如图点，点在轴正半轴上，且，将线段绕点沿顺时针旋转，设点旋转后的对应点是点，求点的坐标．
【答案】点的坐标为．
【解析】作BC⊥x轴于C,先利用勾股定理求出OB=3,再利用旋转的性质得BA=AB,且∠BA
B=90,接着证明△ABO≌△BAC得到AC=OB=3,BC=OA=4,然后写出B点的坐标.
【详解】解：如图，作轴于，
∵，，
∴，
∵线段绕点沿逆时针旋转得，
∴，且，
∴
而，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质的应用及三角形全等.
9．如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
【答案】（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．
【解析】根据等边三角形的性质得CA=CB,∠ACB=60,由于△ACE旋转到△BCF的位置,则可得到旋转中心为C点;旋转角度为∠ACB,利用AC与BC是对应边,若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【详解】解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,
而△ACE旋转到△BCF的位置,
即CA旋转到CB,CE旋转到CF,
旋转中心为C点;
(2)
△ABC为等边三角形,
∠ACB=60,
CA旋转到CB,
旋转角度为∠ACB,即旋转了60;
(3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【点睛】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质.
10．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解.
【解析】(1)首先将A、B、C分别向右平移4个单位,得到点A1、B1、C1,顺次连接A1B1,
A1C1、B1C1即可得所求作的三角形.
(2)作点A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2,顺次连接A2B2,
A2C2、B2C2即可得所求作的三角形.
(3)连接OA,
OB、OC,分别将OA、OB、OC旋转180,得到点A3、B3、C3,顺次连接A3B3
、
A3C3,
B3C3即可得所求作的三角形.
【详解】解:（1）如图所示；
(2)
如图所示；
(3)如图所示；
【点睛】此题主要考查了几何变换的作图方法,找准对称轴、对称中心和旋转中心是解题的关键.
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点C在旋转过程中经过的路径长是多少？
【答案】（1）画图见解析，
A1（－2，－2）；（2）画
图见解析，
【解析】根据题意画出相应的三角形,
确定出所求点坐标和弧长即可.
【详解】解:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示,
此时A1的坐标为(-2,2);
(2)
画出△ABC绕点B逆时针旋转90后得到的△A2B2C2,易得BC=，
此时C点旋转过程中经过的路程l为：l==.
【点睛】本题主要考查图形的轴对称、尺规作图和弧长公式.
12．在直角坐标系中，四边形各个顶点坐标分别为，，．
画出平面直角坐标系，并画四边形．
试确定图中四边形的面积．
如果将四边形绕点旋转，试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标．
如果，你能重新建立适当的坐标系，横坐标乘以得的图形与原图形重合吗？请说明理由．
【答案】（1）画图见解析；
；
旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为：，，；
不能与与原图形重合，理由见解析．
【解析】（1）画出平面直角坐标系，描出各点，顺次连接各点即可得到四边形OABC；
（2）利用组合图形的面积转化为基本图形的面积的和与差，求出即可；
（3）根据旋转的性质得到各点旋转180度后的对应点，顺次连接画出旋转后的图形，再根据点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（4）不能，根据横坐标乘以-1后得到的图形与原图形关于y轴对称，由此进行说理即可.
【详解】如图：四边形即为所求；
（2）
=
=；
如图：旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为：，，，；
横坐标乘以得的图形与原图形关于轴成轴对称，不能与与原图形重合．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质以及网格的结构特点是解题的关键.
13．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.
【答案】（1）图见解析，点；（2）.
【解析】(1)
先由条件求出A点的坐标,
再根据中心对称的性质求出、
的坐标,
最后顺次连接、,
△OAB关于点O成中心对称的△就画好了,可求出B1点坐标.
(2)
根据
(1)
的结论设出抛物线的顶点式,
利用待定系数法就可以直接求出其抛物线的解析式.
【详解】（1）如图，点.
（2）设二次函数的关系式是，
?把（4，2）代入上式得，，
即二次函数关系式是.
【点睛】本题主要考查中心对称的性质，及用待定系数法求二次函数的解析式，难度不大.
14．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）1；（3）见解析
【解析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【详解】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题干中“旋转函数”的定义是解题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转180°后得到．
（1）在图中画出；
（2）求点、点的对称点和的坐标；
（3）请直接写出和的数量关系和位置关系．
【答案】（1）见解析；（2），；（3），
【解析】（1）延长AO到A′，使A′O=AO，延长BO到B′，使B′O=BO，然后连接A′B′即可得到△OA'B'；
（2）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数写出即可；
（3）根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小进行解答．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）∵点，点，
∴点，点．
（3）根据旋转的不变性，AB=A′B′，
∵∠A=∠A′，
∴AB∥A′B′．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟记旋转的性质并准确作出图形是解题的关键．
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第23章旋转23.2中心对称（简答题专练）
1．图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上．
按要求在图①，图②，图③中画图．
（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；
（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；
（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.
2．如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．
旋转中心是点________，旋转了________度；
如果，，求：四边形的面积．
3．如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．
5．如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．
6．如图所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图中，把，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图一样的图案：
（1）请你在图中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；
（2）你所用的变换方法是________（在以下变换方法中，选择一种正
确的填到横线上，也可以用自己的话表述）．
①将菱形向上平移；
②将菱形绕点旋转；
③将菱形绕点旋转．
7．在四边形中，，，垂足为，，且，请用旋转图形的方法求四边形的面积．
8．如图，已知：如图点，点在轴正半轴上，且，将线段绕点沿顺时针旋转，设点旋转后的对应点是点，求点的坐标．
9．如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
10．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并求出点C在旋转过程中经过的路径长是多少？
12．在直角坐标系中，四边形各个顶点坐标分别为，，．
画出平面直角坐标系，并画四边形．
试确定图中四边形的面积．
如果将四边形绕点旋转，试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标．
如果，你能重新建立适当的坐标系，横坐标乘以得的图形与原图形重合吗？请说明理由．
13．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出关于点O成中心对称的，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式.
14．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转180°后得到．
（1）在图中画出；
（2）求点、点的对称点和的坐标；
（3）请直接写出和的数量关系和位置关系．
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