(共22张PPT)
12.3角平分线的性质（一）
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角
O
B
A
C
平分线。
一、激发求知欲
O
B
A
C
∠AOC
=∠BOC
∠AOB
=2∠AOC
=2∠BOC
角平分线
二、展示目标和任务
1.学习目标
①能够利用三角形全等，证明角平分线的性质；
②会用尺规作已知角的平分线.
③能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题.
2.学习任务
掌握角平分线的画法、性质和判定.运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题.
解：在△ADC和
△ABC中，
AD=
AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC
≌
△ABC
（SSS）
∴
∠DAE=∠DAE
=
=
三、自主合作与交流
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在
∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
A
B
O
C
则射线OC就是∠AOB的平分线.
E
D
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
p
D
E
p
D
E
p
D
E
p
D
E
p
D
E
p
D
E
A
p
D
E
B
A
p
D
E
C
B
A
p
D
E
3.验证：PD=PE
已知：
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足。
求证：PD=PE
O
C
B
A
p
D
E
证明：
∵
OC是∠AOB的平分线
∴∠AOC=∠BOC(角平分线的定义)
∵
PD⊥OA，PE
⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△POD和△POE中，
∠AOC=∠BOC（已证）
∠PDO=∠PEO
(已证)
OP=OP（公共边）
﹛
∴
△POD≌△POE（AAS）
∴PD=PE(全等三角形对应边相等)
角平分线的性质：角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
结论：
四、成果展示，教师点拨
从上述过程中，你能得到什么结论？
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
几何语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
E
D
O
A
B
P
C
1、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
五、知识验证
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
A
C
D
B
E
例题讲解
E
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
B
C
P
E
F
G
M
N
例题讲解
例3：在△OAB中，OE是∠
AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
O
A
B
E
C
D
例题讲解
A
0
B
M
N
P
C
1、如图，OC平分∠AOB，
PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N，
△POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
2
练习
2、如图:△ABC中,
∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
A
C
D
B
E
F
练习
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
A
B
C
D
E
练习
B
思考：
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P
是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
O
A
E
D
C
P
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
练习2：
如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
P
知识拓展
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD
B
A
C
D
E(共20张PPT)
12.3角的平分线的性质（2）
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD=PE
用符号语言表述：
复习
注意：不必再证全等
练习.已知：BD平分∠ABC，AB=AC，PM⊥AD，PN⊥CD，
求证：PM=PN
M
D
1
2
3
4
B
A
N
C
P
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
思考
证明:
∵
QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴
∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴
Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴
∠
QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
用符号语言表示为：
1、
如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。
北
比例尺1：20000
河
流
公
路
用一用
·
O
A
B
C
P
500m
┒
┓
例题：如图,
△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
见角平分线就作角两边的垂线段。
A
B
C
P
E
D
F
M
N
类型转换：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
如图，在△ABC中，AB=AC，
AD平分∠BAC
，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的距离相等，其中正确的结论有(
)
A
B
C
E
F
D
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E，
CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，
BD=CD
。
求证：
AD平分∠BAC
。
A
B
C
F
E
D
课堂练习
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
拓展与延伸
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
拓展与延伸
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用符号语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
课堂小结
用符号语言表示为：
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2、三角形角平分线的交点性质：
三角形的三条角平分线交于一点。
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平
分线上。
4.角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
5.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
注意事项
再见
