(共34张PPT)
28.2圆心角和圆周角
第二十八章
圆
冀教版九上
第二课时
圆周角及圆周角定理
学
习
目
标
1.探究圆周角定理，体会分类思想的运用.
2.掌握圆周角定义、圆周角定理及其推论，并能做基础运用.
创设情境，引入新课
星期天，小明和弟弟玩飞镖游戏，用一个废旧的圆形毯子做靶子.小明用如下的方法确定了圆心的位置.小明这样做有道理吗？
B
A
C
创设情境，引入新课
B
A
C
D
E
F
●
O
星期天，小明和弟弟玩飞镖游戏，用一个废旧的圆形毯子做靶子.小明用如下的方法确定了圆心的位置.小明这样做有道理吗？
点O即为圆形毯子的圆心
今天的课学完后，你就会判断小明这样做是否有道理啦！
新课学习
观察小明画出的∠ACB和∠DEF是圆心角吗？若不是，它们有什么共同特征？
A
O
B
C
●
O
●
D
E
F
不是圆心角.共同特征：顶点在圆上，角的两边均与圆有交点.
新课学习
一、圆周角
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
判定条件有两个：
①顶点在圆上；
②角的两边均与圆有交点.
巩固小练习
(1)
(5)
(2)
(3)
(4)
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角,
并说明理由.
顶点没有在圆上
√
×
×
两边没有与圆相交
×
有一边没有与圆相交
×
顶点没有在圆上
2.图3中有几个圆周角？（
）
3.写出图4中的圆周角：
_____
______
.
4个
∠A
、∠C、∠B
图3
B
A
C
D
图4
B
C
A
巩固小练习
如图：在⊙O中，∠ACB、∠ADB、∠AEB都是AB所对的圆周角.同一条弧所对的圆周角有无数条.
⌒
二、圆弧所对的圆周角
新课学习
从圆上除已知弧外的部分任取一点，向已知弧的两个端点连线，两条线所夹的角是已知弧所对的圆周角.
·
O
A
B
C
D
E
∠ACB
∠COB
巩固小练习
1.如图,AB
所对的圆周角为______
BC所对的圆心角为_______.
∠ABC所对的弧为_____.
⌒
⌒
ADC
⌒
新课学习
探究一：
·
o
B
C
A
·
o
B
C
A
·
o
B
C
A
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC
的外部
在练习本上画⊙O，任取圆上一段BC，画BC所对的圆周角.观察你所画出的圆周角和圆心O的位置关系，共有几种不同的情形？
⌒
⌒
新课学习
探究二：
分别画出三种情形下BC所对的圆心角∠BOC,测量∠BAC与∠BOC的大小，你有什么发现？
⌒
新课学习
我们先来证明最特殊的一种情形：当圆心O在∠BAC的边上时，
.
·
O
A
B
C
OA=OC
∠A=∠C
∠BOC=∠A+∠C
分析：
新课学习
试一试：
将另外两种情形转化为已证的情形.
·
O
A
B
C
D
分析：由情形一中圆心O在角的边上，可想到过点A做直径AD.
由情形一
新课学习
·
O
A
B
C
试一试：
将另外两种情形转化为已证的情形.
D
分析：仍过点A做直径AD.
由情形一
结论
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
几何语言：
圆周角定理
⌒
在⊙O中，
∠BAC与∠BOC同对BC
巩固小练习
1.如图，点A,B,C在⊙O上，点C在优弧AB上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______.
·
O
A
B
C
40°
巩固小练习
2.如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若∠ABC=40°，则∠BOD的度数为______.
·
O
A
B
C
D
80°
巩固小练习
3.如图，点O是△ABC的外心，若∠A=55°，则∠BOC的度数为______.
110°
O
C
B
A
典例精析
例1.（课本157页例2）如图，点A,B,C均在⊙O上，∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
·
O
A
B
C
分析：构造同弧所对的圆心角
证明：连接OB
∵OA=OB
∴∠OBA=∠OAB=46°
∴∠AOB=180°-2∠OAB
=180°-2×46°=88°
∵∠ACB与∠AOB同对AB
⌒
新课学习
探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？
2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
·
O
A
B
C
D
如图，直径AB所对的圆周角是∠ACB
弧ADB所对的圆心角是∠AOB
所对的圆周角是∠ACB
即直径所对的圆周角是直角.
