课时训练（十四）
【22.3
第一课时
相似三角形的性质】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△COA的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.若两个相似三角形的面积之比为2x2－3，周长之比为x，则x的值为( )
A．±
B.
C.＋1
D.
4.如图，在?ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A．2∶5∶25
B．4∶9∶25
C．2∶3∶5
D．4∶10∶25
二、填空题
5.如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么正方形DEFG的边长是________．
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.
7.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
8.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
三、解答题
9.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
10.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
11.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的角平分线CD＝4
cm，△ABC的面积为64
cm2.
求：（1）△A′B′C
′的角平分线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的面积．
12.如图，在?ABCD中，AE∶EB＝3∶4，DE交AC于点F.
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
（2）如果△CDF的面积为14
cm2，求△AEF的面积．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在?ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．
2.在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
（1）找出与相似的三角形.
（2）当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
3.已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．课时训练（十四）
【22.3
第一课时
相似三角形的性质】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由相似三角形的性质可知，故选A
2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△COA的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶CE＝1∶3.∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，且△BDE∽△BAC，∴＝＝＝，∴＝＝＝.故选D
3.若两个相似三角形的面积之比为2x2－3，周长之比为x，则x的值为( )
A．±
B.
C.＋1
D.
解析：根据相似三角形的性质可知周长之比的平方等于其面积之比，则2x2－3＝x2，解得x＝或x＝－(舍去)，故x的值为.
4.如图，在?ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A．2∶5∶25
B．4∶9∶25
C．2∶3∶5
D．4∶10∶25
解析：根据图形知，△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB.
∵DE∶EC＝2∶3，
∴DE∶AB＝2∶5.
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝()2＝，＝＝，
∴＝＝＝＝，
∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.
故选D.
二、填空题
5.如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么正方形DEFG的边长是________．
解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M.
∵△ABC的面积是6，∴BC·AH＝6，
∴AH＝＝3.
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3－x.
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝，
即正方形DEFG的边长为.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.
解析：∵
平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴所以：4:10:25
7.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
解析：
∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3.
8.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是
_______________.
解析：∵
△BPM∽△PAN，∴
∠BPM＝∠A，
∵
△PMN是等边三角形，∴
∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴
∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
三、解答题
9.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
解析：(1)证明：∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.
又∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴＝.
∵AD＝3，AB＝5，∴＝.
10.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
解析：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.
∵EF＝9，AB＝12，
∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16.
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k.
∵△CDF与△CEF可看作同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF∶EF＝7k∶9k＝7∶9.
∵EF＝9，∴DF＝7.
11.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的角平分线CD＝4
cm，△ABC的面积为64
cm2.
求：（1）△A′B′C
′的角平分线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的面积．
解析：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝＝.
∵△ABC的角平分线CD＝4
cm，
∴C′D′＝4×2＝8
(cm)．
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝()2＝.
∵△ABC的面积为64
cm2，∴△A′B′C′的面积＝64×4＝256
(cm2)．
12.如图，在?ABCD中，AE∶EB＝3∶4，DE交AC于点F.
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
（2）如果△CDF的面积为14
cm2，求△AEF的面积．
解析：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF.
∵AE∶EB＝3∶4，∴AE∶AB＝3∶7，
∴＝＝＝.
(2)＝＝＝，即＝，解得S△AEF＝
cm2.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在?ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB綊CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝()2＝，＝()2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，
∴S?ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
2.在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
（1）找出与相似的三角形.
（2）当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
解析：（1）与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：
△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．
（2）①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，
则
∵
△PDE∽△BCP
∴
△PDE与△BCP的周长比是1:2
∴
△BCP的周长是2a．
②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
则，
∵
△PCE∽△BCP
∴
△PCE与△BCP的周长比是1:2
∴
△BCP的周长是2a．
③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，
∴
∵
△BPE∽△BCP
∴
△BPE与△BCP的周长比是:2，
∴
△BCP的周长是．
3.已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．
解析：（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故当t=时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t，
S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，
故四边形DEBF的面积为定值.
（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，
则或，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，
代入解得：t=3或t=1.2，
故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．
