沪科版
数学
九年级上册
课时训练（十五）
【22.4
位似和位似变换】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D，点C与点E分别是对应点
D．AE∶AD是相似比
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A.
B.
C．2
D.3
3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D．1
cm
4.如图，若＝＝＝，则下列说法中正确的有( )
①△ABC与△DEF是相似图形；
②△ABC与△DEF的周长之比是；
③△ABC与△DEF是位似图形；
④△DEF与△ABC的面积之比是4∶1.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
二、填空题
6.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝________．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．
8.如图2，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，＝，则△DEF与△ABC的面积比是________．
三、解答题
9.如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝.
10.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－a
B．－(a＋1)
C．－(a－1)
D．－(a＋3)
2.如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
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九年级上册
课时训练（十五）
【22.4
位似和位似变换】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D，点C与点E分别是对应点
D．AE∶AD是相似比
解析：相似比等于这两个三角形的对应边的比，即AE∶AC或AD∶AB或DE∶BC是相似比．
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A.
B.
C．2
D.3
解析：根据△ABC与△DEF是位似图形，可知△ACB∽△DFE，△OAC∽△ODF，可求得AC∶DF＝1∶2，所以△ABC与△DEF的相似比是1∶2.故选A
3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D．1
cm
解析：
∵AB∥CD，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴CD＝1(cm)
4.如图，若＝＝＝，则下列说法中正确的有( )
①△ABC与△DEF是相似图形；
②△ABC与△DEF的周长之比是；
③△ABC与△DEF是位似图形；
④△DEF与△ABC的面积之比是4∶1.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由位似的性质可知，选D
5.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
解析：
由A(6，3)，B(6，0)，知线段AB＝3.因为AB⊥x轴，线段AB到线段CD的变换是以原点O为位似中心且相似比为的位似变换，所以CD＝1，OD＝2，即C(2，1)．故选A.
二、填空题
6.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝________．
解析：∵位似图形一定是相似图形，∴△ABC∽△DEF.由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得AB∶DE＝＝2∶3.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．
解析：如图，作出△AOB的位似图形△AO′B′，过点B′作x轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为E.
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴＝.
∵点A的坐标为(3，0)，点O′的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，－3)，
∴AO＝3，AO′＝4，BE＝3，∴＝，
∴B′C＝4.
易得△O′B′C∽△OBE，∴＝，
即＝，∴CO′＝，∴OC＝－1＝，
∴点B′的坐标为(，－4)．
8.如图2，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，＝，则△DEF与△ABC的面积比是________．
解析：
∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC.又∵＝，
∴＝，即△DEF与△ABC的相似比为2∶5，∴△DEF与△ABC的面积比是4∶25.
三、解答题
9.如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝.
解析：(1)△A1B1C1如图所示，A1(1，－3)，B1(4，－2)，C1(2，－1)．
(2)△A2B2C2如图所示．
10.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
解析：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴==，
∴==，
解得：EF=．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－a
B．－(a＋1)
C．－(a－1)
D．－(a＋3)
解析：把图形向右平移1个单位，则点C与坐标原点O重合，点B′的横坐标变为a＋1，此时△ABC以原点为位似中心的位似图形是△A′B′C，则与点B′对应的点B的横坐标为－(a＋1)，把该点向左平移1个单位，则得到点B的坐标为－(a＋1)－1，即为－(a＋3)．
2.如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
S最小=
;
.
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