新课学习
探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？
2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
·
O
A
B
C
D
如图，弦AB所对的圆周角是∠ACB
弧ADB所对的圆心角是∠AOB
所对的圆周角是∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB=180°
∴OA,OB在同一条直线上
∴AB是⊙O的直径.
即90°的圆周角所对的弦是直径.
结论
①直径所对的圆周角是直角.
②90°的圆周角所对的弦是直径.
·
O
A
B
C
几何语言：
①∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
①∵∠ACB=90°
∴AB为⊙O的直径
解决问题：
·
O
A
B
F
D
E
C
我们来解决前置问题中小明确定圆心的方法是否合理？
∠C=90°
∠E=90°
AB是直径
DF是直径
直径AB,DF的交点O为圆心
典例精析
例2.如图，点A,B,C,D,E在圆上，弦AE、BD的延长线相交于点C，给出下列三个条件：
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
请从上述条件中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，写出所有正确的命题，并加以证明.
E
A
B
C
D
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
E
A
B
C
D
命题一：若AB是直径，D是BC的中点，则AB=AC.
证明：连接AE
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
又知D是BC的中点
∴AE垂直平分BC
∴AB=AC
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
E
A
B
C
D
命题二：若AB是直径，AB=AC，则D是BC的中点.
证明：连接AE
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∵AB=AC
∴BE=BC（三线合一）
即D是BC的中点
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
E
A
B
C
D
命题三：若AB=AC，D是BC的中点，则AB是直径.
证明：连接AE
∵AB=AC
D是BC的中点
∴∠AEB=90°(三线合一）
∴AB是直径
巩固提升
思考例2中，当已知条件中出现直径时：
1.通常会用到：直径所对的圆周角是直角；
2.若图中只有直径，没有出现直径所对的圆周角，则考虑添加辅助线，“构造直径所对的圆周角”.
思考例2中，证明直径的方法
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直径的最常用的方法.
巩固提升
“直径所对的圆周角是直角“使我们多了一种证明直角的方法.
D
B
C
A
如图，CD为△ABC的中线，AB=2CD.求证：△ABC是直角三角形.
分析：有题意知，AD=CD=BD，
可得，点A,B,C三点在以D为圆心AD为半径的圆上.
且AB为直径
因此∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形.
如：
巩固小练习
1.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于点C,则∠A的度数为______.
O
A
B
C
D
40°
巩固小练习
2.如图,在Rt△ABC中，∠ABC=90°,D是AC的中点，⊙O经过A,B,D三点，CB的延长线交⊙O于点E.求证：AE=CE.
O
A
B
C
D
E
证明：连接DE
∵∠ABC=90°
∴AE是⊙O的直径
∴∠ADE=90°
∵D是AC的中点
∴DE垂直平分AC
∴AE=CE
课堂小结
圆周角
定义：顶点在圆上，两边均与
圆相交的角.
性质
同弧所对的圆周角是圆心角的一半
直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
同学们再见(共24张PPT)
28.2圆心角和圆周角
第二十八章
圆
冀教版九上
第三课时
圆内接四边形及其性质
学
习
目
标
1.掌握并能灵活运用“同弧（等弧）所对的圆周角相等”.
2.理解圆内接四边形的概念.探究、掌握、并能灵活运用圆内接四边形的性质.
创设情境，引入新课
如图，在足球场上，鹿晗、小明两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当鹿晗带球到点A处时，点A,M,N恰在同一圆上，此时小明在点B处，点B也在圆上，小明示意鹿晗将球传给自己射门.你认为鹿晗该自己直接射门，还是将球传给小明？
A
O
B
N
●
M
●
●
友情提示：球员所处位置与M，N形成的夹角越大，进球的概率就越大.
创设情境，引入新课
A
O
B
N
●
M
●
●
转化为数学问题：比较∠A与∠B的大小.
