4.3 等比数列基本概念与性质 同步学案

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数列（等比数列）的概念与性质应用学案
一．学习目标
数列作为高考的必考内容，纵观近几年的高考，数列考查的内容主要有如下两个方面：数列的基本概念，如等比等比数列的定义、通项公式、等比或等比中项等；第二方面是数列的有关运算，即运用通项公式、前项和的公式以及数列的性质来求解一些基本量的问题，在这部分内容考查的过程中除了考查基础知识之外，还常常与函数、不等式、解析几何等内容结合起来，像2019年全国卷数列与统计章节的内容结合起来作为高考数学压轴题。
高考对于数列的考查重点是灵活运用知识解决问题的能力，所以在复习的过程中应注意利用函数的观点认识数列，了解数列的概念和递推公式的含义，会根据数列的通项公式写出数列的任意项，理解等比等比数列的通项公式与前项和公式，并能运用公式解决一些问题。
二．等比数列的基本概念与性质
1.等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，
那么这个数列就叫做等比数列(n∈N
，为常数)。
2.等比数列的通项公式：
，该通项公式中分别存在四个基本量、、、；、、、，知三求一是基本常见题型，主要是应用方程的思想解决。
3.等比数列的性质：
①等比数列的公比不等于0，且每一项均不为零；若公比，此数列的单调性不确定；若，则此数列是摆动数列；若，则此数列是常数数列。
即：当或时，等比数列单调递增；
当或时，等比数列单调递减；
当时，等比数列为常数数列
当时，等比数列为摆动数列。
②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，并且等于首末两项之积。特别的，若项数是奇数，还等于中间项的平方。
③在等比数列中，若，则，特别的，当，则，
④在等比数列中，下标成等差数列的数列中的项也是等比数列。即是等比数列中的三项；换言之，在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的数列也是等比数列，但剩下的项按照原来的顺序构成的数列不一定是等比数列。
⑤等比数列的连续几项的和构成的新数列仍然是等比数列；例如是等比数列，也是等比数列。
⑥若与均是等比数列，则与也是等比数列。
⑦若是等比数列，则与与也是等比数列。
⑧在等比数列中，
⑨等比数列的求和公式
等比数列项数为偶数（项数为）时候的状态的性质
三．典例分析与性质总结
题型1：等比数列的基本概念
例1：(1)已知等比数列单调递减，若，，则(　　)
A．2
B．4
C.
D．
(2)在等比数列中，，前3项之和，则公比的值为(　　)
A．1
B．
C．1或
D．或
(3)已知等比数列的前三项依次为，，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【方法归纳】
1.求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用an＝a1qn－1求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程；求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设项方法为：
(1)通项法：设数列的通项公式(n∈N
)来求解．
(2)对称设元法：与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元。一般地，连续奇
数个项成等比数列，可设为；连续偶数个项成等比数列，可设为
(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)；这样既可以减少未知量的个数，也使
得解方程较为方便。
2.运用方程的思想求解等比数列的基本量
(1)若已知，先验证是否成立，若，可以通过列方程（组）求出关键量和，问题可迎刃而解；
(2)若已知数列中的两项和，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组计算时
两式相除可先求出，然后代入其中一式求得，进一步求得；另外，还可以利用公式直接求得，可减少运算量。
题型2：等比数列的判断与证明
1
等比数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，（n≥2，n∈N
）为同一常数?是等比数列
解答题中的证明问题
等比中项法　
(n∈N
)成立?是等比数列
通项公式法　
（为常数）对任意的正整数都成立?是等比数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证（为常数且，）对任意的正整数都成立?是等比数列
例2：已知数列的前n项和为，且，，；且当时，
，证明是等比数列。
例3：已知数列的前n项和为，，(n∈N
)，若，求证：是等比数列。
题型3：等比数列的性质应用
例4：(1)已知是等比数列，若，则的值为（
）
A．10
B．20
C．100
D．200
(2)已知数列为等比数列，是二次方程，则的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
题型4：等比数列前项和的性质应用
例5：(1)设等比数列中，前项和为，已知，，则(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)等比数列的首项，前项和为，若，则公比________.
四．变式演练与提高
1.已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为(　　)
A．3
B．2
C．3或
D．3或
2.已知数列满足，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
3.设数列的前项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
4.已知各项均为实数的等比数列的前n项和为，若，，则(　　)
A．150
B．140
C．130
D．120
五．反思总结
与等差数列类似，等比数列的基本概念是高考考查的重点，其基本概念的掌握熟练程度关乎性质能否灵活运用.
(1)对于等比数列的性质的使用情况，应注意观察数列下标的特点，灵活运用等比数列的性质解题；
(2)等比数列的求和公式的推导思路是倒序相加的原理在数列中的事例运用，应注意总结；
六．课后作业
1.在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是________．
2.已知等比数列满足，，则(　　)
A．21
B．42
C．63
D．84
3.已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则(　　)
A．32
B．64
C．128
D．256
4.设是等比数列的前项和，若，则________.
5.已知为等比数列，，，则(　　)
A．7
B．5
C．
D．
6.在等比数列中，，前n项和为，若数列也是等比数列，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．
7.在等比数列中，公比，前99项的和，则________.
8.设数列的前项和为，，且数列是以2为公比的等比数列。
(1)求数列的通项公式；
(2)求
七．参考答案
例1：解析：
(1)设等比数列的公比为，，则，又，且单调递减；
所以，，则，，所以，故选B
(2)根据已知条件得；消去得，整理解得或
(3)选B　由题意得，解得，故，，所以，则
例2：证明：
由（），
得，即（）
经验证，当时，满足上式。
∴
∴数列是以为首项，为公比的等比数列。
例3：解析：
∵
∵，∴.∴.
∴数列是首项为3，公比为2的等比数列．
例4：解析：
(1)由于是等比数列，所以
。
(2)选A　由根与系数的关系，得，又因为，
所以；所以
例5：解析：
(1)因为，在等比数列中成等比数列，
即8、、成等比数列，所以有，则，即
(2)由，知公比，
由等比数列前项和的性质知成等比数列，且公比为，
故，
四．变式演练与提高
1.解析：选D　由，，得，，解得；
当时，，此时；
当时，，此时；
2.证明：(1)证明：∵，∴．
∵，，∴，
∴数列是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得，则
∴
又∵，∴是以2为首项，为公比的等比数列．
∴，即
3.解析：(1)当时，由，得.
当时，由，得，
两式相减得，即，所以.
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为
(2)因为，所以是首项为3，公比为的等比数列，
所以
4.解析：选A　在等比数列中，由，，可知，
所以构成公比为的等比数列．
所以，即，解得(负值舍去)．
所以，
所以，
六．课后作业
1.解析：设等比数列的公比为，，则，即，解得(负值舍去)，又，所以.
2.解析：选B　∵，，∴
∴，解得或(舍去)．
∴
3.解析：选C　∵，∴(负值舍去)①，又②，
联立①②，得，解得或，
∵，∴，∴，∴.
4.解析：设，，由数列为等比数列，得为等比数列，
∵，
∴，∴，∴
5.解析：选D　设等比数列的公比为，由；解得或；
所以或；
故而。
6.解析：选C　因为数列为等比数列，，设其公比为，则，因为数列也是等比数列，所以，即
则，即
所以，即，所以，故选C。
7.解析：∵，，∴
又∵数列也成等比数列，且公比为8；
∴
而，因此
故而。
8.解析：(1)∵，且数列是以2为公比的等比数列，∴；
又当时，
当时，不适合上式；
∴
(2)是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴
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精品试卷·第
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