分析：由∠A与∠MON同对MN,
可得∠A是∠MON的一半；
同理，∠B也是∠MON的一半.
∴∠A=∠B
∴两人进球机率相同.
鹿晗直接射门就好.
⌒
观察∠A与∠B在图中的特征，你发现了一个什么结论？
新课学习
一、同弧（等弧）所对的圆周角相等
A
O
B
C
●
D
E
F
如图，∠A,∠B,∠C,∠D都是EF所对的圆周角，则这四个角相等.
⌒
用途：在圆中得到相等的角.
巩固小练习
1.如图，A,B,C,D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是_____.
·
O
A
B
C
D
E
∠D
2.如图，在⊙O中，AB是直径，∠BAC=40°,
则∠ADC的度数为______.
50°
巩固小练习
B
A
C
D
O
●
如图：当点A,B,C,D均在⊙O上时，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆.
二、圆内接四边形的概念
新课学习
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
·
O
A
B
C
D
新课学习
一起探究：
在练习本上画⊙O的内接四边形ABCD，测量∠A,∠B,∠C,∠D的度数，观察得到的数据，你有一个什么发现？
·
O
A
B
C
D
∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°
你能用推理的方法验证这个结论的正确性吗？
新课学习
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
·
O
A
B
C
D
探究思路：∠A,∠B,∠C,∠D都是圆周角，和圆周角有关的结论有那些呢？
试试从中找到解题思路吧.
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
同弧所对的圆周角相等
新课学习
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
·
O
A
B
C
D
证明：连接OB,OD
∵∠C,∠BOD同对弧BD
∴∠BOD=2∠C
∵∠A,∠1同对弧BCD
∴∠1=2∠A
∵∠BOD+∠1=360°
∴∠A+∠C=180°
1
同理可证∠B+∠D=180°
利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系
方法一：
新课学习
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
·
O
A
B
C
D
方法二：
E
做过点D的直径DE,连接BE,BD,AE
1
2
∠DBE=∠DAE
同弧所对的圆周角相等
∠C=∠DEB
∠1=∠2
∠1+∠DBE+∠DEB=180°
∠2+∠DAE+∠C=180°
即∠C+∠DAB=180°
利用同弧所对的圆周角相等
新课学习
三、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
·
O
A
B
C
D
几何语言：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°
巩固小练习
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(
)
·
O
A
B
C
D
140°
巩固小练习
2．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC＝CB.若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(
)
⌒
⌒
D
C
B
A
构造直径所对的圆周角
55°
巩固小练习
3.已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为___________.
·
O
A
B
C
60°或120°
弦所对的弧有两段
因此弦所对的圆周角有两种
注意：
结论
同弦所对的圆周角相等或互补.在弦同侧的圆周角相等，在弦异侧的圆周角互补.
同弦所对的圆周角结论
·
O
A
B
C
D
E
F
如图，∠C,∠D,∠F都是弦AB所对的圆周角
∠C=∠D
∠C+∠F=180°
典例精析
例1.（课本160页例3）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE为四边形ABCD的一个外角.求证：∠DCE=∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠BAD
·
O
A
B
C
D
E
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
典例精析
例1.（拓展）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，DA,CB的延长线交于点E.若DE=5，CE=6，AE=3.求BE的长.
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠EAB=∠C,∠EBA=∠D
∴△DCE∽△BAE
·
O
A
B
C
D
E
解得，BE=2.5
课堂小测
1.如图，经过原点O的⊙P与x轴，y轴分别交于A,B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=_____.
y
x
P●
O
C
B
A
90°
课堂小测
2.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接与⊙O,∠ACB=135°，则AB=_____.
·
O
A
B
C
D
课堂小测
3.如图，B,C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点（不与B,C重合),则∠BAC=__________.
48°或132°
O
A
B
C
α
课堂小结
同弧所对的圆周角相等
圆内接四边形
同弦所对的圆周角相等或互补
定义：四个顶点都在圆上的四边形
性质：圆内接四边形的对角互补
同学们再见(共28张PPT)
28.2圆心角和圆周角
第二十八章
圆
冀教版九上
第一课时
圆心角及其性质
学
习
目
标
1.掌握圆心角的概念及圆心角与弧、弦之间的关系.
2.会用圆心角与弧、弦之间的关系解决问题.
新课学习
·
B
A
O
·
O
C
D
·
O
E
F
观察三个圆中的锐角∠AOB,钝角∠COD,平角∠EOF,它们有什么共同特征？
顶点都在圆心
一、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
唯一的判定条件
巩固小练习
1.下面的图形中，是圆心角的是（
）
·
B
A
O
·
B
A
O
·
B
A
O
·
B
A
O
P
P
A
B
C
D
D
巩固小练习
2.下列说法正确的是（
）
A.如果一个角的一边过圆心，则这个角是圆心角.
B.圆心角α的取值范围是0°＜α＜180°.
C.圆心角是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角.
D.圆心角就是在圆心的角.
C
·
B
A
O
圆心角的两边分别与圆相交，
两交点间的弧为圆心角所对的弧，
两交点所连的弦是圆心角所对的弦.
如图,∠AOB所对的弧是AB
∠AOB所对的弦是AB.
︵
圆的每个圆心角都对应唯一的一条弧和一条弦，即圆心角确定时，它所对的弧及弦也确定下来.
新课学习
·
O
A
B
A′
B′
如图：在⊙O中，∠AOB=∠A'OB',AB与A'B',弦AB与弦A'B'有什么关系？
⌒
⌒
想一想
当圆心角确定时，它所对的弧及弦就确定下来，那当两个圆心角相等时，它们所对的弧及弦之间会具有怎样的关系呢？
·
O
A
B
A′
B′
想一想
旋转后，由于∠AOB＝∠A'OB′，所以射线OA与OA′及射线OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
则AB与A'B'
重合，
弦AB与弦A′B′重合．
⌒
⌒
⌒
AB
⌒
A'B'
=
AB=A'B'
即
二、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等．
结论
·
O
A
B
A′
B′
几何语言：
在⊙O中
∵∠AOB=∠A'OB'
∴AB=A'B',AB=A'B'
⌒
⌒
可以去掉限制条件吗？
想一想
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等．
如图，在两个半径不相等的同心圆O中，圆心角∠AOB=∠DOE,但弧AB与弧DE并不相等，弦AB与弦DE也不相等.
O
A
B
D
E
不能去掉
一起探究
（1）在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦是否相等？
·
O
A
B
A′
B′
相等
一起探究
（2）在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弧是否相等？
·
O
A
B
A′
B′
如图，在⊙O中，当AB=A'B'时，
由旋转可得，两弦重合，
则点A与A'，点B与B'分别重合，
AB、A'B'所对的优弧与劣弧分别重合，
圆心角∠AOB与∠A'OB'重合.
相等
结论
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.
几何语言：
在⊙O中
∵∠AOB=∠A'OB'
∴AB=A'B',AB=A'B'
⌒
⌒
①
②在⊙O中
∵AB=A'B',
AB=A'B'，∠AOB=∠A'OB'
⌒
⌒
·
O
A
B
A′
B′
●
C
③
在⊙O中
∵AB=A'B'
∴AB=A'B',ACB=A'CB'
∠AOB=∠A'OB'
⌒
⌒
⌒
⌒
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.
结论
解读：“圆心角”、“弧”、“弦”是不同种的图形，通过圆心角的性质这一条性质，就在角、线段、弧之间架起了一座桥梁.如：解决圆心角的问题可以转化为求弦或弧的问题.
典例精析
例1.（课本154页例1.）已知，如图，AB为⊙O的直径，点M,N分别在AO,BO上，CM⊥AB,DN⊥AB,分别交⊙O于点C,D,且AD=BC.求证：CM=DN.
⌒
⌒
B
A
O
D
C
N
M
●
方法一：连接OC、OD
AD=BC
⌒
⌒
AC=BD
⌒
⌒
∠AOC=∠BOD
△OMC≌△OND
CM=DN
∠AOB=∠BOD
∠OMC=∠OND
OC=OC
典例精析
B
A
O
D
C
N
M
●
方法二：连接OC、OD，AC、BD
AD=BC
⌒
⌒
AC=BD
⌒
⌒
∠AOC=∠BOD
△AOC≌△BOD
CM=DN
OA=ON
∠AOB=∠BOD
OC=OC
思考：例题中用到了哪条结论？
同圆中相等的弧所对的圆心角相等
典例精析
例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，点M,N分别是AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M、N.求证：AC=BD.
⌒
⌒
B
A
O
D
C
N
M
●
方法一：连接OC、OD
AD=BC
⌒
⌒
∠AOC=∠BOD
△COM≌△DON(HL)
(OC=OD)
OA=OB
M,N为AO、BO中点
OM=ON
同圆中相等的圆心角所对的弧相等
典例精析
例1.（变式）已知，如图，AB为⊙O的直径，点M,N分别是AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M、N.求证：AC=BD.
⌒
⌒
B
A
O
D
C
N
M
●
方法二：连接OC、OD、AC、BD
AD=BC
⌒
⌒
AC=BD
OC=AC
CM⊥OA
M为OAD的中点
CM垂直平分AO
同圆中相等弦所对的弧相等
同理OD=BD
典例精析
例2.如图，AB是⊙OA的弦，半径OC,OD分别交AB于E,F，且AE=BF，猜想AC和BD的数量关系，并说明理由.
F
E
D
C
B
A
O
解：AC=BD
理由：连接OA,OB
∵OA=OB
∴∠OAD=∠OBA
又有OA=OD,AE=BF
∴△OAE≌△ODF
∴∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
方法一：
典例精析
例2.如图，AB是⊙OA的弦，半径OC,OD分别交AB于E,F，且AE=BF，猜想AC和BD的数量关系，并说明理由.
F
E
D
C
B
A
O
M
解：AC=BD
理由：连接OA,OB,做OM⊥AB于点M
∵OA=OB,OM⊥AB
∴∠AOM=∠BOM，AM=BM
∵AE=BF
∴EM=FM，而OM⊥AB
∴OE=OF
∴∠EOM=∠FOM
∴∠AOM-∠EOM=∠BOM-∠FOM
即∠AOC=∠BOD
∴AC=BD
方法二：
巩固提升
圆心角性质的应用
在圆中
1.求弧相等可以转化为求角相等或线段相等；
2.求线段相等可以转化为求角相等或弧相等；
3.求角相等可以转化为求线段相等或弧相等.
巩固小练习
1.下列说法正确的是（
）
A.等弧所对的圆心角相等；
B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等；
C.等弦所对的圆心角相等；
D.相等的圆心角所对的弧相等.
注意：
等弧只存在于同圆或等圆中
而相等的圆心角及相等的弦未必在同圆或等圆中.
A
巩固小练习
2.如图，已知OC是⊙O的半径，过OC的中点D作DC的垂线交⊙O于点A,B,以下结论正确的是________.
①AD=BD
②AC=BC
③AC=BC
④∠AOC=∠BOC
⑤∠OAB=30°
⌒
⌒
①②③④⑤
巩固小练习
3.如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠COD=34°,则∠AEO的度数是______.
O
E
D
C
B
A
51°
综合运用
1.如图，在⊙O中，AB=2CD,则下列结论正确的是（
）
⌒
⌒
A.
AB＞2CD
B.
AB=2CD
C.
AB＜2CD
D.以上都不正确
M
分析：取AB的中点M,则AM=BM=CD,连接AM,BM.则AM=BM=CD.在△ABM中可得，AB＜AM+BM,即AB＜2CD.
⌒
⌒
⌒
⌒
C
C
B
A
C
B
A
O
综合运用
2.半径为1的⊙O中，弦AB,AC的长分别为1和
，则∠BAC的度数为____________.
O
105°或15°
情况一：
情况二：
课堂小结
圆心角
定义：顶点在圆心的角
性质
相等圆心角
等弧、等弦
等弧
相等圆心角、等弦
等弦
相等圆心角、等弧
（同圆或等圆中）
同学们再见
